2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56分）：)嘿1.计算：________（为虚数单位）．挀2.若集合ሼݔݔ嘿ሼሼ，ݔʹ挀ሼݔ，则________．ݔcosሼ3.函数ሺሼݔ的值域是________．sinሼ嘿4.若ሺ嘿ݔݔ是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示）．ݔ5.在ሺሼ嘿ݔ的二项展开式中，常数项等于________．ሼ6.有一列正方体，棱长组成以为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，ݔlimݔ挀ǤǤǤ挀ݔ挀ሺ则，…，，…，ݔ________．7.已知函数ሺሼݔ＝ሼ嘿െ（െ为常数）．若ሺሼݔ在区间挀ݔ上是增函数，则െ的取值范围是________．8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为ݔ的半圆面，则该圆锥的体积为________．9.已知ሺሼݔ挀ݔሼሺݔሼሺ若，ݔሺ且，数函奇是ݔሼ挀ݔ，则ሺ嘿ݔ________．10.（ݔݔሺ点过，中系标坐极在，图如）海上·ݔݔ的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成ሺݔሺ则，式形的ݔ________．11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________（结果用最简分数表示）．12.在平行四边形툃팃中，，边、팃的长分别为ݔ、，若、分别是툃边툃、툃팃上的点，且满足，则的取值范围是________．툃툃팃13.已知函数ሺሼݔሺ툃、ݔሺ、ݔሺ中其，툃段线折是象图的ݔ，函数ݔሼሺሼݔሺሼݔ的图象与ሼ轴围成的图形的面积为________．试卷第1页，总8页
14.如图，팃与툃是四面体툃팃中互相垂直的棱，툃ݔ팃若，ݔ，且挀팃툃挀툃팃ݔെ，其中െ、为常数，则四面体툃팃的体积的最大值是________．二、选择题（20分）：)15.若挀ݔሼ程方数系实的ሼ于关是ݔ挀ܾሼ挀的一个复数根，则()A.ܾݔ嘿ܾ.B，ݔ，C.ܾ嘿ݔܾ.D嘿，ݔ，嘿16.在툃中，若sinݔ挀sinݔsinݔ툃，则툃的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定17.设ሼሼሼሼ，ሼ，随机变量取值ሼ，ሼ，ሼ，ሼ，ሼݔݔሼ挀ሼݔሼݔ挀ሼሼ挀ሼሼ挀ሼሼ挀ሼ的概率均为Ǥݔ，随机变量ݔ取值，，，，的概率也均为Ǥݔ，ݔݔݔݔݔ若记팃，팃ݔ分别为，ݔ的方差，则()A.팃ʹ팃ݔB.팃팃ݔC.팃팃ݔD.팃与팃ݔ的大小关系与ሼ，ሼݔ，ሼ，ሼ的取值有关18.设െsin，െ挀െݔ，在，െ挀ǤǤǤ挀ݔ，…中，正数的个数是ݔሺݔA.ݔB.C.D.三、解答题（共5小题，满分74分）)19.如图，在四棱锥嘿툃팃中，底面툃팃是矩形，底面툃팃，是툃的中点，已知＝ݔ＝，ݔݔ＝팃，ݔ，求：（1）三角形툃팃的面积；（2）异面直线툃与所成的角的大小．20.已知ሺሼݔ挀ሼሺglݔ.ሺݔ若ሺ嘿ݔሼݔ嘿ሺሼݔ，求ሼ的取值范围；试卷第2页，总8页
ሺݔሼሺݔሼሺ，时ሼ当且，数函偶的期周为ݔ以是ݔሼሺ若ݔݔ，求函数ሺሼݔ㌳ݔሼሺݔ的反函数．21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向ݔ海里处，如图，现假设：ݔݔ①失事船的移动路径可视为抛物线ሼ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为（1）当Ǥ时，写出失事船所在位置的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22.在平面直角坐标系ሼ2中，已知双曲线툃ݔ嘿ݔሼݔ．（1）过툃的左顶点引툃的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及ሼ轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为的直线交툃于、两点，若与圆ሼݔ挀ݔ相切，求证：22；（3）设椭圆툃ሼݔ挀ݔ，若、分别是툃、툃上的动点，且22，求证：ݔݔ2到直线的距离是定值．23.对于数集＝嘿ሼሼݔ，ሼǤǤǤݔሼሼ中其，ݔሼǤǤǤݔ，定义向量集＝െെሺ䁞ݔെെ得使，ݔെ在存，െ意任对若，ݔ䁞ݔ，则称具有性质．例如嘿ݔݔ具有性质．（1）若ሼʹݔሼݔ嘿且，ݔ具有性质，求ሼ的值；（2）若具有性质，求证：，且当ሼʹ时，ሼ＝；（3）若具有性质，且ሼ＝、ሼݔ＝（为常数），求有穷数列ሼ，ሼݔ，…，ሼ的通项公式．试卷第3页，总8页
参考答案与试题解析2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56分）：1.嘿ݔ2.ሺ嘿ݔݔ3.嘿，嘿㌳ݔݔ4.arctanݔ5.嘿6.7.ሺ嘿㌳8.9.嘿10.sin嘿ݔ11.12.ݔ㌳13.ݔ嘿ݔെݔ嘿14.二、选择题（20分）：15.B16.C17.A18.D三、解答题（共5小题，满分74分）19.∵底面툃팃，툃팃底面툃팃，∴툃팃．∵矩形툃팃中，툃팃팃，而、팃是平面팃的交线．∴툃팃平面팃，∵팃平面팃，∴툃팃팃，三角形툃팃是以팃为直角顶点的直角三角形．∵팃中，팃＝ݔ＝，ݔݔ，∴팃ݔݔ팃挀ݔ．∴三角形툃팃的面积팃팃툃＝ݔ．ݔ试卷第4页，总8页
[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得ሺݔݔሺ，ݔݔݔݔሺ툃，ݔݔ．∴ሺݔݔݔሺ툃，ݔݔ，툃ݔ设与툃夹角为，则cos，툃ݔݔݔݔ∴，由此可得异面直线툃与所成的角的大小为．[解法二]取的中点，连接、、툃，∵툃中，、分别是툃、的中点，∴툃，或其补角就是异面直线툃与所成的角．∵툃中，툃ݔ툃挀ݔ．∴툃＝ݔ，ݔ∵在中，툃ݔ，ݔݔݔ∴ݔ＝ݔ挀ݔ，是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，可得异面直线툃与所成的角的大小为．20.解：ሺݔ挀ሼሺgl嘿ݔሼݔ嘿ݔሺglݔ挀ሼሺgl嘿ݔ挀ሼݔ嘿ሺglݔሼሺ嘿ݔሼݔ嘿ሺݔ，要使函数有意义，ݔ嘿ݔሼʹ则由ሼ挀ʹ解得：嘿ሼ．ݔ嘿ݔሼ由lgሺݔ挀ሼሺgl嘿ݔሼݔ嘿ݔlg，ሼ挀ݔ嘿ݔሼ得：，ሼ挀∵ሼ挀ʹ，∴ሼ挀ݔ嘿ݔሼሼ挀，ݔ∴嘿ሼ．试卷第5页，总8页
嘿ሼ，由ݔ，嘿ሼݔ得：嘿ሼ．ሺݔ，时㌳ݔሼ当ݔݔ嘿ሼ㌳，∴ሺሼݔሺሼ嘿ݔݔሺݔ嘿ሼݔሺݔ嘿ሼݔlgሺ嘿ሼݔ，由单调性可知lgݔ㌳，又∵ሼ嘿，∴所求反函数是嘿ሼ，ሼlgݔ㌳．ݔݔ21.解：（1）Ǥ时，的横坐标ሼ，代入抛物线方程ሼ中，得ݔ的纵坐标．…ݔ分由，得救援船速度的大小为海里/时．…分ݔ由tan2，得2arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度．…分（2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为ሺݔݔݔ．由ሺݔ挀ݔሺݔ得理整，ݔݔݔ挀ݔݔሺ挀ݔݔ挀．…分ݔݔݔݔ因为挀ݔ挀ݔ以所，立成号等时当仅且当，ݔ，即ݔݔ．因此，救援船的时速至少是ݔ海里才能追上失事船．…分ሼݔݔݔ22.解：（1）双曲线툃嘿左顶点ሺ嘿ݔ，ݔݔ渐近线方程为：ݔሼ．ݔ过与渐近线ݔ即，ݔ挀ሼሺݔ为程方线直的行平ሼݔሼ挀，ݔݔ嘿ݔሼሼ嘿所以，解得．ݔሼ挀ݔݔ所以所求三角形的面积为2．ݔ（2）设直线的方程为䁠ሼ挀ܾ，ܾ因直线与已知圆相切，故，ݔ䁠ሼ挀ܾ即ܾݔݔ，由，ݔ嘿ݔሼݔ得ሼݔ嘿ݔܾሼ嘿ܾݔ嘿，ሼ挀ሼݔݔܾ设ሺሼݔ则，ݔݔݔሼሺ，ݔ，ሼሼݔ嘿嘿ܾ又ݔܾ挀ݔሼሺݔܾ挀ሼሺݔ．所以22ሼሼݔܾ挀ݔݔሼ挀ሼሺܾ挀ݔሼሼݔݔ挀ݔݔሺ嘿嘿ܾݔݔ挀ݔܾݔ挀ܾݔ试卷第6页，总8页
ܾݔ嘿ݔ．故22．ݔ（3）当直线2垂直ሼ轴时，2，2，则2到直线的距离为．ݔݔ当直线2不垂直ሼ轴时，设直线2的方程为：䁠ሼ，（显然䁠ʹ），ݔ则直线2的方程为嘿ሼ，由䁠ݔሼ䁠ሼ挀䁠ݔሼݔ䁠得ݔ挀ݔ，ݔ挀䁠ݔݔ䁠挀ݔ所以2．挀䁠ݔݔ䁠挀ݔ同理2，ݔ䁠ݔ嘿设2到直线的距离为，因为ሺ2ݔ2ݔ2ݔݔݔ2挀ݔ，挀䁠ݔ所以挀，ݔ䁠ݔ2ݔ2ݔ挀即．综上，2到直线的距离是定值．23.选取െሺሼݔ＝ሼ以所，ݔܾ嘿ሺ式形有必素元的直垂െ与中则，ݔݔܾ，又∵ሼʹݔ＝ܾ有只∴，ݔ，从而ሼ＝．取െሺሼሼݔ挀䁞ሺ得可，ݔെെ足满，ݔ䁞ሺݔെ设，ݔሼ＝，䁞挀＝，所以䁞、异号．因为嘿是数集中唯一的负数，所以䁞、中的负数必为嘿，另一个数是，所以，假设ሼ䁠＝，其中䁠，则ሼሼ．再取െሺሼሼݔെെ足满，ݔ䁞ሺݔെ设，ݔ，可得䁞ሼ挀ሼ＝，所以䁞、异号，其中一个为嘿①若䁞＝嘿，则ሼ＝ሼʹሼ，矛盾；②若＝嘿，则ሼ＝䁞ሼ䁞ሼ，矛盾；说明假设不成立，由此可得当ሼʹ时，ሼ＝．[解法一]猜想：ሼ＝嘿，＝，ݔ，，…，记䁠嘿ሼሼݔ＝䁠，ݔ䁠ሼǤǤǤݔ，，…，先证明若䁠挀具有性质，则䁠也具有性质．任取െሺ䁞ݔെെ足满ݔെ有然显，时嘿现出中、䁞当，䁠、䁞，ݔ当䁞、中都不是嘿时，满足䁞且．因为䁠挀具有性质，所以有െݔെെ得使，挀䁠、䁞，ݔ䁞ሺݔ，从而䁞、其中有一个为嘿不妨设䁞＝嘿，试卷第7页，总8页
假设䁠挀，且䁠，则＝ሼ䁠挀．由ሺ䁞ݔ挀䁠ሼ嘿ሺݔ＝，得䁞＝ሼ䁠挀ሼ䁠挀，与䁞䁠矛盾．所以䁠，从而䁠也具有性质．再用数学归纳法，证明ሼ＝嘿，＝，ݔ，，…，当＝ݔ时，结论显然成立；假设当＝䁠时，嘿ሼሼǤǤǤሼݔ，＝，嘿＝ሼ则，质性有具ݔ，…，䁠䁠ݔ䁠当＝䁠挀时，若䁠挀嘿ሼሼݔǤǤǤሼ䁠挀ݔ具有性质，则䁠嘿ሼሼݔǤǤǤሼ䁠ݔ具有性质，所以嘿ݔሼ嘿䁠ǤǤǤݔ．䁠挀䁠挀取െሺሼ䁠挀ݔെെ足满，ݔ䁞ሺݔെ设并，ݔ，由此可得䁞＝嘿或＝嘿若＝嘿，则ሼ䁠挀，不可能䁞所以䁞＝嘿，ሼ＝＝䁠且ሼʹ䁠嘿，因此ሼ＝䁠䁠挀䁠挀䁠挀综上所述，ሼ＝嘿，＝，ݔ，，…，䁞ݔ[解法二]设െሺ䁞ݔെെ则，ݔݔݔ䁞ሺݔെ，ݔ等价于嘿䁞ݔ䁞记＝䁞且䁞ʹݔ，则数集具有性质，当且仅当数集关于原点对称注意到嘿是集合中唯一的负数，ሺ嘿ݔሼ嘿ǤǤǤሼ嘿ሼ嘿ݔሼ嘿＝ݔ，共有嘿个数．所以ሺ挀ݔ也有嘿个数．ሼሼሼሼሼ由于，已经有嘿个数ሼ嘿ሼ嘿ݔሼ嘿ሼݔሼሼሼሼሼሼ对以下三角形数阵：，ሼ嘿ሼ嘿ݔሼ嘿ሼݔሼሼ嘿ሼ嘿ሼ嘿ሼ嘿ሼ嘿ݔሼ嘿ሼ嘿ሼ…ሼݔሼሼሼ嘿ሼ嘿ݔሼݔሼሼ嘿ሼݔ注意到ʹʹʹʹ，所以ሼሼሼሼሼ嘿ሼ嘿ݔሼሺሼݔݔ䁠嘿䁠嘿从而数列的通项公式是ሼ䁠＝ሼ＝，䁠＝，ݔ，，…，．ሼ试卷第8页，总8页
