2008年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）)1.不等式޺㴈的解集是________．2.若集合޺，޺满足޺，则实数________．3.若复数满足݅޺ʹ（是虚数单位），则________．4.若函数݅ʹ的反函数为޺݅ʹ݅൐ʹ，则݅ʹ________．5.若向量，满足ͳ且与的夹角为，则________．6.函数݅ʹsinsin݅ʹ的最大值是________．7.在平面直角坐标系中，从六个点：݅൐ͳ൐ʹ、݅ͳ൐ʹ、݅ͳʹ、݅൐ͳʹ、݅ͳʹ、݅ͳʹ中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________（结果用分数表示）．8.设函数݅ʹ是定义在上的奇函数，若当݅൐ͳʹ时，݅ʹlg，则满足݅ʹ൐的的取值范围是________．9.已知总体的各个体的值由小到大依次为，，，，，，，㜲，′㜲，൐，且总体的中位数为൐㜲⸰，平均数为൐．若要使该总体的方差最小，则、的取值分别是________．10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为，短轴长为的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为、，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为、，那么船只已进入该浅水区的判别条件是________．11.方程޺൐的解可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，若޺൐的各个实根，，…，݅ʹ所对应的点݅ͳʹ݅ͳ,…,ʹ均在直线的同侧，则实数的取值范围是________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)12.组合数݅ͳ、ʹ恒等于（）޺޺A.B.݅ʹ݅ʹ޺޺޺޺C.D.޺޺13.给定空间中的直线及平面，条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（）条件．试卷第1页，总7页 A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必要14.若数列޺是首项为，公比为޺的无穷等比数列，且޺各项的和为，则的值是（）⸰A.B.C.D.15.如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成区域（含边界），、、、是该圆的四等分点，若点݅ͳʹ、݅ͳʹ满足且，则称优于，如果中的点满足：不存在中的其它点优于，那么所有这样的点组成的集合是劣弧（）A.B.C.D.三、解答题（共6小题，满分90分）)16.如图，在棱长为的正方体޺中，是的中点．求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为൐的扇形扇，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于扇的小路，已知某人从沿走到用了൐分钟，从沿走到用了分钟，若此人步行的速度为每分钟⸰൐米，求该扇形的半径扇的长（精确到米）18.已知双曲线：޺，为双曲线上任意一点．试卷第2页，总7页 （1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）若点݅ͳ൐ʹ，求的最小值．19.已知函数݅ʹ޺．（1）若݅ʹ，求的值；（2）若݅ʹ݅ʹ൐对于，恒成立，求实数的取值范围．20.设݅ͳʹ݅൐ʹ是平面直角坐标系扇中的点，是经过原点与点݅ͳʹ的直线，记是直线与抛物线䁜݅䁜൐ʹ的异于原点的交点（1）若，，䁜，求点的坐标（2）若点݅ͳʹ݅൐ʹ在椭圆上，䁜，求证：点落在双曲线޺上（3）若动点݅ͳʹ满足൐，䁜，若点始终落在一条关于轴对称的抛物线上，试问动点的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．㴈21.已知以为首项的数列޺满足：（1）当，，时，求数列޺的通项公式（2）当൐㴈㴈，，时，试用表示数列޺的前൐൐项的和൐൐（3）当൐㴈㴈（是正整数），，时，求证：数列޺，޺，޺，޺成等比数列当且仅当．试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2008年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1.݅൐ͳʹ2.3.4.5.6.7.8.݅޺ͳ൐ʹ݅ͳʹ9.൐㜲⸰，൐㜲⸰10.cotcot11.݅޺ͳ޺ʹ݅ͳʹ二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12.D13.C14.B15.D三、解答题（共6小题，满分90分）16.解：过作，交于，连接．∵，∴，而平面∴平面，∴是直线与平面所成的角由题意，得．∵，⸰．试卷第4页，总7页 ⸰∵，∴tan．⸰⸰故直线与平面所成角的大小是arctan⸰17.该扇形的半径扇的长约为⸰米．法二：连接，作扇，交于，由题意，得⸰൐൐（米），൐൐（米），൐在扇中，޺cos൐⸰൐൐൐൐⸰൐൐൐൐൐൐．∴൐൐（米）．޺cos．在直角扇中，⸰൐（米），cos扇，൐൐∴扇⸰（米）．cos扇答：该扇形的半径扇的长约为⸰米．18.（1）证明：设݅ͳʹ，由题意得双曲线的两条渐近线方程分别为޺޺൐和൐，则点݅ͳʹ到两条渐近线的距离分别为和，又⸰⸰޺޺，所以点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常⸰⸰⸰⸰数．（2）解：设݅ͳʹ，则⸰݅޺ʹ݅޺ʹ޺݅޺ʹ⸰⸰因为，所以当时，有最小值，⸰⸰⸰即的最小值为．⸰19.解（1）当㴈൐时，݅ʹ޺൐，∴݅ʹ无解；当൐时，݅ʹ޺，޺，∴݅ʹ޺޺൐，∴．∵൐，∴޺（舍）．∴，试卷第5页，总7页 ∴log݅ʹ．（2）∵，，∴݅ʹ޺൐，∴݅޺ʹ݅޺ʹ൐．∴݅ʹ൐，即，时޺޺恒成立又޺޺޺൐ͳ޺，∴޺．∴实数的取值范围为޺ͳʹ．20.解：（1）当，，䁜时，′解方程组得即点的坐标为݅′ͳʹ（2）证明：由方程组得即点的坐标为݅，ʹ∵时椭圆上的点，即∴݅ʹ޺݅ʹ݅޺ʹ，因此点落在双曲线޺上（3）设所在的抛物线方程为݅޺ʹ，൐将݅，ʹ代入方程，得݅޺ʹ，即޺当൐时，，此时点的轨迹落在抛物线上；当时，݅޺ʹ，此时点的轨迹落在圆上；݅޺ʹ当൐且时，，此时点的轨迹落在椭圆上；݅޺ʹ当㴈൐时޺，此时点的轨迹落在双曲线上；݅޺ʹͳ޺21.解：（1）由题意得ͳ޺，݅ʹͳ（2）当൐㴈㴈时，，，，⸰，，，޺޺，޺，޺∴൐൐݅ʹ݅⸰ʹ㜲㜲㜲݅′൐൐ʹ试卷第6页，总7页 ݅ʹ݅ʹ݅ʹ݅ʹ݅ʹ݅޺ʹ′（3）当时，，޺∵޺㴈㴈，∴；∵޺㴈㴈∴；∵޺㴈㴈，∴，∴޺，޺，޺，∴޺综上所述，当时，数列޺，޺，޺，޺是公比为的等比数列当时，݅൐ͳʹ，݅ͳʹ，݅൐ͳʹ，޺݅޺ͳʹ，由于޺㴈൐，޺൐，޺൐故数列޺，޺，޺，޺，不是等比数列所以，数列޺，޺，޺，޺，成等比数列当且仅当试卷第7页，总7页