2006年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）)1.已知A={-1, 3, m}，集合B={3, 4}，若B⊆A，则实数m=________．2.已知两条直线l1:ax+3y-3=0，l2:4x+6y-1=0．若l1 // l2，则a=________．3.若函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(2, -1)，则a=________．4.计算：limn→∞n(n2+1)6n3+1=________．5.若复数z满足z=(m-2)+(m+1)i（i为虚数单位）为纯虚数，其中m∈R，则|z|=________．6.函数y＝sinxcosx的最小正周期是________．7.已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3, 0)，且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是________．8.方程log3(x2-10)=1+log3x的解是________．9.已知实数x，y满足x+y-3≥0x+2y-5≤0x≥0y≥0，则y-2x的最大值是________．10.在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是________（结果用分数表示）．11.若曲线|y|＝2x+1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．12.如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p, q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1, 2)的点的个数是________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(        )A.AB→=DC→B.AD→+AB→=AC→C.AB→-AD→=BD→D.AD→+CB→=0→14.如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是(    )A.1a<1bB.-a|b|15.若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（）试卷第5页，总6页 A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件16.如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（    ）A.48B.18C.24D.36三、解答题（共6小题，满分86分）)17.已知α是第一象限的角，且cosα=513，求sin(α+π4)cos(2α+4π)的值．18.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30∘，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1∘）？19.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90∘，AB=BC=1．(1)求异面直线B1C1与AC所成角的大小；(2)若∠A1CA=45∘，求三棱锥A1-ABC的体积．20.设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an+Sn=4096．（1）求数列{an}的通项公式（2）设数列{log2an}的前n项和为Tn，对数列{Tn}，从第几项起Tn<-509？21.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-3,0)，右顶点为D(2, 0)，设点A(1,12)．（1）求该椭圆的标准方程；试卷第5页，总6页 （2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值．22.已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0,a]上是减函数，在[a，+∞)上是增函数．（1）如果函数y=x+2bx(x>0)在(0, 4]上是减函数，在[4, +∞)上是增函数，求b的值．（2）设常数c∈[1, 4]，求函数f(x)=x+cx(1≤x≤2)的最大值和最小值；（3）当n是正整数时，研究函数g(x)=xn+cxn(c>0)的单调性，并说明理由．试卷第5页，总6页 参考答案与试题解析2006年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1.42.23.124.165.36.π7.x29-y216=18.59.010.143311.-1≤b≤112.4二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.C14.A15.A16.D三、解答题（共6小题，满分86分）17.解：sin(α+π4)cos(2α+4π)=22(cosα+sinα)cos2α=22(cosα+sinα)cos2α-sin2α=22⋅1cosα-sinα由已知可得sinα=1213，∴原式=22×1513-1213=-13214．18.解：连接BC，由余弦定理得BC2=202+102-2×20×10COS120∘=700．于是，BC=107∵sinACB20=sin120∘107，∴sin∠ACB=37，∵∠ACB<90∘∴∠ACB=41∘∴乙船应朝北偏东71∘试卷第5页，总6页 方向沿直线前往B处救援．19.解：(1)∵BC // B1C1，∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成的角（或它的补角），∵∠ABC=90∘，AB=BC=1，∴∠ACB=45∘，∴异面直线B1C1与AC所成角为45∘．(2)∵AA1⊥平面ABC，∴∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠ACA1=45∘．∵∠ABC=90∘，AB=BC=1，AC=2，∴AA1=2．∴三棱锥A1-ABC的体积为：VA1-ABC=13S△ABC⋅AA1=26．20.解：（1）∵an+Sn=4096，∴a1+S1=4096，a1=2048．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(4096-an)-(4096-an-1)=an-1-an∴anan-1=12an=2048(12)n-1．（2）∵log2an=log2[2048(12)n-1]=12-n，∴Tn=12(-n2+23n)．由Tn<-509，解得n>23+46012，而n是正整数，于是，n≥46．∴从第46项起Tn<-509．21.由已知得椭圆的半长轴a＝2，半焦距c=3，则半短轴b＝1．又椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为x24+y2=1设线段PA的中点为M(x, y)，点P的坐标是(x0, y0)，由x=x0+12y=y0+122 得x0=2x-1y0=2y-12 由，点P在椭圆上，得(2x-1)24+(2y-12)2=1试卷第5页，总6页 ，∴线段PA中点M的轨迹方程是(x-12)2+4(y-14)2=1．当直线BC垂直于x轴时，BC＝2，因此△ABC的面积S△ABC＝1．当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y＝kx，代入x24+y2=1，解得B(24k2+1, 2k4k2+1)，C(-24k2+1, -2k4k2+1)，则|BC|=41+k21+4k2，又点A到直线BC的距离d=|k-12|1+k2，∴△ABC的面积S△ABC=12|BC|⋅d=|2k-1|1+4k2于是S△ABC=4k2-4k+14k2+1=1-4k4k2+1由4k4k2+1≥-1，得S△ABC≤2，其中，当k=-12时，等号成立．∴S△ABC的最大值是2．22.解：（1）由已知得2b=4，∴b=4．（2）∵c∈[1, 4]，∴c∈[1, 2]，于是，当x=c时，函数f(x)=x+cx取得最小值2c．f(1)-f(2)=c-22，当1≤c≤2时，函数f(x)的最大值是f(2)=2+c2；当2≤c≤4时，函数f(x)的最大值是f(1)=1+c．（3）设0g(x1)，函数g(x)在[2nc，+∞)上是增函数；当0g(x1)，函数g(x)在(0, 2nc]上是减函数．当n是奇数时，g(x)是奇函数，函数g(x)在(-∞, -2nc]上是增函数，在[-2nc，0)上是减函数．当n是偶数时，g(x)是偶函数，函数g(x)在(-∞, -2nc)上是减函数，在[-2nc, 0]上是增函数．试卷第5页，总6页