2006年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）)1.已知集合＝‴㈱⸶⸶݉‴㈱，集合＝⸶݉．若，则实数݉＝________．2.已知圆‴T‴Tt的圆心是点，则点到直线‴‴㈱的距离是________．3.若函数ሺݔ㈱‴⸶ሺ点过象图的数函反的ݔ㈱且，䁔ሺݔ，则________．lim4.计算：________；t㈱5.若复数同时满足‴ㄶ，ㄶ（ㄶ为虚数单位），则________；㈱6.如果cos，且是第四象限的角，那么cosሺtݔ________．7.已知椭圆中心在原点，一个焦点为ሺ‴⸶ݔ，且长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的标准方程是________．8.在极坐标系中，是极点，设点ሺT⸶ݔ‴⸶ሺ，ݔ，则的面积是________．9.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷㈱本，共本．将它们任意地排成一排，左边T本恰好都属于同一部小说的概率是________（结果用分数表示）．10.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.11.若曲线t㈱与直线䁞t香没有公共点，则䁞、香分别应满足的条件是________．12.三个同学对问题“关于的不等式tt‴在㈱⸶㈱䁃上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图象”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是ሺݔA.B.tC.‴D.t14.若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）试卷第1页，总8页 A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件15.若关于的不等式ሺ㈱t䁞ݔ䁞TtT的解集是，则对任意实常数䁞，总有（）A.，B.，C.，D.，16.如图，平面中两条直线㈱和相交于点，对于平面上任意一点，若、分别是到直线㈱和的距离，则称有序非负实数对ሺ⸶ݔ是点的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题：①若，则“距离坐标”为ሺ⸶ݔ的点有且仅有㈱个；②若，且t，则“距离坐标”为ሺ⸶ݔ的点有且仅有个；③若，则“距离坐标”为ሺ⸶ݔ的点有且仅有T个．上述命题中，正确命题的个数是（）A.B.㈱C.D.三、解答题（共6小题，满分86分）)17.求函数cosሺtݔcosሺ‴ݔtsin的值域和最小正周期．TT18.如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距㈱海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到㈱）？19.在四棱锥‴中，底面是边长为的菱形，，对角线与相交于点，平面，与平面所成的角为．（1）求四棱锥‴的体积；试卷第2页，总8页 （2）若是的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20.在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点．ሺ㈱ݔ⸶ሺ点过线直果如”：证求ݔ，那么”是真命题；ሺݔ写出ሺ㈱ݔ中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．21.已知有穷数列共有䁞项（整数䁞），首项㈱．设该数列的前项和为，且t㈱ሺ‴㈱ݔ㈱‴䁞,…,⸶㈱ሺtݔ，其中常数䁔㈱．（1）求证：数列是等比数列；㈱（2）若䁞‴㈱，数列香满足香logሺ㈱ݔሺ㈱⸶,…,䁞ݔ，求数列香的通项公式；（3）若（2）中的数列香满足不等式香㈱‴t香‴tt香䁞‴㈱‴t香䁞‴T，求䁞的值．22.已知函数t有如下性质：如果常数䁔，那么该函数在ሺ⸶䁃上是减函数，在⸶tݔ上是增函数．香ሺtݔt⸶为域值的ݔ䁔ሺt数函果如ݔ，求香的值；ሺttݔ研究函数t（常数䁔）在定义域内的单调性，并说明理由；ሺtttݔ对函数t和t（常数䁔）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数㈱㈱㈱ሺݔtሺtݔtሺݔ（是正整数）在区间⸶䁃上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．试卷第3页，总8页 参考答案与试题解析2006年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1.㈱2.㈱3.㈱4.5.ㄶ‴㈱6.7.t㈱㈱T8.㈱9.10.11.䁞，香ሺ‴㈱⸶㈱ݔ12.ሺ‴⸶㈱䁃二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.C14.A15.A16.D三、解答题（共6小题，满分86分）17.解：cosሺtݔcosሺ‴ݔtsinTT㈱㈱ሺcos‴sinݔtsincostsinsinሺtݔ∴函数cosሺtݔcosሺ‴ݔtsin的值域是‴⸶䁃，TT最小正周期是；18.解：连接，由余弦定理得t㈱‴㈱㈱晦．于是，㈱晦试卷第4页，总8页 sinsin㈱∵，㈱晦∴sin，晦∵⸴∴T㈱∴乙船应朝北偏东晦㈱方向沿直线前往处救援．19.解：（1）在四棱锥‴中，由平面，得是与平面所成的角，．在中sin㈱，由，于是，tan，而底面菱形的面积为．㈱∴四棱锥‴的体积．（2）解法一：以为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系．在中，于是，点、、、的坐标分别是ሺ⸶‴⸶ݔ，ሺ㈱⸶⸶ݔ⸶⸶ሺ，ݔ⸶⸶㈱‴ሺ，ݔ．㈱是的中点，则ሺ⸶⸶ݔ⸶⸶ሺ，ݔ⸶⸶ሺ是于ݔ．设与的夹角为，有cos，arccos，TT∴异面直线与所成角的大小是arccos；T解法二：取的中点，连接、．由是的中点，得，试卷第5页，总8页 ∴是异面直线与所成角（或它的补角），在中cos，于是，在等腰中，，则．在正和正中，，㈱TcosT∴异面直线与所成角的大小是arccos．T20.ሺ㈱ݔ⸶ሺ、ݔ㈱⸶㈱ሺ点于线物抛交线直的ݔ⸶ሺ点过设：明证ݔ．当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与抛物线相交于点ሺ⸶ݔ‴⸶ሺ、ݔ．∴；当直线的斜率存在时，设直线的方程为䁞ሺ‴ݔ，其中䁞，由得䁞‴‴䁞㈱‴䁞ሺ‴ݔ㈱㈱又∵㈱㈱，，㈱∴㈱t㈱ሺ㈱ݔt㈱，T综上所述，命题“如果直线过点ሺ⸶ݔ，那么”是真命题.ሺݔ解：逆命题是：设直线交抛物线于、两点，如果，那么该直线过点ሺ⸶ݔ．该命题是假命题．㈱例如：取抛物线上的点ሺ⸶ݔ㈱⸶ሺ，ݔ，此时，直线的方程为：ሺt㈱ݔ⸶ሺ而，ݔ不在直线上；说明：由抛物线上的点ሺ㈱⸶㈱ݔ⸶ሺ、ݔ满足，可得㈱‴，或㈱，如果㈱‴，可证得直线过点ሺ⸶ݔ；如果㈱，可证得直线过点ሺ‴㈱⸶ݔ⸶ሺ点过不而，ݔ．试卷第6页，总8页 21.解：由题意：（1）证明：当㈱时，，则；㈱当䁞‴㈱时，t㈱ሺ‴㈱ݔ㈱‴ሺ，tݔ‴㈱t，∴t㈱‴ሺ‴㈱ݔ，t㈱∴，∴数列是等比数列．（2）解：由（1）得‴㈱，ሺ‴㈱ݔ㈱‴ሺݔ㈱ttt（‴㈱）t∴㈱䁞‴㈱，㈱ሺ‴㈱ݔ‴㈱香t䁃t㈱ሺ㈱⸶⸶䁞ݔ．䁞‴㈱䁞‴㈱㈱（3）设香，解得䁞t，又是正整数，于是当䁞时，香⸴；当䁞t㈱时，香䁔．原式ሺ‴香㈱ݔ‴䁞香ሺttݔ‴㈱t䁞香ሺtݔ䁞香‴ሺttݔ香‴ሺtݔሺ香䁞t㈱tt香䁞ݔ‴ሺ香㈱tt香䁞ݔ㈱㈱ሺ䁞t䁞‴㈱ݔ䁞ሺt䁞‴㈱ݔ䁞䁞t䁞䁃‴t䁞䁃．䁞‴㈱䁞‴㈱䁞‴㈱䁞当T，得䁞‴䁞tT，T‴䁞Tt，又䁞，䁞‴㈱∴当䁞，，T，，，晦时，原不等式成立．香22.解：ሺ㈱ݔ函数tሺ䁔ݔ的最小值是香，则香，∴香log．ሺݔ‴㈱ሺݔ㈱‴ሺ‴㈱‴t㈱‴，⸴㈱⸴设ݔ．㈱㈱TT当⸴㈱⸴时，䁔㈱，函数t在，tݔ上是增函数；TT当⸴㈱⸴⸴时⸴㈱，函数t在ሺ⸶䁃上是减函数．又t是偶函数，于是，TT该函数在ሺ‴⸶‴䁃上是减函数，在‴，ݔ上是增函数；ሺݔ可以把函数推广为t（常数䁔），其中是正整数．当是奇数时，函数t在ሺ⸶䁃上是减函数，在，tݔ上是增函数，在ሺ‴⸶‴䁃上是增函数，在‴，ݔ上是减函数；当是偶数时，函数t在ሺ⸶䁃上是减函数，在，tݔ上是增函数，在ሺ‴⸶‴䁃上是减函数，在‴，ݔ上是增函数；㈱㈱ሺݔtሺtݔtሺݔ试卷第7页，总8页 ሺt㈱ݔ㈱tሺttݔ㈱t‴ሺttݔ㈱t‴ሺ㈱tݔ，‴‴㈱因此ሺݔ在⸶㈱䁃上是减函数，在㈱⸶䁃上是增函数．㈱所以，当或时，ሺݔሺtݔሺ值大最得取ݔ；T当㈱时ሺݔ取得最小值t㈱；试卷第8页，总8页