2005年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．)1.方程lgx2-lg(x+2)=0的解集是________．2.limn→∞n+21+2+…+n=________．3.若cosα=35，且α∈(0, π2)，则tanα2=________．4.函数f(x)=-x2(x∈(-∞, -2])的反函数f-1(x)=________5.在△ABC中，若∠C=90∘，AC=BC=4，则BA→⋅BC→=________．6.某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是________．（结果用最简分数表示）7.双曲线9x2-16y2=1的焦距是________8.若(x+2)n=xn+...+ax3+bx2+cx+2n(n∈N，且n≥3)，且a:b=3:2，则n=________．9.设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，关于数列{an}有下列三个命题①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an=an+1(n∈N*)；②若Sn=an2+bn(a, b∈R)，则{an}是等差数列；③若Sn=1-(-1)n，则{an}是等比数列；这些命题中，真命题的序号是________．10.若集合A={x|3cos2πx=3x, x∈R}，B={y|y2=1, y∈R}，则A∩B=________．11.函数y=sinx+arcsinx的值域是________．12.已知函数f(x)=2x+log2x，数列{an}的通项公式是an=0.1n(n∈N)，当|f(an)-2005|取得最小值时，n=________．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分.)13.知直线l、m、n及平面α，下列命题中的假命题是（）A.若l // m，m // n，则l // nB.若l⊥α，n // α，则l⊥nC.若l⊥m，m // n，则l⊥nD.若l // α，n // α，则l // n14.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是（）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形15.若a、b、c是常数，则“a>0且b2-4ac<0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c>0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R试卷第5页，总6页
，且x≠x0，有f(x)
b>0)．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．试卷第5页，总6页
参考答案与试题解析2005年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1.{-1, 2}2.03.124.--x(x≤-4)5.166.12607.568.119.①②③10.{1}11.[-sin1-π2, sin1+π2]12.110二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分.13.D14.B15.A16.C三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.解：设z=x+yi(x，y∈R)，所以z+2i=x+(y+2)i，由题意，得y=-2．因为z2-i=x-2i2-i=15(x-2i)(2+i)=15(2x+2)+15(x-4)i，由题意，得x=4，所以z=4-2i．因为(z+ai)2=12+4a-a2+8(a-2)i，根据条件，可知12+4a-a2>08(a-2)>0，解得20，由点到直线的距离公式可知，|PM|=|x0-y0|2=1x0，|PN|=x0，∴有|PM|⋅|PN|=1，即|PM|⋅|PN|为定值，这个值为1．（3）由题意可设M(t, t)，可知N(0, y0)．∵PM与直线y=x垂直，∴kPM⋅1=-1，即y0-tx0-t=-1．解得t=12(x0+y0)．又y0=x0+2x0，∴t=x0+22x0．∴S△OPM=12x02+22，S△OPN=12x02+22．∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=12(x02+1x02)+2≥1+2．当且仅当x0=1时，等号成立．此时四边形OMPN的面积有最小值：1+2．22.解：（1）设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1，a>b>0，∴a2=b2+4，即椭圆的方程为x2b2+4+y2b2=1．∵点(-2, -2)在椭圆上，∴4b2+4+2b2=1．解得b2=4或b2=-2（舍）．由此得a2=8，即椭圆的标准方程为x28+y24=1．（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆C的交点A(x1, y1)、B(x2, y2)，y=kx+m，则有x2a2+y2b2=1．解得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0．∵△>0，∴m2
