2004年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）)1.若tan，则tan________．2.设抛物线的顶点坐标为䁚，准线方程为Ѐ，则它的焦点坐标为________．3.设集合ሼ䁚log쳌香，集合쳌䁚香．若香，则________．lim4.设等比数列쳌香的公比Ѐ，且쳌쳌쳌ሼǤǤǤ쳌Ѐ，则쳌________．5.设奇函数的定义域为Ѐሼ䁚ሼ，若当䁚ሼ时，的图象如图，则不等式ꀀ的解集是________．6.已知点䁚Ѐ，若向量与쳌䁚同向，，则点的坐标为________．7.在极坐标系中，点䁚到直线cossin的距离________．8.圆心在直线ЀЀ쳌＝上的圆与轴交于两点䁚Ѐ、䁚Ѐ，则圆的方程为________．9.若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是________．（结果用分数表示）10.若函数쳌Ѐ在䁚上为增函数，则实数쳌、的取值范围是________．11.教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是________．12.若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设쳌香是公比为的无穷等比数列，下列쳌香的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第________组．（写出所有符合要求的组号）①与；②쳌与；③쳌与쳌；④与쳌．（其中为大于的整数，为쳌香的前项和．）二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.在下列关于直线，与平面，的命题中，真命题是A.若，且ᦙ，则ᦙB.若ᦙ，且，则ᦙC.若，且ᦙ，则D.若ᦙ，且ᦙ，则14.三角方程sinЀ的解集为（）试卷第1页，总7页 ሼA.䁚香B.䁚香C.䁚香D.Ѐ䁚香15.若函数的图象可由lg的图象绕坐标原点逆时针旋转得到，则等于（）A.ЀЀB.ЀC.ЀЀD.Ѐ16.某地年第一季度应聘和招聘人数排行榜前ሼ个行业的情况列表如下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数ሼሼሼ쳌쳌ሼ쳌ሼ行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数ሼሼ쳌ሼ쳌若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）A.计算机行业好于化工行业B.建筑行业好于物流行业C.机械行业最紧张D.营销行业比贸易行业紧张三、解答题（共6小题，满分86分）)17.已知复数满足൅Ѐሼ൅，쳌ЀЀ൅，其中൅为虚数单位，쳌，若Ѐꀀ，求쳌的取值范围．18.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为、（单位：）的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积．问、分别为多少（精确到Ǥ）时用料最省？19.记函数Ѐ的定义域为，lgЀ쳌Ѐ쳌Ѐ，쳌ꀀ的定义域为．若，求实数쳌的取值范围．20.已知二次函数的图象以原点为顶点且过点䁚，反比例函数的图象与直线的两个交点间距离为，．（1）求函数的表达式；（2）证明：当쳌㤵时，关于的方程쳌有三个实数解．试卷第2页，总7页 21.如图，Ѐ是底面边长为的正三棱锥，、、分别为棱长、、上的点，截面底面，且棱台Ѐ与棱锥Ѐ的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：Ѐ为正四面体；（2）若求二面角ЀЀ的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）设棱台Ѐ的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台Ѐ有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．22.设䁚，䁚，…，䁚䁚是二次曲线上的点，且쳌，쳌，…，쳌构成了一个公差为的等差数列，其中是坐标原点．记쳌쳌ǤǤǤ쳌．（1）若的方程为，．点䁚及ሼሼ，求点的坐标；ሼ（只需写出一个）（2）若的方程为쳌㤵㤵．点쳌䁚，对于给定的自然数，当公差쳌变化时，求的最小值；（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线及上的一点，对于给定的自然数，写出符合条件的点，，…存在的充要条件，并说明理由．符号意义本试卷所用符号等同于《实验教材》符号向量坐标쳌䁚香쳌䁚正切tan试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2004年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1.2.ሼ䁚3.䁚䁚ሼ香4.5.Ѐꀀꀀ或ꀀꀀሼ香．6.ሼ䁚ሼ7.ሼ8.Ѐ＝ሼ9.10.쳌㤵且11.用代数的方法研究图形的几何性质12.①④二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.B14.C15.A16.B三、解答题（共6小题，满分86分）Ѐሼ൅17.解：由题意得൅，൅于是ЀЀ쳌൅Ѐ쳌，Ǥ则有Ѐ쳌ꀀ，得쳌Ѐ쳌쳌ꀀ，ꀀ쳌ꀀ쳌．18.解：由题意得，Ѐ∴Ѐꀀꀀ．框架用料长度为，．当，即Ѐ时等号成立．此时，Ǥ，Ǥ．故当为Ǥ，为Ǥ时，用料最省．试卷第4页，总7页 Ѐ19.解：由Ѐ得：，解得ꀀЀ或，即Ѐ䁚Ѐ䁚由Ѐ쳌Ѐ쳌Ѐ㤵得：Ѐ쳌ЀЀ쳌ꀀ由쳌ꀀ得쳌㤵쳌，∴쳌䁚쳌∵，∴쳌或쳌Ѐ即쳌或쳌Ѐ，而쳌ꀀ，∴쳌ꀀ或쳌Ѐ故当时，实数쳌的取值范围是Ѐ䁚Ѐ䁚20.解：（1）由已知，设쳌，过点䁚，即，得쳌，∴．设㤵，它的图象与直线的交点分别为䁚Ѐ䁚Ѐ由，得，．∴．故．（2）证法一：쳌，得쳌，쳌即Ѐ쳌．쳌在同一坐标系内作出和Ѐ쳌的大致图象，쳌其中的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，与的图象是以䁚쳌为顶点，开口向下的抛物线．쳌因此，与的图象在第三象限有一个交点，即쳌有一个负数解．又∵，Ѐ쳌쳌当쳌㤵时，．Ѐ쳌Ѐ㤵，쳌∴当쳌㤵时，在第一象限的图象上存在一点（䁚）在图象的上方．∴与的图象在第一象限有两个交点，即쳌有两个正数解．因此，方程쳌有三个实数解．证法二：由쳌，得쳌，쳌即Ѐ쳌쳌Ѐ，得方程的一个解쳌．쳌试卷第5页，总7页 方程쳌Ѐ化为쳌쳌Ѐ，쳌由쳌㤵，쳌쳌㤵，得Ѐ쳌Ѐ쳌쳌Ѐ쳌쳌쳌，，쳌쳌∵ꀀ，㤵，∴，且．Ѐ쳌쳌쳌若，即쳌，则쳌쳌쳌，쳌쳌，쳌得쳌或쳌，这与쳌㤵矛盾，∴．故原方程쳌有三个实数解．21.证明：（1）∵棱台Ѐ与棱锥Ѐ的棱长和相等，∴．又∵截面底面，∴，，∴Ѐ是正四面体解：（2）取的中点，连拉，．．∵ᦙ，ᦙ，∴ᦙ平面，ᦙ，则为二面角ЀЀ的平面角．由（1）知，Ѐ的各棱长均为，∴，由是的中点，得sin，∴arcsin．（3）存在满足条件的直平行六面体．棱台Ѐ的棱长和为定值，体积为．设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为，则该六面体棱长和为，体积为sin．∵正四面体Ѐ的体积是，∴ꀀꀀ，ꀀꀀ．可知arcsin故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为arcsin的直平行六面体即满足要求．试卷第6页，总7页 22.解：（1）쳌，由쳌쳌ሼሼ，得쳌쳌．由ሼ，得，쳌∴点的坐标可以为ሼ䁚．（2）原点到二次曲线쳌㤵㤵上各点的最小距离为，最大距离为쳌쳌．∵쳌쳌，∴ꀀ，且쳌쳌Ѐ，Ѐ쳌Ѐ∴ꀀ．∵，㤵ЀЀЀ쳌∴쳌在䁚上递增，ЀЀЀ쳌쳌故的最小值为쳌．Ѐ（3）若双曲线Ѐ，点쳌䁚，쳌则对于给定的，点，，存在的充要条件是㤵．∵原点到双曲线上各点的距离쳌䁚，且쳌，∴点，，存在当且仅当㤵，即㤵．试卷第7页，总7页