2004年上海市春季高考数学试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）)1.若复数满足＝，则的实部是________．2.方程lglg൅＝的解＝________．3.在䳌䁨中，，，分别是角，䳌，䁨所对的边，th，䳌h，，则________．4.过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于，䳌两点，则以为圆心、䳌为直径的圆的方程是________．5.已知函数ሻ൅，则方程＝的解＝________．6.如图，在底面边长为的正三棱锥䳌䁨中，是䳌䁨的中点，若的面积൅是，则侧棱与底面所成角的大小为arcsin．（结果用反三角函数值表示）7.在数列中，൅，且对任意大于的正整数，点，在直线൅t上，则________．8.根据下列h个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第个图形中有________个点．9.一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文h篇和非试点学校的论文൅篇．若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是________．（结果用分数表示）10.若平移椭圆൅൅䁕，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与轴、轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是________．11.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第与第h个数的比为㘠൅．12.在等差数列中，当时，必定是常数数列．然而在等比数列中，对某些正整数、，当时，非常数数列的一个例子是________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.下列函数中，周期为的奇函数是（）试卷第1页，总6页 A.sinB.sin൅C.䁡D.sincos14.若非空集合，则“或”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.在䳌䁨中，有命题①䳌䁨䳌䁨；②䳌䳌䁨䁨t；③若䳌䁨䳌䁨t，则䳌䁨为等腰三角形；④若䁨䳌t，则䳌䁨为锐角三角形．上述命题正确的是()A.①②B.①④C.②③D.②③④16.若t，arccos䁡䁡，则下列不等式恒成立的是（）A.B.tC.D.t三、解答题（共6小题，满分86分）)17.在直角坐标系ㄱ中，已知点coscos和点cos，其中t．若向量ㄱ与ㄱ垂直，求的值．18.已知实数满足不等式t，试判断方程ht有无实根，并给出证明．19.某市tt൅年共有万辆燃油型公交车．有关部门计划于tt年投入入辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加ht耀，试问：（1）该市在tt年应该投入多少辆电力型公交车？（2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？൅20.如图，点为斜三棱柱䳌䁨䳌䁨的侧棱䳌䳌上一点，䳌䳌交于点，䳌䳌交䁨䁨于点．（1）求证：䁨䁨；试卷第2页，总6页 （2）在任意中有余弦定理：cos．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．21.已知函数ሻሻ，（为正常数），且函数与的图象在轴上的截距相等．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；．（3）若为正整数，证明：th22.已知倾斜角为h的直线ሻ过点和点䳌，䳌在第一象限，ሻ䳌ሻ൅．（1）求点䳌的坐标；（2）若直线ሻ与双曲线䁨：t相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值；（3）对于平面上任一点，当点在线段䳌上运动时，称ሻሻ的最小值为与线段䳌的距离．已知点在轴上运动，写出点䁡t到线段䳌的距离关于䁡的函数关系式．试卷第3页，总6页 参考答案与试题解析2004年上海市春季高考数学试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1.2.3.4.5.6.解：在正三棱锥䳌䁨中，是䳌䁨的中点；∴与底面所成角是；∵的面积是，∴sin；൅∵正三棱锥䳌䁨的底面边长为，∴൅，∴sin；䁕൅൅即三棱锥的高为，又顶点在底面上的投影是底面的中心，令为ㄱ，则ㄱ䁕൅∴ㄱㄱ൅൅䁕൅൅൅䁕䁕∴sin，则所求的角为arcsin；故选sin．7.൅8.h9.൅10.11.൅12.，，，，…t，与同为奇数或偶数二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.D14.B15.C16.B三、解答题（共6小题，满分86分）17.解：由题意可知ㄱcoscos，ㄱcos，由ㄱㄱ，得ㄱㄱt，即coscoscost，即得cos试卷第4页，总6页 cost，于是cost或cos，∵t，∴或．൅18.解：由t，解得．∴．∴方程ht的判别式．∵，，∴t．由此得方程ht无实根．19.解：（1）该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列，其中入，ͳh，则在tt年应该投入的电力型公交车为䁕入ͳh䁕h入（辆）．（2）记ͳͳͳ，依据题意，得．tttt൅入ͳh于是httt（辆），ͳh䁕h即ͳh，൅则有ͳh，因此入．所以，到t年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的．൅20.（1）证：由题意知，䁨䁨䳌䳌，䳌䳌，䳌䳌，∴䁨䁨，䁨䁨，且，∴䁨䁨平面，平面，∴䁨䁨；（2）解：在斜三棱柱䳌䁨䳌䁨中，有䳌䳌䳌䁨䁨䳌䁨䁨䳌䁨䁨䳌䁨䁨cos，其中为平面䁨䁨䳌䳌与平面䁨䁨所组成的二面角．∵䁨䁨平面，∴上述的二面角为，在中，cos∴䁨䁨䁨䁨•䁨cos，∵䳌䁨䁨䳌䁨䁨，䁨䁨䁨䁨，䳌䳌䳌䳌，∴cos䳌䳌䳌䁨䁨䳌䁨䁨䳌䁨䁨䳌䁨䁨其中为平面䁨䁨䳌䳌与平面䁨䁨所组成的二面角．21.解：（1）由题意，tt，ሻሻ又t，所以．试卷第5页，总6页 （2）ሻሻ当时，൅，它在上单调递增；当时，，它在，上单调递增．的变化规律：（3）设t，考查数列ht，上式化为t൅解不等式，由h൅解得൅ͳ，因得，于是，൅，而hlgtͳ入䁕…所以，ttt൅h．hhh22.解：（1）直线䳌方程为൅，设点䳌，൅由及t，t得，，点䳌的坐标入为．൅（2）由得䁕tt，䁕设，，则，得．（3）设线段䳌上任意一点坐标为൅，ሻሻ䁡൅，䁡൅䁡൅记䁡൅䁡，䁡൅䁡൅ሻ䁡൅ሻ当时，即䁡h时，ሻሻmin，䁡൅当，即䁡h时，在上单调递减，ሻሻmin䁡；䁡൅当，即䁡时，在上单调递增，ሻሻmin䁡．䁡䁡ሻ䁡൅ሻ综上所述，䁡䁡h䁡䁡h试卷第6页，总6页