2002年上海市春季高考数学试卷一、填空题（4′×12=48′）)1.函数y=13-2x-x2的定义域为________．2.若椭圆的两个焦点坐标为F1(-1, 0)，F2(5, 0)，长轴的长为10，则椭圆的方程为________．3.若全集I=R，f(x)、g(x)均为x的二次函数，P={x|f(x)<0}，Q={x|g(x)≥0}，则不等式组f(x)<0g(x)<0的解集可用P、Q表示为________．4.f(x)是定义在实数R上的奇函数，若x≥0时，f(x)=log3(1+x)，则f(-2)=________．5.若在(5x-1x)n的展开式中，第4项是常数项，则n=________．6.已知f(x)=1-x1+x，α∈(π2, π)，则f(cosα)+f(-cosα)可化简为________．7.六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是________．8.设曲线C1和C2的方程分别为F1(x, y)=0和F2(x, y)=0，则点P(a, b)∉C1∩C2的一个充分条件为________．9.若f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值是2，则ω=________．10.如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．11.如图所示，客轮以速度2v由A至B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发，以速度v沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知AB=BC=50海里，若两船同时起航出发，则两船相遇之处距C点________海里．（结果精确到小数点后1位）12.若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形面积之比为：S△OM1N1S△OM2N2=OM1OM2⋅ON1ON2．若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P1，P2与点Q1，Q2和R1，R2，则类似的结论为：________．二、选择题（4′×4=16′）)13.若a→、b→、c→为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（）试卷第5页，总6页
A.(a→+b→)+c→=a→+(b→+c→)B.(a→+b→)⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→C.m(a→+b→)=ma→+mb→D.(a→⋅b→)c→=a→(b→⋅c→)14.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC一定是( )A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形15.设a>0，a≠1，则函数y=logax的反函数和函数y=loga1x的反函数的图象关于（）A.x轴对称B.y轴对称C.y=x对称D.原点对称16.设{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前项的和，且S5
S8，则下列结论错误的是( )A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值三、解答题（12′+12′+14′+14′+16′+18′=86′）)17.已知z、ω为复数，(1+3i)z为纯虚数，ω=z2+i，且|ω|=52，求ω．18.F1，F2为双曲线x2a2-y2b2=1的左右焦点，过 F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若∠PF1F2=30∘，求双曲线的渐近线方程．19.如图，三棱柱OAB-O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=60∘，∠AOB=90∘，且OB=OO1=2，OA=3，求（1）二面角O1-AB-O的大小；（2）异面直线A1B与AO1所成角的大小．（上述结果用反三角函数值表示）20.已知函数f(x)=ax+x-2x+1(a>1).(1)证明：函数f(x)在(-1, +∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负根．21.某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得试卷第5页，总6页
奖金bn元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金．（1）设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak（不必证明）；（2）证明：ak>ak+1(k=1, 2,…,n-1)，并解释此不等式关于分配原则的实际意义；（3）发展基金与n和b有关，记为Pn(b)．对常数b，当n变化时，求limn→∞Pn(b)（可用公式limn→∞(1-1n)n=1e）．22.对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)．（1）当a=1，b=-2时，求函数f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+12a2+1对称，求b的最小值．试卷第5页，总6页
参考答案与试题解析2002年上海市春季高考数学试卷一、填空题（4′×12=48′）1.(-3.1)2.(x-2)225+y216=13.P∩CIQ4.-15.186.2sinα7.1208.F1(a, b)≠0或F2(a, b)≠0或P∉C1等9.3410.311.40.812.VO-P1Q1R1VO-P2Q2R2=OP1OP2⋅OQ1OQ2⋅OR1OR2二、选择题（4′×4=16′）13.D14.B15.B16.C三、解答题（12′+12′+14′+14′+16′+18′=86′）17.解：设z=m+ni(m, n∈R)，因为(1+3i)z=(1+3i)(m+ni)=m-3n+(3m+n)i为纯虚数，所以m-3n=0①，ω=z2+i=m+ni2+i=(2m+n)+(2n-m)i5，由|ω|=52，得(2m+n)225+(2n-m)225=(52)2，即m2+n2=250②由①②解得m=15n=5或m=-15n=-5，代入ω=(2m+n)+(2n-m)i5可得，ω=±(7-i)．18.解：在Rt△PF2F1中，设|PF1|=d1，|PF2|=d2，∵∠PF1F2=30∘∴d1=2d2d1-d2=2a∴d2=2a∵|F2F1|=2c∴tan30∘=2a2c∴ac=33，即a2a2+b2=13∴(ba)2=2∴ba=2∴试卷第5页，总6页
双曲线的渐近线方程为y=±2x19.解：（1）如图，以OA、OB为x轴、y轴，建立如图所示空间直角坐标系可得0(0, 0, 0)，A(3, 0, 0)、B(0, 2, 0)、01(0, 1, 3)∴AB→=(-3,2,0)，AO1→=(-3,1,3)设m→=(x, y, z)是平面ABO1的一个法向量则m→⋅AO1→=-3x+y+3z=0˙，取x=23得y=3，z=3∴m→=(23, 3, 3)又∵n→=(0, 0, 1)是平面AOB的一个法向量，∴cos=|m|→⋅|n|→˙=312+9+3×1=24因此，二面角O1-AB-O的大小为arccos24；（2）由（1）得A1(3, 1, 3)，A1B→=(-3, 1, -3)∵AO1→=(-3,1,3)∴cos=|A1B|→⋅|AO1|→˙=3+1-37⋅7=17因此，异面直线A1B与AO1所成角的大小为arccos17．20.证明：(1)由于函数f(x)=ax+x-2x+1(a>1)=ax+1-3x+1，而函数y=ax(a>1)和函数y=-3x+1 在(-1, +∞)上都为增函数，故函数f(x)在(-1, +∞)上为增函数．(2)假设f(x)=0有负数根为x=x0，且x0<0，则有f(x0)=0，故有ax0+1=3x0+1 ①．由于函数y=ax+1在R试卷第5页，总6页
上是增函数，且a0+1=2，∴ax0+1<2．由于函数y=3x+1 在(-1, +∞)上是减函数，当x0∈(-1, 0)时，30+1=3，∴3x0+1>3，∴①根本不可能成立，故①矛盾．由于函数y=3x+1在(-∞, -1)上是减函数，当x0∈(-∞, -1)时，3x0+1<0，而，ax0+1>1，∴①根本不可能成立，故①矛盾．综上可得，①根本不可能成立，故假设不成立，故f(x)=0没有负数根．21.（1）解：a1=bn，a2=1n(1-1n)⋅b，a3=1n(1-1n)2⋅b，…，ak=1n(1-1n)k-1⋅b．（2）证明：ak-ak+1=1n2(1-1n)k-1⋅b>0，此奖金分配方案体现了按劳分配的原则．（3）解：设fk(b)表示发给第k位职工后所剩余额，则f1(b)=(1-1n)⋅b，f2(b)=(1-1n)2⋅b，…，fk(b)=(1-1n)k⋅b，得Pn(b)=fn(b)=(1-1n)n⋅b，故limn→∞Pn(b)=be．22.解：（1）∵a=1，b=-2时，f(x)=x2-x-3，f(x)=x⇒x2-2x-3=0⇒x=-1，x=3∴函数f(x)的不动点为-1和3；（2）即f(x)=ax2+(b+1)x+b-1=x有两个不等实根，转化为ax2+bx+b-1=0有两个不等实根，须有判别式大于0恒成立即b2-4a(b-1)>0⇒△=(-4a)2-4×4a<0⇒0
