2001年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.)1.设函数函数log数，则满足函数的数值为________．2.设数列的首项香䁕，且满足函，则ǤǤǤ䁕________．数3.设为双曲线香＝上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是________．数4.设集合数lg数lg函ͺ数香െͳ数，数cos㈱ͳ数，则的元素个数为________个．5.抛物线数香香㈱的焦点坐标为________．6.设数列是公比为㈱的等比数列，是它的前项和，若lim䁕，则此数列的首项的取值范围为________．7.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选菜素共种不同的品种．现在餐厅准备了െ种不同的荤菜，若要保证每位顾客有㈱㈱种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种________种．（结果用数值表示）8.函数香的二项展开式中的常数项为________．数െ9.设数sin，且香，，则arccos数的取值范围是________．10.利用下列盈利表中的数据进行决策，自然方状案况盈利（万元）概率㈱Ǥെെ㈱䁕㈱香㈱ͺ㈱Ǥ㈱െെͺ㈱Ǥെ䁕ͺ香㈱应选择的方案是________．11.已知两个圆：数①；数函香②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为________．试卷第1页，总7页 12.据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，如表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图中图示为：________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.)13.＝是直线数＝㈱和直线数函香＝香䁕平行且不重合的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.如图，在平行六面体ܥ香ܥ中，为与ܥ的交点，若，ܥ，．则下列向量中与相等的向量是函A.香B.C.香D.香香15.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则下列命题中的假命题是（）A.若，则B.若，则C.若，相交，则，相交D.若，相交，则，相交试卷第2页，总7页 lg数16.用计算器验算函数函数的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能数是（）lg数A.在函ͳ上是单调减函数数lg数B.，数函ͳ有最小值数lg数lgC.，数函ͳ的值域为函㈱ͳ数limlgD.㈱，三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.)17.已知、、是中、、的对边，是的面积，若，െ，െ，求的长度．数18.设，为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，已知，，是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值．19.在棱长为的正方体香中，、分别是棱、上的动点，且．（1）求证：；（2）当三棱锥香的体积取得最大值时，求二面角香香的大小．（结果用反三角函数表示）20.对任意一人非零复数，定义集合，．（1）设是方程数㈱的一个根．试用列举法表示集合，若在中任取两个数，数求其和为零的概率；（2）若集合中只有个元素，试写出满足条件的一个值，并说明理由．21.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用数单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数函数．函‴试规定函㈱的值，并解释其实际意义；函‴‴试根据假定写出函数函数应该满足的条件和具有的性质；试卷第3页，总7页 函‴‴‴设函数．现有函㈱单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成数份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．22.对任意函数函数，数ܥ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据数㈱ܥ，经按列发生器，其工作原理如图：②若数ܥ，则数列发生器结束工作；若数ܥ，则将数反馈回输入端，再输出数数香函数，并依此规律继续下去，现定义函数．数函‴若输入数㈱，则由数列发生器产生数列数．请写出数列数的所有项：െ函‴‴若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据数㈱的值；函‴‴‴若输入数㈱时，产生的无穷数列数满足；对任意正整数，均有数数，求数㈱的取值范围．试卷第4页，总7页 参考答案与试题解析2001年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.2.െ3.数香＝4.5.函㈱ͳ6.函㈱ͳ䁕7.䁕8.െ9.㈱ͳ10.11.设圆方程函数香函香①函数香函香②函或，由①-②，得两圆的对称轴方程12.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13.C14.A15.D16.D试卷第5页，总7页 三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.解：∵sin，∴sin，于是㈱，或㈱，又香cos当㈱时，香，当㈱时，，．18.解：由题意得，，െ，函香െͳ㈱，函െͳ㈱．香香䁕当数轴时，的横坐标为െ，其纵坐标为，∴．当时，设䁕，则香䁕香䁕，䁕㈱，由勾股定理可得䁕函香䁕，即㈱䁕香䁕，解得䁕或䁕（舍去），香故．䁕综上，的值等于或．19.（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系．设数，则函ͳ㈱ͳ、函香数ͳͳ㈱、函㈱ͳͳ、函ͳ数ͳ㈱∴香数ͳͳ香，ͳ数香ͳ香．…∵香数函数香㈱，∴．（2）解：记数，，则数，数三棱锥香的体积数函，当且仅当数时，等号成立．因此，三棱锥香的体积取得最大值时，．…过作ܥ交于ܥ，连ܥ，可知ܥ．∴ܥ是二面角香香的平面角．在直角三角形中，直角边，ܥ是斜边上的高，试卷第6页，总7页 ∴ܥ，tanܥ，ܥ故二面角香香的大小为arctan．…20.解：（1）∵是方程数㈱的根，∴或香．不论或香，ͳ，，ͳ香ͳ香ͳ．于是．（2）取香，则香香及．于是ͳ，．或取香香．（说明：只需写出一个正确答案．）21.解：函函㈱，表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样．函函数函数应该满足的条件和具有的性质是：函㈱ͳ函在㈱ͳ上函数单调递减，且㈱ͳ函数．函设仅清洗一次，残留在农药量为，清洗两次后，残留的农药量为函函，函香ͺ则香函函；于是，当时，清洗两次后残留在农药量较少；当时，两种清洗方法具有相同的效果；当㈱ͳͳ时，一次清洗残留的农药量较少．22.解：函∵函数的定义域ܥ函香ͳ香函香ͳ，∴数列数只有三项：数，数，数香．…െ数香函∵函数数，即数香数㈱，数∴数，或数．数香即当数㈱或时，数数．数故当数㈱时，数；当数㈱时，数函．…数香函解不等式数ͳ，得数ͳ香或ͳ数ͳ．数要使，数ͳ数，则数ͳ香或ͳ数ͳ．…数香对于函数函数香，数数若数ͳ香，则数函数，数函数ͳ数．…当ͳ数ͳ时，数函数，且ͳ数ͳ，依此类推，可得数列数的所有项均满足数数函．综上所述，数函ͳ．由数函数㈱，得数㈱函ͳ．…试卷第7页，总7页