2001年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．)知䁥1.已知知m则满足知m的值为________．log知m2.设数列的通项为知m，则________．3.设为双曲线＝上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是________．4.设集合lglg知m，cos，，则的元素个数为________个．5.抛物线的焦点坐标为________．6.设数列是公比为的等比数列，是它的前项和，若lim，则此数列的首项的取值范围为________．7.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选菜素共种不同的品种．现在餐厅准备了种不同的荤菜，若要保证每位顾客有种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种________种．（结果用数值表示）8.在知m知m的展开式中，常数项为________．9.设sin，且，䁥，则arccos的取值范围是________．sin10.直线与曲线（为参数）的交点坐标是________．cos11.已知两个圆：①；知m②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为________．12.据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，如表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图中图示为：________．试卷第1页，总8页 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．)13.＝是直线＝和直线知m＝平行且不重合的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.如图，在平行六面体ܥܥ中，为与ܥ的交点，若，ܥ，．则下列向量中与相等的向量是知mA.B.C.D.15.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则下列命题中的假命题是（）A.若，则B.若，则C.若，相交，则，相交D.若，相交，则，相交lg16.用计算器验算函数知m的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（）lgA.在知m上是单调减函数lgB.，知m有最小值lglgC.，知m的值域为知䁥limlgD.，试卷第2页，总8页 三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．)17.已知、、是中、、的对边，是的面积，若，，，求的长度．18.设，为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，已知，，是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值．19.在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的动点，且．（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的大小．（结果用反三角函数表示）20.对任意一个非零复数，定义集合，．（1）设是方程的一个根．试用列举法表示集合，若在中任取两个数，求其和为零的概率；（2）设复数，求证：．21.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数知m．知‴m试规定知m的值，并解释其实际意义；知‴‴m试根据假定写出函数知m应该满足的条件和具有的性质；知‴‴‴m设知m．现有知m单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．22.对任意函数知m，ܥ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据ܥ，经按列发生器，其工作原理如图：②若ܥ，则数列发生器结束工作；若ܥ，则将反馈回输入端，再输出知m，并依此规律继续下去，现定义知m．知‴m若输入，则由数列发生器产生数列．请写出数列的所有项：知‴‴m若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；试卷第3页，总8页 知‴‴‴m若输入时，产生的无穷数列满足；对任意正整数，均有，求的取值范围．试卷第4页，总8页 参考答案与试题解析2001年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.2.3.＝4.5.知m6.知m7.8.9.䁥10.知，m11.设圆方程知m知m①知m知m②知或m，由①-②，得两圆的对称轴方程12.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13.C14.A15.D16.D试卷第5页，总8页 三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.解：∵sin，∴sin，于是，或，又cos当时，，当时，，．18.解：由题意得，，，知m，知m．当轴时，的横坐标为，其纵坐标为，∴．当时，设䁕，则䁕䁕，䁕，由勾股定理可得䁕知䁕m，即䁕䁕，解得䁕或䁕（舍去），故．综上，的值等于或．19.（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系．设，则知m、知m、知m、知m∴，．…∵知m，∴．（2）解：记，，则，三棱锥的体积知m，当且仅当时，等号成立．因此，三棱锥的体积取得最大值时，．…过作ܥ交于ܥ，连ܥ，可知ܥ．∴ܥ是二面角的平面角．在直角三角形中，直角边，ܥ是斜边上的高，试卷第6页，总8页 ∴ܥ，tanܥ，ܥ故二面角的大小为arctan．…20.解：（1）∵是方程的根，∴知൅m或知൅m．…知m൅当知൅m时，∵൅，，൅൅∴，，，知൅m，知൅m，知൅m，知൅m．当知൅m时，∵൅，൅൅∴，，，知൅m，知൅m，知൅m，知൅m．൅൅当知൅m时，∵൅，∴，，，．因此，不论取哪一个值，集合是不变的，即知൅m，知൅m，知൅m，知൅m．…于是，在中任取两个数，求其和为零的概率．…（2）证明：∵，∴存在䁕，使得䁕．…于是对任意，（䁕）（），由于知䁕m知m是正奇数，，所以．…21.解：知m知m，表示没有用水洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样．知m函数知m应该满足的条件和具有的性质是：知m知m在m上知m单调递减，且ͳ知m．知m设仅清洗一次，残留在农药量为，清洗两次后，残留的农药量为知m䁥知m，知m则知m知m；于是，当时，清洗两次后残留在农药量较少；当时，两种清洗方法具有相同的效果；当ͳͳ时，一次清洗残留的农药量较少．22.解：知m∵知m的定义域ܥ知m知m，∴数列只有三项：，，．…试卷第7页，总8页 知m∵知m，即，∴，或．即当或时，．故当时，；当时，知m．…知m解不等式ͳ，得ͳ或ͳͳ．要使，ͳ，则ͳ或ͳͳ．…对于函数知m，若ͳ，则知m，知mͳ．…当ͳͳ时，知m，且ͳͳ，依此类推，可得数列的所有项均满足知m．综上所述，知m．由知m，得知m．…试卷第8页，总8页