2001年上海市春季高考数学试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）)1.函数数m香数m的反函数香数m________．2.若复数满足方程香（是虚数单位），则________．sin3.函数的最小正周期为________．香cos香4.二项式数m的展开式中常数项的值为________．5.若双曲线的一个顶点坐标为数标为m，焦距为香，则它的标准方程为________．6.圆心在直线上且与轴相切于点数香为m的圆的方程为________．lim标7.计算：________．香8.若非零向量，满足，则与所成角的大小为________．9.在大小相同的个球中，个红球，个是白球．若从中任意选取标个，则所选的标个球中至少有香个红球的概率是________．（结果用分数表示）10.若记号“*”表示求两个实数与的算术平均数的运算，即即，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意标个实数、、都能成立的一个等式可以是________．11.关于的函数数msin数m有以下命题：①对任意的，数m都是非奇非偶函数；②不存在，使数m既是奇函数，又是偶函数；③存在，使数m是奇函数；④对任意的，数m都不是偶函数．其中一个假命题的序号是________．因为当________时，该命题的结论不成立．12.甲、乙两人于同一天分别携款香万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为Ǥ，乙存一年期定期储蓄，年利率为Ǥʹ，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄，按规定每次计息时，储户须交纳利息的作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为________元．（假定利率五年内保持不变，结果精确到香分）二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.若、为实数，则൐൐是൐的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件14.若直线香的倾斜角为，则数mA.等于B.等于C.等于D.不存在15.若有平面与，且ᦙ，㤵，，，则下列命题中的假命题为数mA.过点且垂直于的直线平行于试卷第1页，总7页 B.过点且垂直于的平面垂直于C.过点且垂直于的直线在内D.过点且垂直于的直线在内16.若数列前项的值各异，且对任意的即都成立，则下列数列中，能取遍数列前项值的数列是（）A.香B.标香C.香D.香三、解答题（共6小题，满分86分）)ʹ17.已知为全集，log香数标m，香，求ᦙsinsin18.已知数m，试用表示sincos的值．香tan19.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为米，盖子边长为米．（1）求关于的函数解析式；（2）设容器的容积为立方米，则当为何值时，最大？求出的最大值．（求解本题时，不计容器的厚度）20.如图，在长方体ܥ香香香ܥ香中，点、分别香、ܥܥ香上，且㤵香，㤵香ܥ．（1）求证：香㤵平面；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等．试根据上述定理，在，ܥ标，香ʹ时，求平面与平面ܥ香香ܥ所成的角的大小．（用反三角函数值表示）试卷第2页，总7页 21.如图，已知椭圆的方程为香，点数为m的坐标满足香，过点的直线与椭圆交于、两点，点为线段的中点，求：（1）点的轨迹方程；（2）点的轨迹与坐标轴的交点的个数．香22.已知是首项为，公比为的等比数列，为它的前项和．（1）用表示香；香（2）是否存在自然数和，使得൐成立．试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2001年上海市春季高考数学试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）1.香数香m2.香3.4.5.香香6.数香m数香m香7.香8.9.ʹ10.数即m数m即数m11.①,数m12.香Ǥ香二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.A14.C15.D16.B三、解答题（共6小题，满分86分）17.解：由已知log香数标mlog香因为log香为减函数，所标标由标൐解得香标∴香标ʹ由香，解得标，∴标于是香或标故ᦙ香或标．sinsin18.解：因为sincos香tan所以sincos试卷第4页，总7页 因而数sincosm香sincos香又，于是sincos൐因此sincos香19.解：（1）设为正四棱锥的斜高香由已知香香解得数൐m香香（2）数൐m标标数香m香易得香标数m香香香因为，所以香等式当且仅当，即香时取得．香故当香米时，有最大值，的最大值为立方米．20.证明：（1）如图，因为㤵平面香，所香在平面香上的射影为香由香㤵，平面香，得香㤵，同理可证香㤵因为香㤵，香㤵所以香㤵平面解：（2）过作ܥ的垂线交ܥ于，因为ܥ香ܥ㤵，所以㤵平面ܥ香香ܥ设与香所成的角为，则即为平面与平面ܥ香香ܥ所成的角．ܥܥ由已知，计算得ܥ．ܥ如图建立直角坐标系，则得点数为为m，数，标，m，香数为为ʹm，数为标为m，，标，，香为标为ʹ，因为与香所成的角为香香香所以cosarccos香ʹʹ香由定理知，平面与平面所成角的大小为arccosʹ试卷第5页，总7页 21.解：（1）设点、的坐标分别为数香为香m、数为m，点的坐标为数为m．当香时，设直线的斜率为，则的方程为数m香由已知香，香①香香数香m，数m②香由①得数香m数香m数香m数香m③由②得香数香m④香香香由③④及，，，香得点的坐标满足方程⑤当香时，不存在，此时平行于轴，因此的中点一定落在轴上，即的坐标为数为m．显然点的坐标满足方程⑤综上所述，点的坐标满足方程．设方程⑤所表示的曲线为，则由香得数m．因为数香m，由已知香，所以当香时，，曲线与椭圆有且只有一个交点数为m．当香时，，曲线与椭圆没有交点．因为数为m在椭圆内，又在曲线上，所以曲线在椭圆内．故点的轨迹方程为（2）由解得曲线与轴交于点数为m，数为m．由解得曲线与轴交于点数为m，数为m当，，即点数为m为原点时，数为m、数为m与数为m重点，曲线与坐标轴只有一个交点数为m．当且，即点数为m不在椭圆外且在除去原点的轴上时，点数为m与数为m重合，曲线与坐标轴有两个交点数为m与数为m．同理，当且香，即点数为m不在椭圆外且在除去原点的轴上时，曲线与坐标轴有两个交点数为m与数为m．当香且数香m，即点数为m在椭圆内且不在坐标轴上时，曲线与坐标轴有三个交点数为m、数为m与数为m．香香香22.解（1）由数香m，得香数香香m数m．标香数m（2）要使൐，只要．香标香因为数香m，所以数m൐数m，试卷第6页，总7页 标故只要数m．①标标因为香൐数m，所以香香，又，故要使①成立，只能取或标．当时，因为香，所以当香时，不成立，从而①不成立．标ʹ标标因为൐，由香数m，得香，所以当时，标൐，从而①不成立．当标时，因为香，标，所以当香，时，不成立，从而①不成立．标香标标标因为标൐，又香，标所以当标时，൐，从而①不成立．香故不存在自然数、，使൐成立．试卷第7页，总7页