2015年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分,共40分）)1.若集合噰ܟɵۨ灰灰ۺ벀，噰ܟɵ灰灰벀，则噰䁧A.ܟɵ灰灰ۨ灰灰ۺɵܟ.B벀ۨ벀C.ܟɵ灰灰벀D.ܟɵۺ灰灰벀2.圆心为䁧心为心且过原点的圆的方程是()A.䁧心ۨ心䁧ۨ心䁧.B心噰ۨ心䁧ۨ噰心C.䁧心ۨ噰ۨ心䁧ۨ心䁧.Dۨ噰ۨ心䁧ۨ3.下列函数中为偶函数的是䁧A.噰ۨ噰.Dɵnlɵ噰.Csocۨ噰.Bnisۨ4.某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有ۨ年人，则该样本的老年教师人数为（）类人别数老年年年教师中心′年年年教师青心′年年年教师合年年计A.年B.心年年C.心′年D.年年试卷第1页，总8页,5.执行如图所示的程序框图，输出的值为䁧A.B.C.ۺD.′6.设，是非零向量，“噰ɵɵɵɵ”是“”的䁧A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为䁧A.心B.ۨ.D.Cۨ8.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）ۺۨ心日心月ۺ年ۺ心年ۨ年年年ۺ′ۺ心月ۺ年ۺ心年ۨ′年年日注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每心年年千米平均耗油量为䁧A.′升B.′升C.心年升D.心ۨ升试卷第2页，总8页,二、填空题)9.复数䁧心的实部为________．心10.ۺۨgol，ۨ，ۨ三个数中最大的数是________．ۨ11.在䁨中，噰，噰′，噰，则噰________．ۨ12.已知䁧ۨ线曲双是年为ۨ噰心䁧年的一个焦点，则噰________．ۨ13.如图，䁨及其内部的点组成的集合记为，䁧为为中任意一点，则噰ۨ的最大值为________．14.高三年级ۨ′年位学生参加期末考试，某班年位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是________；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是________．三、解答题（共80分）)15.已知函数䁧噰sinۨnisۨ．ۨ䁧心求䁧的最小正周期；ۨ䁧ۨ求䁧在区间年为上的最小值．16.已知等差数列ܟ벀满足心ۨ噰，年心噰ۨ.䁧心求ܟ벀的通项公式；䁧ۨ足满벀ܟ列数比等设ۨ噰，噰年，问：′与数列ܟ벀的第几项相等？试卷第3页，总8页,17.某超市随机选取心年年年位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“”表示未购买．甲乙丙丁心年年√√√ۨ心年√√ۨ年年√√√年年√√′ۺ√′√䁧心估计顾客同时购买乙和丙的概率；䁧ۨ估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率；䁧如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18.如图，在三棱锥䁨中，平面平面䁨，为等边三角形，䁨䁨且䁨噰䁨噰ۨ，，分别为，的中点．䁧心求证：平面䁨；䁧ۨ求证：平面䁨平面；䁧求三棱锥䁨的体积．ۨ19.设函数䁧噰ln，年．ۨ䁧心求䁧的单调区间和极值；䁧ۨ证明：若䁧存在零点，则䁧在区间䁧心为上仅有一个零点．20.已知椭圆䁨ۨ䁧点过不且年为心䁧点过，噰ۨۨ为心的直线与椭圆䁨交于，两点，直线与直线噰交于点．䁧心求椭圆䁨的离心率；䁧ۨ若垂直于轴，求直线的斜率；䁧试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2015年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分,共40分）1.A2.D3.B4.C5.C6.A7.C8.B二、填空题9.心10.logۨۺ11.12.13.年14.乙,数学三、解答题（共80分）15.解：䁧心∵䁧噰sinۨnisۨۨ心cos噰sinۨۨ噰sincos噰ۨsin䁧，ۨ∴䁧的最小正周期噰噰ۨ；心ۨ䁧ۨ∵年为，∴为，∴sin䁧年为心，即䁧噰ۨ为䁧nisۨ，ۨ解得䁧在区间年为上的最小值为．16.解：䁧心设等差数列ܟ벀的公差为，∵噰ۨ噰以所，ۨ，∵心ۨ以所，年心噰ۨ心噰心年，∴心噰，∴噰ۨۨ噰心䁧ۨ；试卷第5页，总8页,䁧ۨ设等比数列ܟ벀的公比为，∵ۨ噰噰′，噰年噰心′，心噰′为∴心ۨ噰心′为∴噰ۨ，心噰，∴噰ۨۨ噰′ۨ心而，′ۨ心噰心′ۨ，′∴噰′，∴′与数列ܟ벀中的第′项相等.17.解：䁧心从统计表可得，在这心年年年名顾客中，同时购买乙和丙的有ۨ年年人，ۨ年年故顾客同时购买乙和丙的概率为噰年洠ۨ；心年年年䁧ۨ在这心年年年名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的有心年年ۨ年年噰年年（人），年年故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率为噰年洠；心年年年ۨ年年䁧在这心年年年名顾客中，同时购买甲和乙的概率为噰年洠ۨ，心年年年心年年ۨ年年年年同时购买甲和丙的概率为噰年洠′，心年年年心年年同时购买甲和丁的概率为噰年洠心，心年年年故同时购买甲和丙的概率最大．18.䁧心证明：∵，分别为，的中点，∴，∵平面䁨，平面䁨，∴平面䁨；䁧ۨ证明：∵䁨噰䁨，为的中点，∴䁨，∵平面平面䁨，䁨平面䁨，∴䁨平面，∵䁨平面䁨，∴平面䁨平面；䁧解：在等腰直角三角形䁨中，䁨噰䁨噰ۨ，∴噰ۨ，䁨噰心，∴噰，∵䁨平面，心∴䁨噰䁨噰，∴䁨噰䁨噰．ۨۨ19.䁧心解：由䁧噰ln䁧年，䁧噰噰.ۨ由䁧噰年解得噰.䁧与䁧在区间䁧年为上的情况如下：试卷第6页，总8页,䁧年为䁧为䁧年䁧䁧心lnۨ所以，䁧的单调递增区间为䁧为，单调递减区间为䁧年为；䁧心ln䁧在噰处的极小值为䁧噰，无极大值.ۨ䁧心ln䁧ۨ证明：由䁧心知，䁧在区间䁧年为上的最小值为䁧噰．ۨ䁧心ln因为䁧存在零点，所以年，从而.ۨ当噰时，䁧在区间䁧心为上单调递减，且䁧噰年，所以噰是䁧在区间䁧心为上唯一的零点．心当时，䁧在区间䁧年为上单调递减，且䁧心噰年，䁧噰灰年，ۨۨ所以䁧在区间䁧心为上仅有一个零点．综上所述，若䁧存在零点，则䁧在区间䁧心为上仅有一个零点．20.解：䁧心∵椭圆䁨ۨۨ噰，ۨ∴椭圆䁨的标准方程为：ۨ噰心，∴噰，噰心，噰ۨ，′∴椭圆䁨的离心率噰噰；䁧ۨ∵过点䁧心为年且垂直于轴，∴可设䁧心为心，䁧心为心.∵䁧ۨ为心，∴直线的方程为：心噰䁧心心䁧ۨ.令噰，得䁧为ۨ心，ۨ心心∴直线的斜率噰噰心；心䁧结论：直线与直线平行．证明如下：当直线的斜率不存在时，由䁧ۨ知噰心.心年∵直线的斜率噰噰心，∴；ۨ心当直线的斜率存在时，设其方程为噰䁧心䁧心.设䁧心为心，䁧ۨ为ۨ，心心则直线的方程为心噰䁧ۨ.心ۨ心心令噰，则点䁧为，心ۨ心心ۨ心ۨ∴直线的斜率噰.ۨۨۨ噰，联立得䁧心ۨۨ′ۨۨ噰年，噰䁧心，试卷第7页，总8页,′ۨۨ由韦达定理，得心ۨ心噰ۨ心，ۨ心噰ۨ，䁧心心心䁧ۨ心䁧ۨ䁧ۨ心䁧心ۨ∵心噰䁧ۨ心䁧ۨ䁧心心ۨ心䁧ۨۨ噰䁧ۨ心䁧ۨۨۨ心ۨ䁧心䁧心ۨ心ۨ噰䁧ۨ心䁧ۨ噰年，∴噰心噰，即；综上所述，直线与直线平行．试卷第8页，总8页