2014年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）)1.已知集合駐؝駐駐，，则䁧A.B.C.D.2.下列函数中，在区间䁧上为增函数的是（）A.駐B.䁧駐C.駐D.logog䁧駐駐cos，3.（㠮·北京）曲线（为参数）的对称中心（）sin，A.在直线駐上B.在直线駐上C.在直线駐上D.在直线=駐上4.当㔵，㔳时，执行如图所示的程序框图，输出的的值为（）A.㔵B.㠮C.D.㠮5.设是公比为的等比数列，则“R”是“为递增数列”的䁧A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件駐6.若駐，满足駐且駐的最小值为㠮，则的值为（）A.B.C.D.试卷第1页，总7页,7.在空间直角坐标系駐中，已知䁧，䁧，䁧，䁧，若，，㔳分别表示三棱锥在駐，，駐坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A.㔳B.且㔳C.㔳且㔳D.㔳且㔳8.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A.人B.㔳人C.㠮人D.g人二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）)䁖9.复数䁧________．䁖10.已知向量，满足؝؝，䁧，且䁧，则؝؝________．11.设双曲线经过点䁧，且与駐具有相同渐近线，则的方程为㠮__________；渐近线方程为________．12.若等差数列满足㔵R，㔵，则当________时，的前项和最大．13.把g件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有________种．14.设函数䁧駐sin䁧駐䁧，，是常数，R，R若䁧駐在区间上具有单调性，且䁧䁧䁧，则䁧駐的最小正周期为________．㔳三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）)15.如图，在中，，，点在边上，且，cos㔳．㔵䁧求sin；䁧求，的长．16.李明在场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；试卷第2页，总7页,场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场客场主场g客场㔳主场㔳客场㔳㔵主场㠮㔳客场㠮g主场g㠮客场gg䁧从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过o的概率；䁧从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过o，一场不超过o的概率；䁧㔳记駐是表中个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中的命中次数，比较䁧与駐的大小（只需写出结论）.17.如图，正方形‴的边长为，，分别为线段‴，‴的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于点，．䁧求证：；䁧若底面，且，求直线与平面所成角的大小.18.已知函数䁧駐駐cos駐sin駐，駐求证：䁧駐；sin駐若对駐䁧恒成立，求的最大值与的最小值．駐19.已知椭圆駐㠮.䁧求椭圆的离心率.䁧设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆駐的位置关系，并证明你的结论．20.对于数对序列：䁧，䁧，…，䁧，记䁧，䁧max䁧ooo䁧，其中max䁧ooo表示䁧和ooo两个数中最大的数，（1）对于数对序列：䁧g，䁧㠮，求䁧，䁧的值；（2）记为，，，四个数中最小的数，对于由两个数对䁧，䁧组成的数对序列：䁧，䁧和：䁧，䁧，试分别对和两种情况比较䁧和䁧的大小；（3）在由五个数对䁧，䁧g，䁧，䁧，䁧㠮组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使g䁧最小，并写出g䁧的值（只需写出结论）．试卷第3页，总7页,参考答案与试题解析2014年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.C2.A3.B4.C5.D6.D7.D8.B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.10.g駐11.,駐㔳12.13.㔳14.三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15.解：䁧在中，∵cos，㔵䁧㠮㠮㔳∴sincos.㔵㠮㔵则sinsin䁧sincoscossin㠮㔳㔳㔳㔳．㔵㔵㠮䁧在中，由正弦定理得：㔳㔳sin㠮㔳，sin㠮㔳㔵在中，由余弦定理得：cosgg㠮，即㔵．16.解：设李明在该场比赛中投篮命中率超过o为事件，由题意知，李明在该场比赛中超过o的场次有：主场，主场㔳，主场g，客场，客场㠮，共计g场，试卷第4页，总7页,所以李明在该场比赛中投篮命中率超过o的概率g䁧.䁧设李明的投篮命中率一场超过o，一场不超过o的概率为事件，㔳同理可知，李明主场命中率超过o的概率，g客场命中率超过o的概率，g故䁧䁧䁧㔳㔳㔳.ggggg䁧㔳駐䁧㔵g＝o㠮，的分布列为：㔵go㠮o㔳ooo䁧o㠮o㔳o㔵ogoo㠮駐.17.䁧证明：在正方形‴中，点是线段‴的中点，.又∵平面，∴平面.∵平面，且平面平面，∴.䁧解：∵底面，∴，，如图建立空间直角坐标系駐，则䁧，䁧，䁧，䁧，䁧，䁧，䁧，设平面的法向量为䁧駐，则駐即令，则，∴䁧，试卷第5页，总7页,设直线与平面所成的角为，则sin؝cos，R؝؝؝，؝؝؝؝∴直线与平面所成的角为.18.证明：由䁧駐駐cos駐sin駐得䁧駐cos駐駐sin駐cos駐駐sin駐，则在区间䁧上，䁧駐駐sin駐，所以䁧駐在区间上单调递减，从而䁧駐䁧．解：当駐R时，sin駐“R”等价于“sin駐駐R”，駐sin駐“”等价于“sin駐駐”，駐令䁧駐sin駐駐，则䁧駐cos駐，①当时，䁧駐R对駐䁧上恒成立；②当时，因为对任意駐䁧，䁧駐cos駐，所以䁧駐在区间上单调递减，从而，䁧駐䁧对任意駐䁧恒成立；③当时，存在唯一的駐䁧，使得䁧駐cos駐，䁧駐与䁧駐在区间䁧上的情况如下：駐䁧駐駐䁧駐䁧駐+-0䁧駐因为䁧駐在区间䁧駐上是增函数，所以䁧駐R䁧.进一步䁧駐R对任意駐䁧恒成立，当且仅当䁧即.综上所述当且仅当时，试卷第6页，总7页,䁧駐R对任意駐䁧恒成立，当且仅当时，䁧駐对任意駐䁧恒成立.sin駐所以若对駐䁧上恒成立，駐则的最大值为，的最小值为.駐19.解：䁧由駐㠮，得椭圆的标准方程为．㠮∴㠮，，从而．因此，．故椭圆的离心率；䁧直线与圆駐相切．证明如下：设点，的坐标分别为䁧駐，䁧㤱，其中駐．∵，∴，即㤱駐，解得㤱．駐㤱当駐㤱时，，代入椭圆的方程，得㤱．故直线的方程为駐，圆心到直线的距离．此时直线与圆駐相切．当駐㤱时，直线的方程为䁧駐㤱，駐㤱即䁧駐䁧駐㤱駐㤱．؝駐㤱؝圆心到直线的距离．䁧䁧駐㤱又駐㠮，㤱．駐㠮駐؝駐؝؝؝駐駐故．㠮駐㠮駐駐㠮駐駐此时直线与圆駐相切．20.解：（1）䁧g㔵，䁧max䁧㠮max㔵；（2）䁧max，䁧max．当时，䁧max，∵，且，∴䁧䁧；当时，䁧max，∵，且，∴䁧䁧；∴无论和，䁧䁧；（3）数对䁧㠮，䁧，䁧，䁧，䁧g，g䁧最小；䁧，䁧；㔳䁧㠮，㠮䁧g，g䁧g．试卷第7页，总7页