2013年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1.已知集合A={-1, 0, 1}，B={x|-1≤x<1}，则A∩B=（）A.{0}B.{-1, 0}C.{0, 1}D.{-1, 0, 1}2.在复平面内，复数(2-i)2对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为(    )A.1B.23C.1321D.6109875.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f(x)=(   ）A.ex+1B.ex-1C.e-x+1D.e-x-16.若双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为3，则其渐近线方程为（）A.y＝±2xB.y=±2xC.y=±12xD.y=±22x7.直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A.43B.2C.83D.16238.设关于x，y的不等式组2x-y+1>0,x+m<0,y-m>0 表示的平面区域内存在点P(x0, y0)，满足x0-2y0=2，求得m的取值范围是（）A.(-∞,43)B.(-∞,13)C.(-∞,-23)D.(-∞,-53)试卷第9页，总9页, 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．)9.在极坐标系中，点(2, π6)到直线ρsinθ=2的距离等于________．10.若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=________；前n项和Sn=________．11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD:DB=9:16，则PD=________，AB=________．12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．13.向量a→，b→，c→在正方形网格中的位置如图所示，若c→=λa→+μb→(λ,μ∈R)，则λμ=________．试卷第9页，总9页, 14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤)15.在△ABC中，a=3，b=26，∠B=2∠A．(1)求cosA的值；(2)求c的值．16.如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值；试卷第9页，总9页, (3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求BDBC1的值．18.设l为曲线C:y=lnxx在点(1, 0)处的切线．(1)求l的方程；(2)证明：除切点(1, 0)之外，曲线C在直线l的下方．19.已知A，B，C是椭圆W:x24+y2=1上的三个点，O是坐标原点．(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．20.已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2⋯的最小值记为Bn，dn=An-Bn．(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3⋯，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dn=-d(n=1, 2, 3⋯)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1=2，dn=1(n=1, 2, 3,⋯)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．试卷第9页，总9页, 参考答案与试题解析2013年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.B2.D3.A4.C5.D6.B7.C8.C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.110.2,2n+1-211.95,412.9613.414.255三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤15.解：(1)根据题意：利用正弦定理可得asinA=bsinB，即3sinA=26sin2A=262sinAcosA，解得cosA=63．(2)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc⋅cosA，即9=(26)2+c2-2×26×c×63，即c2-8c+15=0，解方程求得c=5，或 c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90∘，A=C=45∘，则△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去；当c=5时，求得cosB=a2+c2-b22ac=13，cosA=b2+c2-a22bc=63，∴cos2A=2cos2A-1=13=cosB，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．16.解：(1)设“此人到达当日空气重度污染”为事件A．因为此人随机选择某一天到达该城市且停留2天，试卷第9页，总9页, 因此他必须在3月1日至13日的某一天到达该城市，由图可以看出期间有2天属于重度污染，故P(A)=213．(2)由题意可知X所有可能取值为0，1，2．由图可以看出在3月1日至14日属于优良天气的共有7天．①当此人在3月4号，5号，8号，9号，10号这5天的某一天到达该城市时，停留的2天都不是优良天气，故P(X=0)=513；②当此人在3月3号，6号，7号，11号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天中的1天不是优良天气1天是优良天气，故P(X=1)=413；③当此人在3月1号，2号，12号，13号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天都是优良天气，故P(X=2)=413．故X的分布列为X012P513 413 413 ∴E(X)=0×513+1×413+2×413=1213．(3)由图判断从3月5日开始连续三天的空气质量指数波动最大，因此方差最大．17.(1)证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．(2)解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0, 0, 4)，B(0, 3, 0)，B1(0, 3, 4)，C1(4, 0, 4)，∴BC1→=(4,-3,4)，BA1→=(0,-3,4)，BB1→=(0,0,4)．设平面A1BC1的法向量为n1→=(x1,y1,z1)，平面B1BC1的法向量为试卷第9页，总9页, n2→=(x2, y2, z2)．则n1→⋅BC1→=4x1-3y1+4z1=0,n1→⋅BA1→=-3y1+4z1=0, 令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴n1→=(0,4,3)．n2→⋅BC1→=4x2-3y2+4z2=0,n2→⋅BB1→=4z2=0, 令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴n2→=(3,4,0)．cos=n1→⋅n2→|n1→||n2→|=1625⋅25=1625．∴二面角A1-BC1-B1的余弦值为1625．(3)证明：设点D的竖坐标为t，(00)曲线C在直线l的下方，即f(x)=x(x-1)-lnx>0，则f'(x)=2x-1-1x=(2x+1)(x-1)x.∴f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，又f(1)=0,∴x∈(0, 1)时，f(x)>0，即lnxx0，即lnxx1)，得A、C两点是圆x2+y2=r2与椭圆W：x24+y2=1的公共点，解之得3x24=r2-1.设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足x1=x2=±233⋅r2-1，或x1=233⋅r2-1且x2=-233⋅r2-1，①当x1=x2=±233⋅r2-1时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是顶点(±2, 0)；②若x1=233⋅r2-1且x2=-233⋅r2-1，则x1+x2=0，可得AC的中点的横坐标必定是0，因此若A，C均在x轴的上方或下方，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是顶点(0, ±1)；若A，C分别位于x轴的上下方，则A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC.综上所述，可得当点B不是W试卷第9页，总9页, 的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．20.(1)解：若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3⋯，是一个周期为4的数列，∴d1=A1-B1=2-1=1，d2=A2-B2=2-1=1，d3=A3-B3=4-1=3，d4=A4-B4=4-1=3．(2)解：充分性：设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+(n-1)d，∴An=an=a1+(n-1)d，Bn=an+1=a1+nd，∴dn=An-Bn=-d，(n=1, 2, 3, 4⋯)．必要性：若 dn=An-Bn=-d，(n=1, 2, 3, 4⋯)．假设ak是第一个使ak-ak-1<0的项，则dk=Ak-Bk=ak-1-Bk≥ak-1-ak>0，这与dn=-d≤0相矛盾，故{an}是一个不减的数列．∴dn=An-Bn=an-an+1=-d，即 an+1-an=d，故{an}是公差为d的等差数列．(3)证明：若a1=2，dn=1(n=1, 2, 3,⋯)，首先，{an}的项不能等于零，否则d1=2-0=2，矛盾．而且还能得到{an}的项不能超过2，用反证法证明如下：假设{an}的项中，有超过2的，设am是第一个大于2的项，由于{an}的项中一定有1，否则与d1=1矛盾．当n≥m时，an≥2，否则与dm=1矛盾．因此，存在最大的i在2到m-1之间，使ai=1，此时，di=Ai-Bi=2-Bi≤2-2=0，矛盾．综上，{an}的项不能超过2，故{an}的项只能是1或者2．下面用反证法证明{an}的项中，有无穷多项为1．若ak是最后一个1，则ak是后边的各项的最小值都等于2，故dk=Ak-Bk=2-2=0，矛盾，故{an}的项中，有无穷多项为1．综上可得，{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．试卷第9页，总9页