2012年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.)1.已知集合ȁݔȁ，൅ݔͳ൅，则ݔݔA.ͳͳݔB.ͳݔͳC.﹙ͳ，﹚D.൅ݔ，2.设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点൅ݔ，到坐标原点的距离大于ݔ的概率是ͳݔͳA.B.C.D.ݔ3.设，．“＝൅”是“复数是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为A.ݔ.D.C.Bݔ5.如图，ᦙ൅，ᦙ于点，以为直径的圆与ᦙ交于点．则（）试卷第1页，总9页 A.ᦙᦙB.ᦙᦙC.ᦙݔᦙᦙ.Dݔ6.从൅、ݔ从．字数个一选中ݔ、、中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）A.ݔݔ.Cݔ.BݔD.7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是A.ݔݔ൅.Dݔݔ.C൅.Bݔ8.某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，则的值为（）A.B.C.D.ݔݔ二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.)ݔcos9.直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数为________．ͳݔͳsinݔ10.已知﹛﹜是等差数列，为其前项和．若ݔ则，ݔ，ݔ________．ݔݔ11.在ᦙ中，若ݔ，，cosͳ，则________．12.在直角坐标系2中．直线过抛物线ݔ的焦点．且与该抛物线相交于、两点．其中点在轴上方．若直线的倾斜角为൅．则2的面积为________．13.已知正方形ᦙ的边长为ݔ，点是边上的动点．则ᦙ的值为________．14.已知ͳݔͳݔ，ݔ，若同时满足条件：①，൅或൅，②ͳͳ，൅，则的取值范围为________．试卷第2页，总9页 三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．)sinͳcossinݔ15.已知函数．sinݔ求的定义域及最小正周期；ݔ求的单调递增区间．16.如图ݔ，在ᦙ中，ᦙ൅，ᦙ，ᦙ，，分别是ᦙ，上的点，且ᦙ，ݔ使，置位的ݔ到起折沿将，ݔᦙᦙ，如图ݔ．ݔ：证求ݔᦙ平面ᦙ；ݔ面平与ᦙ求，点中的ݔ是若ݔ所成角的大小；线段ᦙ上是否存在点，使平面ݔ面平与ݔ垂直？说明理由．17.近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计ݔ൅൅൅吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾൅൅ݔ൅൅ݔ൅൅可回收物൅ݔ൅൅其他垃圾ݔ൅ݔ൅൅ݔ试估计厨余垃圾投放正确的概率；ݔ试估计生活垃圾投放错误的概率；假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，，，其中൅，൅൅．当数据，，的方差ݔ最大时，写出，，的值（结论不要求证明），并求此时ݔ的值．ݔݔݔݔݔ（注：ݔ，ݔ据数为中其，ͳͳݔͳݔ，，的平均数）18.已知函数ݔݔ൅，（1）若曲线与曲线在它们的交点ݔ处具有公共切线，求、的值；（2）当ݔͳͳ间区在其求并，间区调单的数函求，时ݔ上的最大值．19.已知曲线ᦙ：ͳݔݔͳݔ试卷第3页，总9页 （1）若曲线ᦙ是焦点在轴点上的椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点、，直线ݔ与直线交于点．求证：，，三点共线．20.设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于ݔ，且所有数的和为零，记为所有这样的数表构成的集合．对于，记为的第ⅰ行各数之和ݔ和之数各列第的为ᦙ，ⅰݔ；记为ȁݔᦙȁ，ȁݔᦙȁ，ȁȁ，…，ȁݔȁ，ȁݔȁ，…，ȁᦙȁ中的最小值．（1）如表，求的值；ݔݔͳ൅䁞൅䁞ݔͳ䁞൅ͳݔ（2）设数表ݔ形如ݔݔͳݔ求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的ݔݔݔ，求的最大值．试卷第4页，总9页 参考答案与试题解析2012年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1.D2.D3.B4.C5.A6.B7.B8.C二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.9.ݔ10.ݔ11.12.13.ݔ14.ͳͳݔ三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．sinͳcossinݔ15.解：ݔsinsinͳcosݔsincossinݔsinͳcoscossinݔͳͳݔnisݔݔsocͳݔͳݔ，∵sin൅，∴，即原函数的定义域为ȁ，ݔ∵，∴最小正周期为．ݔݔͳݔͳݔ由ݔ，，ݔݔ解得ͳ，，又ȁ，原函数的单调递增区间为ͳ，，.16.ݔᦙ，ݔ，ᦙ∵：明证ݔ，∴平面ݔᦙ，又∵ݔᦙ平面ݔᦙ，试卷第5页，总9页 ∴ݔᦙ，又ݔᦙᦙ，ᦙ，∴ݔᦙ平面ᦙ.ݔݔͳ，൅൅，ݔ൅൅ݔ，൅൅ݔͳ，൅൅൅ᦙ则，系建图如：解ݔ൅，∴ݔͳݔݔͳݔ，ݔͳ൅ݔ设平面ݔ法向量为，ݔ൅，ݔ൅，ͳݔ൅∴ͳݔͳݔݔ൅∴ݔͳݔ∴ͳݔݔ,又∵ͳݔ൅，∴ᦙͳݔ൅,ᦙ∴cosȁᦙȁȁȁݔݔݔݔ.ݔݔݔݔ∴ᦙ与平面ݔ所成角的大小.解：设线段ᦙ上存在点，设点坐标为൅൅，则൅，∴ݔ，ݔͳ൅ݔ൅，设平面ݔݔݔݔ为量向法ݔ，ݔݔͳݔ൅，则ݔݔݔ൅，试卷第6页，总9页 ݔݔ，∴ݔݔͳݔ，ݔ∴ݔͳ，假设平面ݔ则，直垂ݔ面平与ݔ൅，∴ݔͳ，ݔݔͳ，൅ݔݔ.∵൅，∴不存在线段ᦙ上存在点，使平面ݔ面平与ݔ垂直.17.解：ݔ൅൅ݔ൅൅为圾垃余厨：知可格表由ݔ൅൅൅൅（吨），投放到“厨余垃圾”箱的厨余垃圾൅൅吨，൅൅ݔ故厨余垃圾投放正确的概率为.൅൅ݔ有共圾垃活生：知可格表由ݔ൅൅൅吨，生活垃圾投放错误有ݔ൅ݔ൅൅൅൅ݔ൅൅ݔ൅൅൅（吨），൅൅故生活垃圾投放错误的概率为൅䁞.ݔ൅൅൅ݔ൅∵൅൅，∴，，的平均数为ݔ൅൅，ݔݔݔݔݔ∴ͳݔ൅൅ͳݔ൅൅ͳݔ൅൅ݔݔݔ൅൅ͳݔݔݔ൅൅൅൅ݔݔݔ൅൅൅൅ͳݔݔݔ൅൅൅൅ݔݔݔݔͳݔݔ൅൅൅൅.∵ݔݔݔݔݔݔݔݔݔݔ，ݔݔ故൅൅൅൅ͳݔݔ൅൅൅൅൅൅൅൅，因此有当൅൅，൅，൅时，方差ݔ最大为൅൅൅൅．18.解：（1）ݔݔ，ݔ则，൅ݔݔ，，则ݔ，ݔ，由ݔ：得可，点切共公为ݔ①又ݔݔ，ݔݔ，∴ݔݔ，即，代入①式可得：．ݔݔݔݔ（2）由题设，设ݔݔݔݔ则ݔ，ͳݔ：得解，൅令，ݔͳ；ݔ∵൅，∴ͳͳ，ݔ试卷第7页，总9页 ͳͳݔͳͳͳͳݔ，ݔ，ͳ+-+极极大小值值∴原函数在ͳͳ单调递增，在ͳ，ͳ单调递减，在ͳ，上单调ݔݔ递增①若ͳݔͳͳ在，时ݔ൅即，ͳݔ递增，无最大值；ݔ②若ͳͳݔͳ为值大最，时ݔ即，ͳݔ；ݔݔ③若ͳݔͳ为值大最，时即，时ͳݔ．ݔ综上所述：当൅ݔͳ为值大最，时ݔ当；值大最无，时ݔ．ݔݔݔ19.（1）解：原曲线方程可化简得：ݔͳͳݔͳͳݔ由题意，曲线ᦙ是焦点在轴点上的椭圆可得：൅，解得：ͳݔ൅ͳݔ（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：ݔݔݔݔݔݔ൅，ݔݔݔݔͳ൅，解得：ݔݔݔ由韦达定理得：ͳݔ，①ݔݔݔ，②ݔݔ设，，ݔͳ：为程方，ݔ，则，ݔ，∴ͳݔ，ݔ，欲证，，三点共线，只需证，共线即ݔͳ成立，化简得：ͳ将①②代入可得等式成立，则，，三点共线得证．20.解：（1）由题意可知ݔ，ݔ䁞ݔݔ，ݔ䁞ݔͳݔ，ݔ䁞ݔݔ൅䁞，ͳݔ䁞∴൅䁞试卷第8页，总9页 （2）先用反证法证明ݔ：若ݔ则ȁݔݔȁݔȁȁݔ，∴൅同理可知൅，∴൅由题目所有数和为൅即ͳݔ∴ͳݔͳͳͳݔ与题目条件矛盾∴ݔ．易知当൅时，ݔ存在∴的最大值为ݔݔݔ（3）的最大值为．ݔݔݔ首先构造满足的ݔݔݔݔ：ݔݔ,…,ݔݔݔݔݔͳݔݔݔݔݔݔݔݔ，ͳݔݔݔݔݔݔݔ，ݔݔ，ݔݔݔͳݔݔݔݔݔݔݔ．经计算知，中每个元素的绝对值都小于ݔȁ且，൅为和之素元有所，ݔȁݔݔݔݔݔݔݔȁݔݔȁȁȁݔȁȁݔȁ，ȁݔ，ݔݔݔݔͳݔݔݔȁݔȁݔݔȁȁݔȁȁݔ．ݔݔݔݔ下面证明是最大值．若不然，则存在一个数表ݔݔݔ，使得ݔݔݔ．ݔ由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过ݔ的数的和，其绝对值不超过ݔ间区在都值对绝的和之数个两列一每的故，ݔ中．由于ݔ，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于ͳݔ．设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则，ݔ．另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于ݔ个负数，每个正数的绝对值不超过ݔ过超不均数正个每即（ݔ），每个负数的绝对值不小于ͳݔͳݔݔݔݔȁݔȁ此因．）ͳݔ过超不均数负个每即（ݔݔͳݔݔݔͳݔ，ݔݔ故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾．因此的最大值为．ݔ试卷第9页，总9页