2005年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.设全集耀，集合ሼሼȁ，ሼሼȁ，则下列关系中正确的是（）A.B.C.D.2.“”是“直线ሼሻݔሼ线直与͵ݔሻ͵相互垂直”的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件3.若，，，且，则向量与的夹角为A.ሻ͵B.͵C.͵D.͵4.从原点向圆ሼݔݔ͵作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（）A.B.C.D.5.对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是（）A.sinsinsinB.sincoscosC.cossinsinD.coscoscos6.在正四面体ܣ中，，，分别是ܣ，ܣ，的中点，下面四个结论中不成立的是（）A.ܣ平面B.平面C.平面平面ܣD.平面平面ܣ7.北京《财富》全球论坛期间，某高校有名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A.B.ሻC.ሻD.ሻሻcosሼ8.函数ሼcosሼሻሻA.在͵㔷㔷㔷上递增，在㔷㔷㔷上递减ሻሻB.在͵㔷，㔷上递增㔷在㔷，㔷上递减试卷第1页，总9页,ሻሻC.在㔷，㔷上递增，在͵㔷，㔷上递减ሻሻD.在㔷㔷㔷上递增，在͵㔷㔷㔷上递减二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)9.若，ሻ，且为纯虚数，则实数的值为________．10.已知tan，则tan的值为________，tan的值为________．͵11.ሼሻ展开式中的常数项是________．ሼ12.过原点作曲线ݔሼ的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．13.设函数ሼሼ，对于任意的ሼ，ሼሼሼ，有下列命题ሼሼ①ሼሼሼሼ；②ሼሼሼሼ；③͵；ሼሼሼሼሼሼ④．其中正确的命题序号是________．14.已知次多项式ሼሼሼǤǤǤሼ．͵如果在一种算法中，计算ሼ㔷ሻ㔷,…,的值需要次乘法，计算ሼ的值͵ሻ͵共需要次运算（次乘法，ሻ次加法），那么计算ሼ͵的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：͵ሼ͵͵．ሼሼሼ͵㔷ȁ㔷,…,．利用该算法，计算ሻሼ͵的值共需要次运算，计算ሼ͵的值共需要________次运算．三、解答题（共6小题，15、17题每题13分，16、18、20题每题14分，19题12分，满分80分）)15.已知函数ሼሼሻሻሼሼ．求ሼ的单调递减区间；若ሼ在区间㔷上的最大值为͵，求它在该区间上的最小值．16.如图，在直四棱柱ܣܣ中，ܣ，ሻ，ሻ，，ܣ垂足为．（1）求证ܣ；（2）求二面角ܣ的大小；（3）求异面直线与ܣ所成角的大小．试卷第2页，总9页,17.甲、乙俩人各进行ሻ次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．ሻ（1）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望；（2）求乙至多击中目标次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标次的概率．18.如图，直线ȁݔȁ线直与͵ሼݔሼ之间的阴影区域（不含边界）记为，其左半部分记为，右半部分记为．（1）分别用不等式组表示和．（2）若区域中的动点ሼ㔷ݔ到ȁ，ȁ的距离之积等于，求点的轨迹的方程；（3）设不过原点的直线ȁ与（2）中的曲线相交于，两点，且与ȁ，ȁ分别交于ሻ，两点．求证的重心与ሻ的重心重合．是偶19.设数列的首项，且，记，，，是奇ሻ…（1）求，ሻ；（2）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；lim（3）求ǤǤǤ20.设ሼ是定义在͵㔷上的函数，若存在ሼ͵㔷，使得ሼ在͵㔷ሼ上单调递增，在ሼ㔷单调递减，则称ሼ为͵㔷上的单峰函数，ሼ为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的͵㔷上的单峰函数ሼ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（1）证明：对任意的ሼ，ሼ͵㔷，ሼሼ，若ሼሼ，则͵㔷ሼ为含峰区间；若ሼሼ，则ሼ㔷为含峰区间；（2）对给定的͵͵Ǥ，证明：存在ሼ，ሼ͵㔷，满足ሼሼ，使得由（1）确定的含峰区间的长度不大于͵Ǥ；（3）选取ሼ，ሼ͵㔷，ሼሼ由（1）可确定含峰区间为͵㔷ሼ或ሼ㔷，在所得的含峰区间内选取ሼሻ，由ሼሻ与ሼ或ሼሻ与ሼ类似地可确定是一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为͵㔷ሼ的情况下，试确定ሼ，ሼ，ሼሻ的值，满足两两之差的绝对值不小于͵Ǥ͵且使得新的含峰区间的长度缩短到͵Ǥሻ．（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）．试卷第3页，总9页,参考答案与试题解析2005年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.C2.B3.C4.B5.D6.C7.A8.A二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.ሻ10.,ሻ11.͵12.㔷,13.①③④14.ሻ,三、解答题（共6小题，15、17题每题13分，16、18、20题每题14分，19题12分，满分80分）15.解：ሼሻሼሼ．令ሼ͵，解得ሼ或ሼሻ，所以函数ሼ的单调递减区间为㔷，ሻ㔷．因为，，所以．因为在㔷ሻ上ሼ͵，所以ሼ在㔷上单调递增，又由于ሼ在㔷上单调递减，因此和分别是ሼ在区间㔷上的最大值和最小值，于是有͵，解得．故ሼሼሻሻሼሼ，因此ሻ，即函数ሼ在区间㔷上的最小值为．试卷第4页，总9页,16.解：法一：（1）在直四棱柱ܣܣ中，∵底面ܣ．∴是在平面ܣ上的射影．∵ܣ．∴ܣ；（2）连接，，．与（1）同理可证ܣ，ܣ，∴为二面角ܣ的平面角．∵，∴͵，又，ሻ，ሻ且ܣ，∴，，ሻ，∴，ሻ，在中，，∴͵，即二面角ܣ的大小为͵．（3）过ܣ作ܣ交于，连接，则ܣ就是与ܣ所成的角．∵ܣ，ܣ，，∴ܣ，，，ܣ，∴，ܣ，在ܣ中，cosܣ，∴ܣarccos即异面直线与ܣ所成角的大小为arccos．法二：（1）同解法一（2）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为ሼ轴，ݔ轴，轴，建立空间直角坐标系．连接，，．与①同理可证，ܣ，ܣ，∴为二面角的平面角．ሻሻ由㔷͵㔷ሻ͵㔷ሻ㔷ሻ㔷㔷͵试卷第5页，总9页,ሻሻሻሻ得㔷㔷ሻ，㔷㔷ሻሻ∴ሻ͵，∴，即．∴二面角的大小为͵（3）如图，由͵㔷͵㔷͵，㔷͵㔷͵，͵㔷ሻ㔷ሻ，ܣሻ㔷ሻ㔷͵，得㔷͵㔷͵，ܣሻ㔷ሻ㔷ሻ，∴ܣ，ܣ，，ܣ，ܣ∴cos㔷ܣ，ܣ∵异面直线与ܣ所成角的大小为arccos．法三：（1）同解法一．（2）如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为．连接，，．与（1）同理可证ܣ，ܣ，∴为二面角ܣ的平面角．由͵㔷͵㔷͵͵㔷㔷ሻ，͵㔷ሻ㔷ሻ．得͵㔷㔷ሻ，͵㔷ሻ㔷ሻ．∵ሻሻ͵，∴即，∴二面角ܣ的大小为͵．17.解：（1）由题意得甲击中目标的次数为͵、、、ሻ，根据独立重复试验公式得到变量对应的概率，当变量为͵时表示没有击中目标，当变量为时表示击中目标次，当变量为时表示击中目标次，当变量为ሻ时表示击中目标ሻ次，͵ሻ∴͵，ሻ试卷第6页，总9页,ሻሻ，ሻሻሻ，ሻሻሻሻ，ሻ∴的概率分布如下表：͵ሻሻሻሻሻሻǤ，（或ሻǤ）；（2）乙至多击中目标次的对立事件是乙能击中ሻ次，有对立事件的概率公式得到ሻሻ概率为；ሻሻ（3）设甲恰比乙多击中目标次为事件，甲恰击中目标次且乙恰击中目标͵次为事件ܣ，甲恰击中目标ሻ次且乙恰击中目标次为事件ܣ，则ܣܣ，ሻܣ，ܣ为互斥事件ܣܣ∴甲恰好比乙多击中目标次的概率为．18.解：（1）根据图象可知阴影区域左半部分，在ݔ在，方下的ሼݔሼ的上边，故ݔሼ知可围范的ݔሼ，且ሼ͵，阴影区域右半部分，在ݔ，边下的ሼݔሼ的上方，ሼ͵∴ሼ㔷ݔሼݔ㔷ሼ，͵ሼ㔷ሼݔሼݔሼ㔷ሼ͵，ሼݔሼݔሼݔ（2）直线ȁሼݔሼȁ线直，͵ݔ͵，由题意得，即，由ሼ㔷ݔሼ知，ݔ͵，ሼݔ所以，即ሼݔ͵，所以动点的轨迹的方程为ሼݔ͵；（3）当直线ȁ与ሼ轴垂直时，可设直线ȁ的方程为ሼ͵．由于直线ȁ，曲线关于ሼ轴对称，且ȁ与ȁ关于ሼ轴对称，于是，ሻ的中点坐标都为㔷͵，所以，ሻ的重心坐标都为㔷͵，即它们的重心重合，ሻ当直线ȁ与ሼ轴不垂直时，设直线ȁ的方程为ݔሼ͵．ሼݔ͵由，得ሼሼ͵ݔሼ由直线ȁ与曲线有两个不同交点，可知͵且͵试卷第7页，总9页,设，的坐标分别为ሼ㔷ݔ㔷ሼ，ݔ，则ሼሼ，ݔݔሼሼ，设ሻ，的坐标分别为ሼሻ㔷ݔ㔷ሼ，ሻݔ，ݔሼ由得ሼሻ，ሼݔሼ从而ሼሻሼሼሼ，所以ݔݔሼሼሼሻሼݔሻݔ，于是的重心与ሻ的重心也重合．19.解：（1），ሻ；ሻሻ（2）∵ሻ，所以，所以，ሻ，ሻ，猜想：是公比为的等比数列•证明如下：因为，所以是首项为，公比为的等比数列．limlimlim（3）ǤǤǤ．20.证明：（1）设ሼ为ሼ的峰点，则由单峰函数定义可知，ሼ在͵㔷ሼ上单调递增，在ሼ㔷上单调递减．当ሼሼ时，假设ሼ͵㔷ሼ，则ሼሼሼ，从而ሼሼሼ，这与ሼሼ矛盾，所以ሼ͵㔷ሼ，即͵㔷ሼ是含峰区间．当ሼሼ时，假设ሼሼ㔷，则ሼሼሼ，从而ሼሼሼ，这与ሼሼ矛盾，所以ሼሼ㔷，即ሼ㔷是含峰区间．（2）由（1）的结论可知：当ሼሼ时，含峰区间的长度为ȁሼ；当ሼሼ时，含峰区间的长度为ȁሼ；ሼ͵Ǥ对于上述两种情况，由题意得①ሼ͵Ǥ由①得ሼሼ，即ሼሼ又因为ሼሼ，所以ሼሼ，②将②代入①得ሼ͵Ǥ，ሼ͵Ǥ，③由①和③解得ሼ͵Ǥ，ሼ͵Ǥ．所以这时含峰区间的长度ȁȁ͵Ǥ，即存在ሼ，ሼ使得所确定的含峰区间的长度不大于͵Ǥ．（3）解：对先选择的ሼ；ሼ，ሼሼ，由（2）可知ሼሼȁ，④在第一次确定的含峰区间为͵㔷ሼ的情况下，ሼሻ的取值应满足ሼሻሼሼ，⑤试卷第8页，总9页,ሼሼ由④与⑤可得，ሼሻሼ当ሼሼሻ时，含峰区间的长度为ሼ．由条件ሼሼሻ͵Ǥ͵，得ሼሼ͵Ǥ͵，从而ሼ͵Ǥሻ．因此，为了将含峰区间的长度缩短到͵Ǥሻ，只要取ሼ͵Ǥሻ，ሼ͵Ǥ，ሼሻ͵Ǥሻ．试卷第9页，总9页