2004年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）)1.已知全集，ሼݔሼ，ሼሼȁ，那么䁧A.ሼሼȁB.ሼݔሼȁC.ሼሼݔሼ.Dݔሼȁ2.满足条件ݖ数复的െൌȁെݔݖ在复平面上对应点的轨迹是䁧A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆3.设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则A.①②B.②③C.③④D.①④4.如图，在正方体ܤܥݔȁܤȁȁܥȁ中，是侧面ܤܤȁȁ内一动点，若到直线ܤ与直线ȁܥȁ的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线5.函数䁧ሼሼݔሼݔȁ在区间ȁ间上存在反函数的充分必要条件是（）A.䁧ݔ间ȁB.间C.ȁ间D.䁧ݔ间ȁ间6.已知，且，那么下列选项中不一定成立的是（）A.B.䁧ݔ䁧.D.Cݔ7.从长度分别为ȁ、、ȁ、ൌ的四条线段中，任取三条的不同取法共有种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为，则等于（）ȁȁȁA.B.C.D.ൌൌሼሼ8.函数䁧ሼ其中、为实数集的两个非空子集，又规定䁧ݔሼሼݕݕ䁧，ሼ间ሼ䁧ݕݕ䁧ሼ间ሼ．给出下列四个判断，其中正确判断有（）①若，则䁧䁧；②若，则䁧䁧；试卷第1页，总7页 ③若R，则䁧䁧R；④若R，则䁧䁧R．A.ȁ个B.个C.ȁ个D.ൌ个二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）)9.函数䁧ሼ＝cosሼݔȁsinሼcosሼ的最小正周期是________．10.学校篮球队五名队员的年龄分别为ȁ，ȁȁ，ȁ，ȁൌ，ȁȁ，其方差为㈶㠮，则三年后这五名队员年龄的方差为________．11.某地球仪上北纬ȁ纬线的长度为ȁ，该地球仪的半径是________，表面积是________．ሼcos12.曲线（为参数）的普通方程是________，如果曲线与直线ݔݕȁsinሼݕ有公共点，那么实数的取值范围是________．13.在函数䁧ሼሼሼ中，若，，成等比数列且䁧ݔൌ，则䁧ሼ有最________值（填“大”或“小”），且该值为________．14.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列是等和数列，且ȁ，公和为，那么ȁ㠮的值为________，这个数列的前项和的计算公式为________．三、解答题（共6小题，满分80分）)15.在ܤ中，sincos，，ܤȁ，求tan的值和ܤ的面积．16.如图，在正三棱柱ܤݔȁܤȁȁ中，ܤȁ，ȁൌ，为ȁ的中点，是ܤ上一点，且由沿棱柱侧面经过棱ȁ到的最短路线长为，设这条最短路线与ȁ的交点为，求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长（2）和的长（3）平面与平面ܤ所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）17.如图，过抛物线ݕ䁧ݕ间ሼ䁧点定一上䁧ሼݕ，作两条直线分别交抛物线于䁧ሼȁ间ݕ间ሼ䁧ܤ，ȁݕ（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离试卷第2页，总7页 ݕȁݕ（2）当与ܤ的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线ܤ的斜率ݕ是非零常数．ሼ18.函数䁧ሼ是定义在间ȁ上的增函数，满足䁧ሼ䁧且䁧ȁȁ，在每个区间ȁȁ䁧，䁧െȁ间…上，ݕ䁧ሼ的图象都是斜率为同一常数的直线的一部分．െെݔȁȁȁȁ（1）求䁧及䁧，䁧的值，并归纳出䁧䁧െȁ间间的表达式ൌെȁȁ（2）设直线ሼ，ሼ，ሼ轴及ݕ䁧ሼ的图象围成的矩形的面积为െെݔȁlimെ䁧െȁ间…，记䁧䁧ȁ，求䁧的表达式，并写出其定义域和最小值．19.某段城铁线路上依次有、ܤ、三站，ܤ，ܤȁ，在列车运行时刻表上，规定列车㠮时整从站发车，㠮时分到达ܤ站并停车ȁ分钟，㠮时ȁ分到达站，在实际运行中，假设列车从站正点发车，在ܤ站停留ȁ分钟，并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差．（1）分别写出列车在ܤ、两站的运行误差（2）若要求列车在ܤ，两站的运行误差之和不超过分钟，求的取值范围．20.给定有限个正数满足条件：每个数都不大于且总和ȁ．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于ȁ且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得ȁ与这组数之和的差ȁ与所有可能的其他选择相比是最小的，ȁ称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为；如此继续构成第三组（余差为ȁ）、第四组（余差为ൌ）、…，直至第组（余差为）把这些数全部分完为止．（1）判断ȁ，，…，的大小关系，并指出除第组外的每组至少含有几个数；（2）当构成第䁧组后，指出余下的每个数与的大小关系，并证明ݔȁȁݔ；ݔȁ（3）对任何满足条件的有限个正数，证明：ȁȁ．试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2004年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1.D2.C3.A4.D5.D6.C7.B8.B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9.10.㈶㠮11.ൌȁ,ȁ12.ሼ䁧ݕȁȁ,ȁݔȁ13.大,ݔȁȁ14.ȁ,当为偶数时，；当为奇数时，ݔ三、解答题（共6小题，满分80分）15.解：䁧ȁ∵sincossin䁧ൌ，ȁ∴sin䁧ൌ．又ȁ㠮，∴ൌȁ，ȁ．ȁȁ∴tantan䁧ൌݔݔȁ．ȁݔȁ䁧由䁧ȁ得：sinsinȁsin䁧ൌsinൌcoscosൌsin．ൌȁȁȁ∴ܤܤsinȁ䁧．ൌൌ16.解：（1）正三棱柱ܤݔȁܤȁȁ的侧面展开图是一个长为，宽为ൌ的矩形，其对角线长为ൌ（2）如图ȁ，将侧面ܤܤ绕棱旋转ȁ使其与侧面在同一平面上，ȁȁȁȁȁ点运动到点ȁ的位置，连接ȁ，则ȁ就是由点沿棱柱侧面经过棱ȁ到点的最短路线试卷第4页，总7页 设ሼ，则ሼ，在中，由勾股定理得䁧ȁሼȁȁ求得ሼ∴ȁȁ∵ȁൌ∴（3）如图，连接ȁ，则ȁ就是平面与平面ܤ的交线，作ȁ于，又ȁ平面ܤ，连接，由三垂线定理得，ȁ∴就是平面与平面ܤ所成二面角的平面角（锐角）ȁ在中，∵ȁ，∴ȁൌൌ在中，tanȁൌ故平面与平面ܤ所成二面角（锐角）的大小为arctan17.解：（1）当ݕ时，ሼ㠮又抛物线ݔሼ为程方线准的ሼݕ由抛物线定义得，所求距离为ݔ䁧ݔ㠮㠮（2）设直线的斜率为，直线ܤ的斜率为ܤ由ݕ，ሼݕሼȁȁ相减得䁧ݔȁሼ䁧ݕȁݕ䁧ݕݔȁݕሼݕȁݔݕ故䁧ሼȁሼሼȁݕȁݕሼݔ试卷第5页，总7页 同理可得ܤ䁧ሼሼݕݕ由，ܤ倾斜角互补知ݔܤ即ݔݕݕݕȁݕ所以ݕݔݕȁݕݕȁݕ故ݔݕ设直线ܤ的斜率为ܤ由ݕ，ሼݕሼȁȁ相减得䁧ݕݔݕȁ䁧ݕݕȁ䁧ሼݔሼȁݕݔݕȁ所以ܤ䁧ሼȁሼሼݕȁݕȁሼݔ将ݔܤ得入代ݕ䁧ݕݔݕȁݕ，所以ܤ是非零常数ݕݕȁݕ18.解：（1）由䁧䁧，得䁧，ȁȁȁȁ由䁧ȁ䁧及䁧ȁȁ，得䁧䁧ȁ，ȁȁȁȁ同理，䁧䁧，ൌൌȁȁ归纳得䁧䁧െȁ间间，െെȁȁȁȁȁȁȁȁ（2）当െሼെݔെ䁧ȁݔെȁݔെെȁݔെݔሼ䁧ȁݔെሼ䁧时ȁݔȁȁȁȁ䁧ݔȁ䁧ݔ䁧െȁ间间，െݔȁെݔȁെൌെݔȁȁȁ所以是首项为䁧ȁݔ，公比为的等比数列，ൌൌȁlim䁧ȁݔൌ所以䁧䁧ȁȁ䁧ȁݔ䁧的定义域为ȁ，ȁݔȁൌൌȁ当ȁ时取得最小值．19.解：（1）由题意可知：列车在ܤ，两站的运行误差（单位：分钟）分别是ȁൌ㠮ݔ和ݔȁȁȁൌ㠮（2）由于列车在ܤ，两站的运行误差之和不超过分钟，所以ݔݔȁȁ䁧䁪ȁȁൌ㠮当时，䁧䁪式变形为ݔݔȁȁȁ解得ȁȁൌ㠮ȁൌ㠮当时，䁧䁪式变形为ݔݔȁȁȁȁȁൌ㠮解得ȁȁ试卷第6页，总7页 ൌ㠮ȁൌ㠮当时，䁧䁪式变形为ݔȁȁݔȁȁൌ㠮ȁ解得ȁȁൌȁ综上所述，的取值范围是ȁ间ൌȁ20.解：（1）ȁ．除第组外的每组至少含有ȁ个数（2）当第组形成后，因为，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差，余下数之和也大于第组的余差，即ݔȁ䁧ݔȁ䁧ȁݔȁ䁧ݔ由此可得ȁݔȁȁݔȁݔ因为䁧ݔȁݔȁȁݔȁ，所以ݔȁݔȁ（3）用反证法证明结论，假设ȁȁ，即第ȁȁ组形成后，还有数没分完，由（1）和（2）可知，余下的每个数都大于第ȁȁ组的余差ȁȁ，且ȁȁȁȁȁȁݔȁ故余下的每个数ȁȁȁȁ㈶䁧䁪ȁ因为第ȁȁ组数中至少含有ȁ个数，所以第ȁȁ组数之和大于ȁ㈶ȁȁȁ㈶此时第ȁȁ组的余差ȁȁȁݔ第ȁȁ组数之和ȁݔȁȁ㈶ȁ㈶这与䁧䁪式中ȁȁȁ㈶矛盾，所以ȁȁ．试卷第7页，总7页