2004年北京市春季高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）)1.在函数y=sin2x,y=sinx,y=cosx,y=tgx2中，最小正周期为π的函数是（）A.y=sin2xB.y=sinxC.y=cosxD.y=tgx22.当23
0，则下列不等关系中必定成立的是（）A.tanθ2cotθ2C.sinθ2cosθ27.已知三个不等式：ab>0，bc-ad>0，ca-db>0（其中a、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.38.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm，把它们重叠在一起组成一个新的长方体，在这些长方体中，最长对角线的长度是（）A.77cmB.72cmC.55cmD.102cm9.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（）A.C61C942B.C61C992C.C1003-C943D.P1003-P94310.期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为（）A.4041B.1C.4140D.2二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）)11.若f-1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则f-1(x)的值域为________．12.sin(α+30∘)-sin(α-30∘)cosα的值为________．试卷第5页，总6页
13.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2008年的垃圾量为________吨．14.若直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为________；以(m, n)为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆x27+y23=1的公共点有________个．三、解答题（共6小题，满分84分）)15.当0x-2这个不等式的解集是下面不等式组(1)及(2)的解集的并集：2x-1≥0x-2<0(1)或2x-1≥0x-2≥02x-1>(x-2)2(2)解不等式组(1)得解集{x|12≤x<2}解不等式组(2)得解集{x|2≤x<5}所以原不等式的解集为：{x|12≤x<5}16.解：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac．又a2-c2=ac-bc，∴b2+c2-a2=bc．在△ABC中，由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，∴∠A=60∘．在△ABC中，由正弦定理得sinB=bsinAa，∵b2=ac，∠A=60∘，∴bsinBc=b2sin60∘ac=sin60∘=32．17.（1）证明：如图1∵底面ABCD是正方形；∴BC⊥DC；∵SD⊥底面ABCD；∴试卷第5页，总6页
DC是SC在平面ABCD上的射影由三垂线定理得BC⊥SC（2）解：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，∴可以把四棱锥S-ABCD补形为长方体A1B1C1S-ABCD，如图2面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，∵SC⊥BC，BC // A1S∴SC⊥A1S又SD⊥A1S，∴∠CSD为所求二面角的平面角在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=2在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1，∴∠CSD=45∘即面ASD与面BSC所成的二面角为45∘18.解：（1）由点A(2, 8)在抛物线y2=2px上，有82=2p⋅2解得p=16所以抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为(8, 0)（2）如图，由F(8, 0)是△ABC的重心，M是BC的中点，AM是BC上的中线，由重心的性质可得AFFM=2；设点M的坐标为(x0, y0)，则2+2x01+2=8，8+2y01+2=0解得x0=11，y0=-4所以点M的坐标为(11, -4)（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴．设BC所成直线的方程为y+4=k(x-11)(k≠0)由y+4=k(x-11)y2=32x消x得ky2-32y-32(11k+4)=0试卷第5页，总6页
所以y1+y2=32k由（2）的结论得y1+y22=-4解得k=-4因此BC所在直线的方程为y+4=-4(x-11)即4x+y-40=0．19.设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0=100+60-510.02=550因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．当0
