2003年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.)1.设集合A={x|x2-1>0}，B={x|log2x>0|}，则A∩B等于（）A.{x|x>1}B.{x|x>0}C.{x|x<-1}D.{x|x>1或x<-1}2.设y1=40.9，y2=80.48，y3=(12)-1.5，则（）A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3D.y1>y3>y23.“cos2α=-32”是“α=2kπ+5π12，k∈Z”的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件4.已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（）A.若m // α，α∩β=n，则m // nB.若m // n，α∩β=n，且m∉α则m // αC.若m⊥α，m⊥β，则α // βD.若m⊥α，m⊂β，则α⊥β5.直线l:x-2y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为（）A.15B.25C.55D.2556.若z∈C，且|z+2-2i|=1，则|z-2-2i|的最小值是（）A.2B.3C.4D.57.如果圆台的母线与底面成60∘角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A.2πB.32πC.233πD.12π8.若数列{an}的通项公式是an=3-n+(-1)n3-n2，n=1，2，…，则limn→∞(a1+a2+…+an)等于（）A.124B.18C.16D.129.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（）A.24种B.18种C.12种D.6种10.某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令aij=1，第i号同学同意第j号同学当选.0，第i号同学不同意第j号同学当选.试卷第5页，总6页 其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A.a11+a12+...+a1k+a21+a22+...+a2kB.a11+a21+...+ak1+a12+a22+...+ak2C.a11a12+a21a22+...+ak1ak2D.a11a21+a12a22+...+a1ka2k二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.)11.已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为________．12.函数f(x)=lg(1+x2)，g(x)=2-|x|，h(x)=tan2x中，________是偶函数．13.以双曲线x216-y29=1右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是________．14.将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为________．三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x．（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的最大值、最小值．16.已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=an3n(x∈R)．求数列{bn}前n项和的公式．17.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a．（1）求证：直线A1D⊥B1C1；（2）求点D到平面ACC1的距离；（3）判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．18.如图，A1，A为椭圆的两个顶点，F1，F2为椭圆的两个焦点．（1）写出椭圆的方程及准线方程；试卷第5页，总6页 （2）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P1两点，直线A1P与AP1交于点M．求证：点M在双曲线x225-y29=1上．19.有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（1）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？20.设y=f(x)是定义在区间[-1, 1]上的函数，且满足条件：（1）f(-1)=f(1)=0；（2）对任意的u，v∈[-1, 1]，都有|f(u)-f(V)|≤|u-v|．(I)证明：对任意的x∈[-1, 1]，都有x-1≤f(x)≤1-x；(II)判断函数g(x)=1+x,x∈[-1,0)1-x,x∈[0,1]是否满足题设条件；（3）在区间[-1, 1]上是否存在满足题设条件的函数y=f(x)，且使得对任意的u，v∈[-1, 1]，都有|f(u)-f(V)|=u-v．若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．试卷第5页，总6页 参考答案与试题解析2003年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.A2.D3.A4.A5.D6.B7.C8.B9.B10.C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11.312.f(x)，g(x)13.y2=-36(x-4)14.4π+4三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.解：（1）因为f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+π4)∴f(x)的最小正周期T=2π2=π．（2）由（1）知，f(x)=2cos(2x+π4)，当2x+π4=2kπ(k∈z)时，cos(2x+π4)=1，f(x)取到最大值为2，当2x+π4=π+2kπ(k∈z)时，cos(2x+π4)=-1，f(x)取到最小值为-2．16.解：（1）设数列{an}公差为d，则 a1+a2+a3=3a1+3d=12，又a1=2，d=2．所以an=2n．（2）由bn=an3n=2n3n，得    Sn=2⋅3+4⋅32+…(2n-2)3n-1+2n⋅3n，①3Sn=2⋅32+4⋅33+...+(2n-2)⋅3n+2n⋅3n+1．②将①式减去②式，得-2Sn=2(3+32+...+3n)-2n⋅3n+1=-3(3n-1)-2n⋅3n+1．所以Sn=3(1-3n)2+n⋅3n+1．17.直线A1B // 平面ADC1，证明如下：连接A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF // A1B，又DF⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B // 平面ADC1．试卷第5页，总6页 18.（1）解：由图可知，a=5，c=4，∴b=a2-c2=3．该椭圆的方程为x225+y29=1，准线方程为x=±254．（2）证明：设K点坐标(x0, 0)，点P、P1的坐标分别记为(x0, y0)，(x0, -y0)，其中05=OC，∠ACB=π4，如图(b)．所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为(0,11924)，且AM=BM=CM．当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小．答：点P的坐标是(0,11924)；20.（1）证明：由题设条件可知，当x∈[-1, 1]时，有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x，即x-1≤f(x)≤1-x．（2）解：函数g(x)满足题设条件．验证如下：g(-1)=0=g(1)．对任意的u，v∈[-1, 1]，当u，v∈[0, 1]时，有|g(u)-g(V)|=|(1-u)-(1-v)|=|u-v|；当u，v∈[-1, 0]时，同理有|g(u)-g(V)|=|u-v|；当u⋅v<0，不妨设u∈[-1, 0), v∈(0, 1]，有|g(u)-g(V)|=|(1+u)-(1-v)|=|u+v|≤|v-u|．所以，函数g(x)满足题设条件．（3）解：这样满足的函数不存在．理由如下：假设存在函数f(x)满足条件，则由f(-1)=f(1)=0，得|f(1)-f(-1)|=0，①由于对任意的u，v∈[-1, 1]，都有|f(u)-f(V)|=|u-v|．所以，|f(1)-f(-1)|=|1-(-1)|=2．②①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．试卷第5页，总6页