2003年北京市春季高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）)1.若集合컐߈ʈ컐，컐߈ʈ컐，则컐䁧A.߈ʈݕʈ߈.Dݕʈ߈.Cݕʈ߈.Bݕݕ2.若䁧컐，则方程䁧＝的根是（）ݕݕA.B.C.D.ݕݕ3.设复数ݕ컐ݕͳ，컐ͳ，则arg컐䁧ݕA.B.C.D.ݕݕݕݕݕ4.函数䁧컐的最大值是䁧ݕ䁧ݕA.B.C.D.5.在同一坐标系中，方程ͳ컐ݕ䁧ݕ컐ͳ与ݕ的曲线大致是（）A.B.C.D.6.若，，是的三个内角，且൏൏䁧，则下列结论中正确的是（）A.sin൏sinB.cos൏cosC.݃൏݃D.݃൏݃컐ͳcos，7.椭圆（为参数）的焦点坐标为()컐sin，A.䁧ݕ䁢㌳䁧，ݕ䁢ݕ䁧.B㌳䁢ݕ䁧，ݕ䁢ݕC.䁧ݕ䁢㌳䁧，ݕ䁢ݕ䁧.D㌳䁢ݕ䁧，ݕ䁢ݕ试卷第1页，总9页,8.如图，在正三角形中，，，分别为各边的中点，，，，分别为，，、的中点．将沿，，折成三棱锥以后，与所成角的度数为（）A.ݕ.D.Cݕ.Bݕ9.某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）A.B.C.㌳D.ݕ10.已知直线ͳͳ컐ݕ컐ͳ圆与ݕ䁧ݕ相切，则三条边长分别为ʈʈ，ʈʈ，ʈʈ的三角形（）A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在11.若不等式ʈͳʈ൏的解集为䁧ݕ䁢，则实数等于（）A.㌳B.C.D.㌳12.在直角坐标系‸中，已知‸三边所在直线的方程分别为컐ݕ컐，ݕ，ͳ컐ݕ，则‸内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A.B.ݕC.㌳㌳D.二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高，则컐________．14.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内．年龄（岁）ݕݕݕݕ收缩压（水银柱毫米）ݕ________䁧ݕݕݕݕݕݕݕݕݕݕݕ舒张压（水银柱毫米）ݕ㌳㌳ݕ㌳䁧________㌳㌳试卷第2页，总9页,15.如图，ݕ컐ͳ圆椭为别分，ݕ的左、右焦点，点在椭圆上，‸是面积为的正三角形，则的值是________．16.若存在常数ݕ，使得函数䁧满足䁧컐䁧䁧，则䁧的一个正周期为________．三、解答题（共6小题，满分74分）)17.解不等式：logݕݕ䁧ݕgol䁧ݕ．cosͳsin18.已知函数䁧컐，求䁧的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．cos19.如图，正四棱柱ݕݕݕݕ中，底面边长为，侧棱长为．，分别为棱，的中点，＝．䁧Ⅰ求证：平面ݕݕ面平ݕ；䁧Ⅱ求点ݕ面平到ݕ的距离；䁧Ⅲ求三棱锥ݕݕ的体积．20.某租赁公司拥有汽车ݕݕݕ为金租月的车辆每当．辆ݕݕݕ元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加ݕ元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费ݕ费护维要需月每辆每车的出租未，元ݕݕ元．（1）当每辆车的月租金定为ݕݕ元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？21.如图，在边长为的等边中，圆‸ݕ为的内切圆，圆‸与圆‸ݕ外切，且与，相切，…，圆‸ͳݕ与圆‸外切，且与，相切，如此无限继续下去．记圆‸的面积为䁧．（1）证明߈是等比数列；lim（2）求䁧ݕͳͳǤǤǤͳ的值．试卷第3页，总9页,22.已知动圆过定点䁧ݕ컐线直定与且，ݕ䁢ݕ相切，点在上．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设过点，且斜率为的直线与曲线相交于，两点．䁧问：能否为正三角形？若能，求点的坐标；若不能，说明理由；䁧当为钝角三角形时，求这种点的纵坐标的取值范围．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2003年北京市春季高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.D8.B9.A10.B11.C12.B二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.14.ݕݕ,㌳15.16.（或的整数倍）三、解答题（共6小题，满分74分）17.解：原不等式变形为logݕ䁧logݕ䁧．ݕݕͳ䁧䁧ݕ所以原不等式ݕݕݕݕ൏ݕ൏൏൏൏ݕ൏．故原不等式的解集为߈ʈ൏൏．18.解：由cosݕ，得ͳ，解得ͳ，．所以䁧的定义域为߈ʈ且ͳ，Ǥ因为䁧的定义域关于原点对称，cos䁧ͳsin䁧且䁧컐cos䁧试卷第5页，总9页,cosͳsin컐컐䁧，cos所以䁧是偶函数．当ͳ，时，cosͳsin䁧컐cos䁧cosݕcos䁧ݕ컐컐cosݕ，cosݕݕ所以䁧的值域为߈ʈݕ൏或൏．19.（1）证法一：连接．∵正四棱柱ݕݕݕݕ的底面是正方形，∴，又ݕݕ面平故，ݕ．∵，分别为，的中点，故，∴平面ݕݕ，∴平面ݕݕ面平ݕ．证法二：∵＝，＝＝，∴．又ݕ∴平面ݕݕ，∴平面ݕݕ面平ݕ．（2）在对角面ݕݕ中，作ݕݕ，垂足为．∵平面ݕݕ面平ݕ，且平面ݕ＝ݕݕ面平ݕ，∴ݕ面平ݕ，且垂足为，∴点ݕ＝离距的ݕ面平到ݕ．解法一：在ݕݕsinݕݕ＝ݕ，中ݕݕ．∵ݕݕ컐ݕݕ컐컐，ݕsinݕsin컐ݕݕ컐컐컐，ݕݕͳݕݕݕ∴컐ݕ컐컐．ݕݕ解法二：∵ݕݕݕ，ݕݕݕ∴컐，ݕݕݕݕݕ∴컐ݕ컐컐컐．ݕݕͳݕ解法三：连接ݕݕ形方正于等积面的ݕݕ形角三则，ݕ面积的一半，ݕݕ即ݕ컐ݕݕ，ݕݕݕ∴컐ݕ컐컐．ݕݕ试卷第6页，总9页,ݕ䁧Ⅲ컐ݕ컐ݕݕ컐ݕݕݕݕݕݕ컐ݕ컐．ݕ20.解：（1）当每辆车的月租金定为ݕݕ元时，ݕݕݕݕݕ未租出的车辆数为컐ݕ，ݕ所以这时租出了㌳㌳辆车．（2）设每辆车的月租金定为元，ݕݕݕݕݕݕ则租赁公司的月收益为䁧컐䁧ݕݕݕ䁧ݕݕݕ，ݕݕݕ整理得䁧컐ͳݕݕݕͳݕݕ䁧컐ݕݕݕݕݕ．ݕݕ所以，当컐ݕݕݕ컐ݕݕ䁧为值大最，大最䁧，时ݕݕ，即当每辆车的月租金定为ݕݕݕ为益收月大最，大最益收月的司公赁租，时元ݕݕ元．21.（1）证明：记为圆‸的半径，则ݕtan컐ݕ컐，ݕݕ컐sinݕ컐．ݕͳݕ所以컐ݕ䁧，试卷第7页，总9页,ݕ于是ݕ컐컐ݕ，ݕ컐䁧컐ݕݕ故߈成等比数列．ݕݕ（2）解：因为컐䁧ݕ䁧，limݕ所以䁧ݕ컐ͳͳͳݕ컐．ݕ22.解：（1）依题意，曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为컐．䁧䁧由题意得，컐䁧ݕ直线的方程为컐䁧ݕ由컐ݕ消得ݕ得解，ݕ컐ͳݕݕ컐，컐．ݕ所以点坐标为䁧，，ݕ点坐标为䁧䁢，ʈʈ컐ݕͳͳ컐．假设存在点䁧ݕ䁢，使为正三角形，则ʈʈ컐ʈʈ且ʈʈ컐ʈʈ，ݕ䁧ͳݕͳ䁧ͳ컐䁧即①②ݕݕ䁧ͳݕͳ䁧컐䁧由①-②得ͳ䁧ͳ컐䁧ͳ䁧，ݕ解得컐．ݕ但컐不符合①，所以由①，②组成的方程组无解．因此，直线上不存在点，使得是正三角形．䁧设䁧ݕ䁢使成钝角三角形，컐䁧ݕ由得컐，컐ݕ即当点的坐标为䁧ݕ䁢时，，，三点共线，试卷第8页，总9页,故．ݕ㌳又ʈʈ컐䁧ݕͳ䁧컐ͳ，ʈʈ컐䁧ͳݕͳ䁧ͳ컐㌳ͳͳ，ݕʈʈ컐䁧컐．当ʈʈʈʈͳʈʈ，㌳即㌳ͳͳͳͳ，即时，为钝角．当ʈʈʈʈͳʈʈ，㌳即ͳ㌳ͳͳͳ，ݕݕ即൏时为钝角．又ʈʈʈʈͳʈʈ，㌳即ͳͳ㌳ͳͳ，即ͳͳ൏ݕ൏ͳ䁧，ݕ．该不等式无解，所以不可能为钝角．因此，当为钝角三角形时，ݕݕ点的纵坐标的取值范围是൏或䁧．试卷第9页，总9页