2002年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）)1.满足条件ͳሽͳ的集合的个数是（）A.B.C.D.ͳ2.在平面直角坐标系中，已知两点cossin，cossin，则的值是（）ͳA.B.C.D.ͳ3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（）B.ሽsinC.ሽͳcosA.ሽcosD.ሽ䁢cot4.个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为甲甲的球，记其体积为，表面积为，则（）乙乙A.且B.且甲乙甲乙甲乙甲乙C.ሽ且D.ሽ且ሽ甲乙甲乙甲乙甲乙ሽsec5.已知某曲线的参数方程是（为参数）．若以原点为极点，轴的正半轴ሽtan为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（）A.ሽͳB.cosሽͳC.sinሽͳD.cosሽͳ6.给定四条曲线：①ሽ，②ሽͳ，③ሽͳ，④ሽͳ，其中与直线䁢ሽ仅有一个交点的曲线是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④7.已知ͳ，且ͳሽͳ．若ͳሽ䁕，则ͳ䁢的最大值是()A.B.C.D.cot䁢ͳcos8.若ሽͳ，则的值为（）cotͳͳsinͳA.B.䁢C.䁢D.䁢9.ͳ名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口人，则不同的分配方案共有（）A.种B.种ͳͳͳC.种D.种ͳ试卷第1页，总8页 10.在一个不透明的袋中，装有若干个除颜色不同外其余都相同的球，如果袋中有ͳ个红球且摸到红球的概率为，那么袋中球的总个数为（）A.ͳB.ͳͳC.ͳD.ͳ11.已知是定义在䁢上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么不等式cos的解集为（）A.䁢䁢ͳB.䁢䁢ͳͳC.䁢䁢ͳͳͳD.䁢䁢ͳͳ12.如图所示，䁕䁕ሽͳ是定义在ͳ上的四个函数，其中满足性质：“对ͳ中任意的ͳ和，任意ͳ，ͳͳ䁢ͳͳ䁢恒成立”的只有（）A.B.C.D.二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）)13.arcsin䁢，arccos䁢，arctan䁢从小到大的顺序是________．14.等差数列中，ͳሽ，公差不为零，且ͳ，，ͳͳ恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于________．15.关于直角于在定平面内的射影有如下判断：①可能是的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是ͳ的角．其中正确判断的序号是________（注：把你认为是正确判断的序号都填上）．试卷第2页，总8页 16.已知是直线＝上的动点，，是圆䁢䁢ͳ＝的两条切线，，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为________．三、解答题（共6小题，满分74分）)17.解不等式䁢ͳ䁢．18.如图，在多面体ܥ䁢ͳͳͳܥͳ中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于，两点，上、下底面矩形的长、宽分别为，与，，且，，两底面间的距离为．（1）求侧面ͳͳ与底面ܥ所成二面角的大小；（2）证明：面ܥ．ͳ19.数列由下列条件确定：ͳሽ，ͳሽ，．（1）证明：对，总有；（2）证明：对，总有ͳ；lim（3）若数列的极限存在，且大于零，求的值．20.在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求个不同的数ͳ，，…，的和䁕ሽͳ䁕ሽͳǤǤǤ．计算开始前，个数存贮在台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这个数的和，需要设计一种读和加的方法．比如ሽ时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果ͳͳͳͳͳ（1）当ሽ时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果ͳͳ试卷第3页，总8页 （2）当ሽͳ时，要使所有机器都得到䁕ሽͳ䁕，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）21.已知于，ͳ，是于的三个顶点．（1）写出于的重心，外心，垂心的坐标，并证明，，三点共线；（2）当直线与于平行时，求顶点的轨迹．22.已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：ሽ．（1）求及ͳ的值；（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；（3）若ሽ，ሽ，求证数列是等差数列，并求的通项公式．试卷第4页，总8页 参考答案与试题解析2002年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.C2.D3.B4.C5.D6.D7.C8.A9.A10.C11.B12.A二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13.arctan䁢arcsin䁢arccos䁢14.15.①②③④⑤16.三、解答题（共6小题，满分74分）䁢ͳ17.解：原不等式的解集是下面不等式组ͳ及的解集的并集：ͳ或䁢䁢ͳ䁢䁢ͳ䁢ͳ解不等式组ͳ得解集解不等式组得解集ͳ所以原不等式的解集为18.解：（1）过ͳͳ作底面ܥ的垂直平面，交底面于，过ͳ作ͳ，垂足为．∵平面ܥ平面ܥ，ሽͳͳͳͳͳͳͳ∴，ͳ．∴ͳ为所求二面角的平面角．过ͳ作ͳ，垂足为．由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形ͳͳ为等腰梯形．试卷第5页，总8页 ͳ∴ሽ䁢，又ͳሽ，∴tanͳሽ，䁢∴ͳሽarctan，䁢即所求二面角的大小为arctan．䁢（2）证明：∵，ܥ是矩形ܥ的一组对边，有ܥ，又ܥ是面ܥ与面ܥ的交线，∴面ܥ．∵是面与面ܥ的交线，∴．∵是平面ܥ内的一条直线，在平面ܥ外，∴面ܥ．ͳ19.证明：（1）由ͳሽ，及ͳሽ，可归纳证明．ͳ从而有ͳሽሽ，所以，当时，成立．（2）证法一：当时，ͳ因为，ͳሽͳͳ䁢所以ͳ䁢ሽ䁢ሽ，故当时，ͳ成立．ͳ证法二：当时，因为，ͳሽ，ͳͳ所以ሽሽሽͳ，故当时，ͳ成立．limlim（3）解：记ሽ，则ͳሽ，且．ͳͳ由ͳሽ，得ሽ．lim由，解得ሽ，故ሽ．20.解：（1）当ሽ时，只用个单位时间即可完成计算．方法之一如下：试卷第6页，总8页 机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机结果被读机结果被读机结果号号号ͳͳͳͳͳͳͳͳͳͳ（2）当ሽͳሽ时，至少需要个单位时间才能完成计算．21.解：（1）由于三顶点坐标于，ͳ，，ͳ可求得重心，，ͳ䁢外心，，䁢垂心．ͳͳ当ሽ时，，，三点的横坐标均为，故三点共线；ͳ当时，设，所在直线的斜率为，，所在直线的斜率为．䁢䁢䁢因为ሽͳሽ，䁢ͳ䁢䁢䁢䁢ሽͳͳሽ，䁢ͳ䁢所以ሽ，，，，三点共线．综上可得，，，三点共线．䁢（2）解：若于，由ሽሽ，ͳ䁢ͳ得䁢ሽͳͳ䁢配方得䁢ሽ，即ͳሽͳ．ͳ䁢ͳ即ͳሽͳ．ͳͳ所以，顶点的轨迹是中心在，，长半轴长为，短半轴长为，且短轴在轴上的椭圆，ͳͳ但除去，ͳ，，，，䁢四点．22.解：（1）令ሽሽ，代入得ሽሽ．令ሽሽͳ，代入得ͳሽͳͳͳͳ，则ͳሽ．试卷第7页，总8页 （2）∵ͳሽ䁢ͳሽ䁢䁢ͳ䁢䁢ͳሽ，∴䁢ͳሽ．令ሽ䁢ͳ，ሽ，则䁢ሽ䁢ͳሽ䁢䁢ͳሽ䁢，因此是奇函数．ͳ（3）因为ͳሽͳሽͳሽͳሽሽͳ，即ͳ䁢ሽͳ，所以是等差数列．又首项ͳሽሽͳ，公差为ͳ，ͳ所以ሽ，ሽ．试卷第8页，总8页