2000年北京市高考数学试卷（理）一、选择题（共14小题，每小题4分，满分56分）)香1.设复数香䁕，香െ，则复数在复平面内对应点在（）香A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.如果ሼ，ሼ，，其中是全集，那么等于（）A.B.C.ሼD.香香3.双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是()香ሼ香െA.香B.െC.香D.香4.曲线的参数方程不可能是（）香sinሼA.B.cosሼ香cosሼݐሼC.D.secሼݐሼ5.一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（）A.െB.香െC.香D.香䁢6.平面直线ሼ和直线sinሼ的位置关系是（）A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.重合7.函数lgA.是偶函数，在区间上单调递增B.是偶函数，在区间上单调递减C.是奇函数，在区间上单调递增D.是奇函数，在区间上单调递减8.从单词“ݍሼݐ”选取个不同的字母排成一排，含有“ݍ”（其中“ݍ”相连且顺序不变）的不同排列共有（）A.香个B.晦个C.香个D.晦个9.椭圆短轴长是香，长轴长是短轴的香倍，则椭圆中心到其准线距离是晦晦A.B.C.െD.െെെ10.函数的最大值是（）香䁕sin䁕cos香香香香A.B.䁕C.D.香香香香11.设复数香sin䁕cos在复平面上对应向量，将按顺时针方向香െ旋转后得到向量香，香对应的复数为香香cos䁕sin，则ݐ试卷第1页，总8页 香ݐA.䁕香ݐB.香ݐ䁕C.D.香ݐ香䁕ݐ12.设，是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（）A.tanሼtanB.sin䁕sin香䁕C.cos䁕cosD.ݐ䁕ݐ香香13.设已知等差数列ሼݐ满足ሼ䁕ሼ香䁕ǤǤǤ䁕ሼ，则有（）A.ሼ䁕ሼB.ሼ香䁕ሼ香C.ሼെ䁕ሼ䁢䁢D.ሼ14.已知函数ሼെ䁕香䁕䁕的图象如图，则（）A.B.C.香D.香䁕二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）)香15.函数cos䁕的最小正周期是________．െ16.如图是一体积为香的正四面体，连接两个面的重心、，则线段的长是________．17.െ展开式中的常数项是________．18.在空间，下列命题正确的是________．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①如果两条直线ሼ、分别与直线平行，那么ሼ②如果两条直线ሼ与平面内的一条直线平行，那么ሼ③如果直线ሼ与平面内的一条直线、都有垂直，那么ሼ④如果平面内的一条直线ሼ垂直平面，那么试卷第2页，总8页 三、解答题（共6小题，满分74分）)ሼ香香sin19.在中，角、、对边分别为ሼ、、，证明：．香sin20.在直角梯形中，䁢，ሼ（如图），将香沿折起，使到．记面为，面为，面为．（1）若二面角为直二面角（如图），求二面角的大小；（2）若二面角为（如图），求三棱锥的体积．21.设函数lg，若ሼ，且ሼ．证明：ሼ．22.如图，设点和为抛物线香上原点以外的两个动点，已知，．求点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．23.某地区上年度电价为Ǥ晦元h，年用电量为ሼh，本年度计划将电价降到Ǥ元h至Ǥ元h，而用户期望电价为Ǥ元h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为hh）．即新增用电量，该地区电力的成本价为Ǥെ元h．实际电价期望电价写出本年度电价下调后，电力部门的收益（单位：元）与实际电价（单位：元h）的函数解析式；香设hǤ香ሼ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长香㠶？试卷第3页，总8页 ，香24.已知函数其中香൭香香香䁕，香香䁕香香（1）如图，在下面坐标系上画出的图象；（2）设香൭的反函数为ݐ香ሼ，ሼ，ݐሼ，…，香limሼݐሼ求并，式公项通的ݐሼ列数求，ݐሼݐݐ；ݐ（3）若，，，求．香试卷第4页，总8页 参考答案与试题解析2000年北京市高考数学试卷（理）一、选择题（共14小题，每小题4分，满分56分）1.B2.A3.C4.B5.C6.B7.B8.B9.D10.B11.A12.D13.C14.A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）15.െ16.香香17.香18.①，④三、解答题（共6小题，满分74分）19.证明：由余弦定理ሼ香香䁕香香cos，香ሼ香䁕香香ሼcos，香香香香ሼ香香ሼcoscos∴ሼሼ香cos䁕香ሼcos整理得香ሼsinsin依正弦定理，有，，sinsinሼ香香sincossincos∴香sinsinsin20.解：（1）在直角梯形中，由已知为等腰直角三角形，∴香ሼ，过作，由香ሼ，可推得香ሼ∴试卷第5页，总8页 取的中点，连接，则又∵二面角为直二面角，∴又∵平面∴∴，而，∴∴为二面角的平面角．由于，∴二面角为．（2）取的中点，连接，再过作，垂足为，连接，∵，∴∴为二面角的平面角，∴香在中，ሼ，香香∴，െെ香香ሼ香ሼሼሼെ香21.证明：作出函数lg的图象，如图所示．ሼ，且ሼ，ሼ，不可能．当ሼ时，显然ሼ成立．当ሼ，时，由ሼ得lgሼlg，lgሼlg，即lgሼlg．lgሼlg．故ሼ，试卷第6页，总8页 从而ሼ．综上可知，ሼ．22.解：如图，点，在抛物线香上，香香设，，，、的斜率分别为h、h．∴h香，h香由，得hh①依点在上，得直线方程香䁕②䁕由，得直线方程③设点，则，满足②、③两式，将②式两边同时乘以，并利用③式整理得香香香䁕䁕④由③、④两式得香䁕香由①式知，香∴香䁕香因为、是原点以外的两点，所以所以的轨迹是以香为圆心，以香为半径的圆，去掉坐标原点．23.解：设下调后的电价为元h，h依题意知用电量增至䁕ሼ时，Ǥh电力部门的收益为䁕ሼǤെǤǤ.ǤǤ香ሼ䁕ሼǤെሼǤ晦Ǥെ൭䁕香㠶香依题意有ǤǤǤ解得ǤǤ.答：当电价最低定为Ǥ元h时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长香㠶．24.解：（1）如图所示：说明：图象过、，、点；香香在区间上的图象为上凸的曲线段；香在区间，൭上的图象为直线段．香试卷第7页，总8页 （2）香香香，，൭的反函数为：香，൭香由已知条件得：ሼሼ香ሼ香香ሼെሼ香䁕香香香香香െሼ䁕䁕䁕，香香香ݐ香ݐ香∴ሼݐ䁕䁕䁕䁕香香香香香香ݐ即ሼݐ൭，െ香limlim香ݐ香∴ሼݐ൭ݐݐെ香െ（3）：由已知，香香∴香，香由的值域，得൭香香香∴香香香香൭香香由，整理得香䁕，香解得，因为，所以香试卷第8页，总8页