2021年初中毕业生学业考试数学试卷湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．8的相反数是（　　）A．﹣8B．8C．﹣D．±82．2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（　　）A．98.99×106B．9.899×107C．9899×104D．0.09899×1083．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．4．下列运算结果为a6的是（　　）A．a2•a3B．a12÷a2C．（a3）2D．（a3）25．下列计算正确的是（　　）A．＝±4B．（﹣2）0＝1C．+＝D．＝36．为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）A．众数是82B．中位数是84C．方差是84D．平均数是857．如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（　　） A．B．C．D．8．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　）A．7.5米B．8米C．9米D．10米9．下列命题是真命题的是（　　）A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B．正六边形的每一个内角为120°C．有一个角是60°的三角形是等边三角形D．对角线相等的四边形是矩形10．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）A．B．C． D．11．下列说法正确的是（　　）A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是D．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人12．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（　　）A．①②③B．①②C．①③D．②③二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）13．若二次根式有意义，则x的取值范围是　　．14．计算：＝　　．15．因式分解：3a2﹣9ab＝　　．16．底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为　　．（结果保留π）17．“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树　　棵．18．如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q 的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为　　厘米．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）19．（6分）计算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．20．（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是　　度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率． 22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．23．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层部分的长度为ycm．经测量，得到表中数据．双层部分长度x（cm）281420单层部分长度y（cm）148136124112（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为Lcm，求L的取值范围． 24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．25．（10分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离． 26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．①求c的取值范围；②求∠EMN的度数；（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2021年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．8的相反数是（　　）A．﹣8B．8C．﹣D．±8【分析】根据相反数的概念求解即可．【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此8的相反数是﹣8．故选：A．2．2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（　　）A．98.99×106B．9.899×107C．9899×104D．0.09899×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【解答】解：98990000＝9.899×107，故选：B．3．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．【分析】 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．4．下列运算结果为a6的是（　　）A．a2•a3B．a12÷a2C．（a3）2D．（a3）2【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A．a2•a3＝a5,故此选项不合题意；B．a12÷a2＝a10,故此选项不合题意；C．（a3）2＝a6,故此选项符合题意；D．（a3）2＝a6,故此选项不合题意；故选：C．5．下列计算正确的是（　　）A．＝±4B．（﹣2）0＝1C．+＝D．＝3【分析】根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可．【解答】解：16的算术平方根为4，即，故A不符合题意；根据公式a0＝1(a≠0)可得（﹣2）0＝1，故B符合题意；、无法运用加法运算化简，故，故C不符合题意；，故D不符合题意；故选：B．6．为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）A．众数是82B．中位数是84C．方差是84D．平均数是85【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．【解答】解：将数据重新排列为82，82，83，85，86，92， A、数据的众数为82，此选项正确，不符合题意；B、数据的中位数为＝84，此选项正确，不符合题意；C、数据的平均数为＝85，所以方差为×[（85﹣85）2+（83﹣85）2+2×（82﹣85）2+（86﹣85）2+（92﹣85）2]＝12，此选项错误，符合题意；D、由C选项知此选项正确；故选：C．7．如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（　　）A．B．C．D．【分析】画出该组合体的三视图即可．【解答】解：这个组合体的三视图如下：故选：A．8．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　） A．7.5米B．8米C．9米D．10米【分析】由锐角三角函数可以求得AB的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，∵sin∠BAC＝＝sin37°≈0.6＝，∴AB≈BC＝×6＝10（米），故选：D．9．下列命题是真命题的是（　　）A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B．正六边形的每一个内角为120°C．有一个角是60°的三角形是等边三角形D．对角线相等的四边形是矩形【分析】根据多边形的外角和都是360度对A作出判断；根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角和，再求出每个内角对B作出判断；根据等边三角形的判定对C作出判断；根据矩形的判定对D作出判断．【解答】解：A．每个多边形的外角和都是360°，故错误，假命题；B．正六边形的内角和是720°，每个内角是120°，故正确，真命题；C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题；D．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题．故选：B．10．不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）A．B． C．D．【分析】解出两个不等式，再表示出不等式组的解集，在数轴上正确表示出来即可选出正确答案．【解答】解：解不等式x+1＜0得，x＜﹣1,解不等式﹣2x≤6得，x≥﹣3，∴不等式组的解集为：﹣3≤x＜﹣1,在数轴上表示为：故选：A．11．下列说法正确的是（　　）A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是D．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人【分析】根据概率的定义和计算公式即可．【解答】解：全国中学生人数很大，应采用抽样调查方式，∴A选项错误，彩票的中奖机会是1%说的是可能性，和买的数量无关，∴B选项错误，根据概率的计算公式，C选项中摸出红球的概率为，∴C选项错误，200名学生中有85名学生喜欢跳绳，∴跳绳的占比为，∴3200×42.5＝1360(人)， ∴D选项正确，故选：D．12．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（　　）A．①②③B．①②C．①③D．②③【分析】先判断四边形CMPN是平行四边形，再根据PN＝CN判断四边形CMPN是菱形，点P与点A重合时设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理解出x，进而求出MN即可判断②，当MN过D点时，求出四边形CMPN面积的最小值，当P与A重合时，求出四边形面积的最大值，即可判断③．【解答】解：∵PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，∵NC＝NP，∴PM＝CN，∵MP∥CN，∴四边形CNPM是平行四边形，∵CN＝NP，∴四边形CNPM是菱形，故①正确；如图1，当点P与A重合时，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB²+BN²＝AN²， 即4²+x²＝(8﹣x)²，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，∵AB＝4，BC＝8，∴AC＝＝4，∴CQ＝AC＝2，∴QN＝＝，∴MN＝2QN＝2，故②不正确；由题知，当MN过点D时，CN最短，如图2，四边形CMPN的面积最小，此时S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，当P点与A点重合时，CN最长，如图1，四边形CMPN的面积最大，此时S＝×5×4＝5，∴4≤S≤5正确，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）13．若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≥3　． 【分析】二次根式的被开方数x﹣3≥0．【解答】解：根据题意，得x﹣3≥0，解得，x≥3；故答案为：x≥3．14．计算：＝　1　．【分析】根据同分母的分式加减法则进行计算即可．【解答】解：原式＝＝1．故答案为：1．15．因式分解：3a2﹣9ab＝　3a（a﹣3b）　．【分析】提取公因式，即可得出答案．【解答】解：3a2﹣9ab＝3a（a﹣3b），故答案为：3a（a﹣3b）．16．底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为　12π　．（结果保留π）【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．故答案为：12π．17．“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树　500　棵．【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前3天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入（1+25%）x中即可求出结论．【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，依题意得：﹣＝3，解得：x＝400，经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，∴（1+25%）x＝500． 故答案为：500．18．如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为　(2+3)　厘米．【分析】结合图象当点P运动到A点，点Q运动到C点时，即AC＝2cm，同理求出BD＝2cm，利用菱形性质即可求出AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，再由题意易知当点P在A﹣D段上运动，P、Q两点的最短时P、Q分别位于AD、BC的中点时，求出此时P、Q两点的运动路程之和即可．【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm，∴AC＝2cm，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，∴OD＝OB＝BD＝1cm，在Rt△ADO中，AD＝＝＝2(cm)，∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的最短， 此时，OE＝OF＝＝，AE＝AF＝＝＝,∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：（cm）故答案为：(2+3)．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）19．（6分）计算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式展开再合并同类项即可．【解答】解：原式＝(x2+4xy+4y2)+(x2﹣4y2)+(x2﹣4xy)＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+x2﹣4xy＝3x2．20．（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．【分析】根据题目已知条件利用ASA即可求出△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AC∥DF，∴∠CAB＝∠FDE(两直线平行，同位角相等),又∵BC∥EF，∴∠CBA＝∠FED(两直线平行，同位角相等),在△ABC和△DEF中， ,∴△ABC≌△DEF(ASA)．21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是　64.8　度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．【分析】（1）根据题意求出其他垃圾所占百分比即可求出其他垃圾所在的扇形的圆心角度数；（2）根据可回收垃圾所占百分比算出500吨生活垃圾中可回收垃圾中的质量，即可计算出该天可回收物所创造的经济总价值；（3）结合题意，画出树状图即可求出所抽取的学生中恰好一男一女的概率．【解答】解：（1）由题意可知，其他垃圾所占的百分比为：1﹣20%﹣7%﹣55%＝18%，∴其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是：360°×18%＝64.8°，故答案为：64.8；（2）500×20%＝100（吨），100×0.2＝20（万元）， 答：该天可回收物所创造的经济总价值是20万元；（3）由题意可列树状图：∴P（一男一女）＝＝．22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．【分析】（1）利用旋转即可得到Rt△ABE≌Rt△ADF，再根据全等三角形的性质即可求证四边形AFHE的形状；（2）设AE＝x,则BE＝7+x,AB＝13，利用勾股定理即可求出x,进而可求出DH的长．【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∴∠AFH＝90°，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠DAF＝∠BAE, 又∵∠DAF+∠FAB＝90°，∴∠BAE+∠FAB＝90°，∴∠FAE＝90°，在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，∴四边形AFHE是矩形，又∵AE＝AF，∴矩形AFHE是正方形；（2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x,BH＝7,BC＝AB＝13,在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，即132＝x2+(x+7)2,解得：x＝5,∴BE＝BH+EH＝5+7＝12,∴DF＝BE＝12,又∵DH＝DF+FH，∴DH＝12+5＝17．23．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层部分的长度为ycm．经测量，得到表中数据．双层部分长度x（cm）281420单层部分长度y（cm）148136124112（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为Lcm，求L的取值范围． 【分析】（1）设出y与x的函数关系式为y＝kx+b，代入表中数据求系数即可；（2）根据函数关系式和背带长度为130cm列出二元一次方程组解方程组即可；（3）根据x和y都为非负数求出L的最大值和最小值即可确定取值范围．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，由题知，解得，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+152；（2）根据题意知，解得，∴双层部分的长度为22cm；（3）由题知，当x＝0时，y＝152，当y＝0时，x＝76，∴76≤L≤152．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．【分析】(1)连结OD，利用已知条件证明OD⊥CD即可求证CD是⊙O的切线； (2)连结OE，根据∠BDE＝30°，E为的中点即可求出∠BOD度数以及求证三角形EOD为等边三角形，进而求出∠DOC度数，再利用tan∠DOC的值即可求出CD的长．【解答】解：（1）证明：连结OD，如图所示：∵AB是直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDO+∠ADO＝90°，又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B，∴∠B＝∠BDO＝∠CDA，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥CD，且OD为⊙O半径，∴CD是⊙O的切线；（2）连结OE，如图所示：∵∠BDE＝30°，∴∠BOE＝2∠BDE＝60°，又∵E为的中点，∴∠EOD＝60°,∴△EOD为等边三角形，∴ED＝EO＝OD＝2,又∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝120°，∴∠DOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°,在Rt△DOC中，∠DOC＝60°,OD＝2， ∴tan∠DOC＝tan60°＝＝＝,∴CD＝2．25．（10分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．【分析】（1）过点A作x轴的垂线，分别交MN和x轴于点E和点F，利用三角形相似写出点M的坐标；（2）四边形的面积可以用分割法求解，①△MNP和△BNP的面积之和；②四边形MNBO和△OMP的面积之差，其它方法亦可；（3）先判断四边形MNBP的形状，就可知道平分四边形MNBP的直线经过的定点坐标（用含t的式子表示），然后消去t，得到直线l的解析式；（4）利用三角形相似解题，由∠OAP＝∠BPN和∠AOB＝∠PBN（由题意可知），得证△AOP∽△PBN，再利用相似的性质求出对应的t值，再由等面积法求高，求出点N到OA的距离．【解答】解：（1）过点A作x轴的垂线，交MN于点E，交OB于点F，由题意得：OQ＝2t，OP＝3t,PB＝6﹣3t，∵O（0，0），A（3，4），B（6，0）， ∴OF＝FB＝3，AF＝4，OA＝AB＝，∵MN∥OB，∴∠OQM＝∠OFA，∠OMQ＝∠AOF，∴△OQM∽△AFO，∴，∴，∴QM＝，∴点M的坐标是（）．（2）∵MN∥OB，∴四边形QEFO是矩形，∴QE＝OF，∴ME＝OF﹣QM＝3﹣，∵OA＝AB，∴ME＝NE，∴MN＝2ME＝6﹣3t，∴S四边形MNBP＝S△MNP+S△BNP＝MN•OQ+•BP•OQ＝＝﹣6t2+12t＝﹣6(t﹣1)2+6，∵点P到达点B时，P、Q同时停止，∴0≤t≤2，∴t＝1时，四边形MNBP的最大面积为6．（3）∵MN＝6﹣3t，BP＝6﹣3t，∴MN＝BP，∵MN∥BP，∴四边形MNBP是平行四边形， ∴平分四边形MNBP面积的直线经过四边形的中心，即MB的中点，设中点为H（x，y），∵M()，B（6，0），∴x＝＝，y＝．∴x＝，化简得：y＝，∴直线l的解析式为：y＝．（4）∵OA＝AB，∴∠AOB＝∠PBN，又∵∠OAP＝∠BPN，∴△AOP∽△PBN，∴，∴，解得：t＝．∵MN＝6﹣3t，AE＝AF﹣OQ,ME＝3﹣，∴MN＝6﹣3×，AE＝，ME＝，∴AM＝．设点N到OA得距离为h，∵S△AMN＝•MN•AE＝•AM•h，∴， 解得：h＝．∴点N到OA得距离为．26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．①求c的取值范围；②求∠EMN的度数；（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意得：x＝，解得x＝±2，即可求解；（2）①由△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，即可求解；②求出点M的坐标为（﹣，0）、点E的坐标为（﹣，﹣），即可求解；（3）证明△CMP≌△PNB（AAS），则PM＝BN，CM＝PN，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：x＝，解得x＝±2，当x＝±2时，y＝＝±2，故“雁点”坐标为（2,2）或（﹣2，﹣2）；（2）①∵“雁点”的横坐标与纵坐标相等，故“雁点”的函数表达式为y＝x，∵物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，则ax2+5x+c＝x，则△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，∵a＞1，故c＜4；②∵ac＝4，则ax2+5x+c＝0为ax2+5x+＝0，解得x＝﹣或﹣，即点M的坐标为（﹣，0），由ax2+5x+c＝x，ac＝4，解得x＝﹣，即点E的坐标为（﹣，﹣），故点E作EH⊥x轴于点H，则HE＝，MH＝xE﹣xM＝﹣﹣（﹣）＝＝HE， 故∠EMN的度数为45°；（3）存在，理由：由题意知，点C在直线y＝x上，故设点C的坐标为（t，t），过点P作x轴的平行线交过点C与y轴的平行线于点M，交过点B与y轴的平行线于点N，设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则BN＝﹣m2+2m+3,PN＝3﹣m,PM＝m﹣t,CM＝﹣m2+2m+3﹣t,∵∠NPB+∠MPC＝90°,∠MPC+∠CPM＝90°,∴∠NPB＝∠CPM,∵∠CMP＝∠PNB＝90°,PC＝PB,∴△CMP≌△PNB（AAS），∴PM＝BN，CM＝PN，即m﹣t＝|﹣m2+2m+3|，﹣m2+2m+3﹣t＝|3﹣m|，解得m＝1+（舍去）或1﹣或，故点P的坐标为（，）或（，）．