2021年初中毕业生学业考试数学试卷四川省南充市中考数学一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分.1．满足x≤3的最大整数x是（ ）A．1B．2C．3D．42．数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（ ）A．﹣2B．2C．1D．﹣13．如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（ ）A．OE＝OFB．AE＝BFC．∠DOC＝∠OCDD．∠CFE＝∠DEF4．据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7．下列说法错误的是（ ）A．该组数据的中位数是6B．该组数据的众数是6C．该组数据的平均数是6D．该组数据的方差是65．端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（ ）A．10x+5（x﹣1）＝70B．10x+5（x+1）＝70C．10（x﹣1）+5x＝70D．10（x+1）+5x＝706．下列运算正确的是（ ）A．•＝B．÷＝C．+＝D．﹣＝7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（ ）A．B．2C．+1D．2﹣19．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（ ）A．1B．﹣1C．2021D．﹣202110．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论：①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为48；③A′C﹣B′C的最大值为15；④A′C+B′C的最小值为9．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上.11．如果x2＝4，则x＝ ．12．在﹣2，﹣1，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 ．13．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为 ．14．若＝3，则+＝ ．15．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD：AC的值为 ．16．关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．其中正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。17．（8分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x﹣3）2，其中x＝﹣1．18．（8分）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．
19．（8分）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目．（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：考生自选项目长跑掷实心球小红959095小强909595①补全条形统计图．②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．21．（10分）如图，反比例函数的图象与过点A（0，﹣1），B（4，1）的直线交于点B和C．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）已知点D（﹣1，0），直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求△BCE的面积．22．（10分）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA＝4，求GF的长．23．（10分）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价；（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式；
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝﹣x+12．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入﹣购进支出）24．（10分）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE＝．（1）求tan∠ACE；（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；（3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年四川省南充市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分.1．满足x≤3的最大整数x是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】根据不等式x≤3得出选项即可。【解答】解：满足x≤3的最大整数x是3，故选：C．2．数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（ ）A．﹣2B．2C．1D．﹣1【分析】一个数到原点的距离可以用绝对值表示，例如|x|表示数x表示的点到原点的距离．所以，表示数m和m+2的点到原点的距离相等可以表示为|m|＝|m+2|．然后，进行分类讨论，即可求出对应的m的值．【解答】解：由题意得：|m|＝|m+2|,∴m＝m+2或m＝﹣(m+2),∴m＝﹣1．故选：C．3．如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（ ）A．OE＝OFB．AE＝BFC．∠DOC＝∠OCDD．∠CFE＝∠DEF【分析】证△AOE≌△COF（ASA），得OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，进而得出结论．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，又∵∠DOC＝∠BOA，∴选项A正确，选项B、C、D不正确，故选：A．4．据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7．下列说法错误的是（ ）A．该组数据的中位数是6B．该组数据的众数是6C．该组数据的平均数是6D．该组数据的方差是6【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可．【解答】解：A、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7．则中位数是6，故本选项说法正确，不符合题意；B、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴众数是6，故本选项说法正确，不符合题意；C、平均数是（5+5+6+6+6+7+7）÷7＝6，故本选项说法正确，不符合题意；D、方差为：×[（5﹣6）2+2×（5﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（7﹣6）2]＝，故本选项说法错误，符合题意；故选：D．5．端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（ ）A．10x+5（x﹣1）＝70B．10x+5（x+1）＝70C．10（x﹣1）+5x＝70D．10（x+1）+5x＝70【分析】设每个肉粽x元，则每个素粽（x﹣1）元，根据总价＝单价×数量，结合购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设每个肉粽x元，则每个素粽（x﹣1）元，依题意得：10x+5(x﹣1)＝70．故选：A．6．下列运算正确的是（ ）A．•＝B．÷＝C．+＝D．﹣＝【分析】根据分式的乘除法和加减法可以计算出各个选项中式子的正确结果，从而可以解答本题．【解答】解：＝，故选项A错误；＝＝，故选项B错误；＝＝，故选项C错误；＝＝＝，故选项D正确；故选：D．7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）A．15°B．22.5°C．30°D．45°【分析】由垂径定理知，点E是CD的中点，有CD＝2ED＝2CE，可得DE＝OE，则∠DOE＝∠ODE＝45°，利用圆周角定理即可求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CD＝2ED＝2CE，∵CD＝2OE，∴DE＝OE，
∵CD⊥AB，∴∠DOE＝∠ODE＝45°，∴∠BCD＝∠DOE＝22.5°．故选：B．8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（ ）A．B．2C．+1D．2﹣1【分析】连结BD，作DH⊥AB,垂足为H，先证明△ABD是等边三角形，再根据SAS证明△ADE≌△BDF，得到△DEF是等边三角形，根据周长求出边长DE＝，设AH＝x,则HE＝2﹣x，DH＝x,在Rt△DHE中，根据勾股定理列方程求出x,进而得到AD＝2x的值．【解答】解：如图，连结BD，作DH⊥AB,垂足为H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD,AD∥BC,∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°,∴AD＝BD,∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°,∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°,∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF(SAS)，∴DE＝DF,∠FDB＝∠ADE，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°,∴△DEF是等边三角形，∵△DEF的周长是3，∴DE＝,
设AH＝x,则HE＝2﹣x，∵AD＝BD,DH⊥AB,∴∠ADH＝∠ADB＝30°,∴AD＝2x,DH＝x，在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²,∴（x）²+(2﹣x)²＝()²,解得：x＝(负值舍去），∴AD＝2x＝1+，故选：C．9．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（ ）A．1B．﹣1C．2021D．﹣2021【分析】由题意得出x1+x2＝2021,x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，将代数式变形后再代入求解即可．【解答】解:∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2021,x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，∵x2≠0,∴x2﹣2021+＝0,∴﹣＝x2﹣2021,∴﹣,∴x12﹣＝2021x1﹣1+2021x2﹣20212＝2021(x1+x2)﹣1+20212＝20212﹣1﹣20212＝﹣1．
故选：B．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B给出下列结论：①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为48；③A′C﹣B′C的最大值为15；④A′C+B′C的最小值为9．其中正确结论的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据平行四边形的判定可得结论．②作点C关于直线AA′的对称点E,连接CE交AA′于T,交BD于点O,则CE＝4OC．利用面积法求出OC即可．③根据A′C﹣B′C≤A′B′,推出A′C﹣B′C≤15,可得结论．④作点D关于AA′的对称点D′,连接DD′交AA′于J,过点D′作D′E⊥CD交CD的延长线于E,连接CD′交AA′于A′,此时CB′+CA′的值最小，最小值＝CD′．【解答】解：如图1中，∵AB＝A′B′,AB∥A′B′,AB＝CD,AB∥CD,∴A′B′＝CD,A′B′∥CD,∴四边形A′B′CD是平行四边形，故①正确，作点C关于直线AA′的对称点E,连接CE交AA′于T,交BD于点O,则CE＝4OC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°,CD＝AB＝15,∴BD＝＝＝25,∵•BD•CO＝•BC•CD,
∴OC＝＝12,∴EC＝48,故②正确，∵A′C﹣B′C≤A′B′,∴A′C﹣B′C≤15,∴A′C﹣B′C的最大值为15,故③正确，如图2中，∵B′C＝A′D,∴A′C+B′C＝A′C+A′D,作点D关于AA′的对称点D′,连接DD′交AA′于J,过点D′作D′E⊥CD交CD的延长线于E,连接CD′交AA′于A′,此时CB′+CA′的值最小，最小值＝CD′,由△AJD∽△DAB,可得＝,∴＝,∴DJ＝12,∴DD′＝24,由△DEE′∽△DAB,可得＝＝,∴＝＝,∴ED′＝,DE＝,∴CE＝CD+DE＝15+＝,∴CD′＝＝＝9,∴A′C+B′C的最小值为9．故④正确，故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上.11．如果x2＝4，则x＝ ±2 ．【分析】根据平方根的定义解答即可．【解答】解：x2＝4，开平方得x＝±2；故答案为：±2．12．在﹣2，﹣1，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 ．【分析】所列4个数中，倒数等于其本身的只有﹣1和1这2个，利用概率公式求解即可．【解答】解：在﹣2，﹣1，1，2这四个数中，其倒数等于本身的有﹣1和1这两个数，所以四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是＝，故答案为：．13．如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为 3 ．
【分析】由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解BE＝2AF＝6，再利用三角形中位线定理可求解．【解答】解：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∵F为BE的中点，AF＝3，∴BE＝2AF＝6．∵G，H分别为BC，EC的中点，∴GH＝BE＝3，故答案为3．14．若＝3，则+＝ ．【分析】利用分式化简，得出n＝2m,代入即可求解．【解答】解：∵,∴n＝2m,∴+＝+＝+4＝,故答案为：．15．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD：AC的值为 ．【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明出△ABC∽△DBA，再根据相似三角形的对应边成比例，变形即可得出答案．【解答】解：∵BC＝AB＝3BD，∴，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA，
∴,∴AD:AC＝,故答案为：．16．关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．其中正确结论的序号是 ②③ ．【分析】①构建方程组，转化为一元二次方程，利用判别式的值判断即可．②首先证明a＞1,再证明x＝1时，y＜0,可得结论．③首先证明a＞0,再根据顶点在x轴上或x轴的上方，在点（0,1）的下方，可得不等式组1＞≥0,由此可得结论．【解答】解：由,消去y得到，ax2﹣4x﹣1＝0,∵△＝16+4a,a＜0,∴△的值可能大于0，∴抛物线与直线y＝2x+2可能有交点，故①错误．∵抛物线与x轴有两个交点,∴△＝4﹣4a＞0,∴a＜1,∵抛物线经过(0,1),且x＝1时，y＝a﹣1＜0,∴抛物线与x轴的交点一定在（0,0）与（1,0）之间．故②正确，∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），∴﹣＞0,∴a＞0,∴1＞≥0,解得，a≥1,故③正确，
故答案为：②③．三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。17．（8分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x﹣3）2，其中x＝﹣1．【分析】由题意可知,在化简的过程中可以运用平方差公式(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2和完全平方差公式(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2快速计算,再把x＝﹣1代入化简后得到的式子中求值．【解答】解：原式＝4x2﹣1﹣(4x2﹣12x+9)＝4x2﹣1﹣4x2+12x﹣9＝12x﹣10．∵x＝﹣1,∴12x﹣10＝12×(﹣1)﹣10＝﹣22．故答案为：12x﹣10,﹣22．18．（8分）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．【分析】根据AAS证明△BAE≌△ACF，再根据全等三角形的对应边相等即可得解．【解答】证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠EBA＝90°，∴∠EBA＝∠FAC,在△ACF和△BAE中，,
∴△ACF≌△BAE(AAS),∴AF＝BE．19．（8分）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目．（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：考生自选项目长跑掷实心球小红959095小强909595①补全条形统计图．②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．【分析】（1）将乒乓球、篮球和羽毛球分别记作A、B、C，列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式计算可得答案；（2）①根据表格中的数据即可补全条形图；②根据加权平均数的定义列式计算即可．【解答】解：（1）将乒乓球、篮球和羽毛球分别记作A、B、C，列表如下：ABCA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）
由表可知共有9种等可能结果，其中小红和小强自选项目相同的有3种结果，所以小红和小强自选项目相同的概率为＝；（2）①补全条形统计图如下：②小红的体育中考成绩为95×50%+90×30%+95×20%＝93.5（分），小强的体育中考成绩为90×50%+95×30%+95×20%＝92.5（分）．20．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；(2)解方程求出方程的两根为k,k+1,得出＝1+或＝1﹣,然后利用有理数的整除性确定k的整数值；【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，∴无论k取何值,方程有两个不相等的实数根．(2)解:∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，解得：x＝k或x＝k+1．∴一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两根为k,k+1,∴或,如果1+为整数,则k为1的约数,∴k＝±1,
如果1﹣为整数,则k+1为1的约数,∴k+1＝±1,则k为0或﹣2．∴整数k的所有可能的值为±1,0或﹣2．21．（10分）如图，反比例函数的图象与过点A（0，﹣1），B（4，1）的直线交于点B和C．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）已知点D（﹣1，0），直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求△BCE的面积．【分析】(1)根据待定系数法求得即可；（2）解析式联立，解方程组求得C的坐标，然后根据待定系数法求得直线CD的解析式，再与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得E的坐标，然后根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求得△BCE的面积．【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y＝,直线AB解析式为y＝ax+b,∵反比例函数的图象过点B（4，1）,∴k＝4×1＝4,把点A（0，﹣1），B（4，1）代入y＝ax+b得,解得,∴直线AB为y＝,反比例函数的解析式为y＝；
(2)解得或,∴C(﹣2,﹣2),设直线CD为y＝mx+n,把C(﹣2,﹣2),D(﹣1,0)代入得,解得,∴直线CD为y＝2x+2,由得或,∴E(1,4),∴S△BCE＝6×6﹣×3﹣﹣＝．22．（10分）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA＝4，求GF的长．
【分析】（1）证明∠OAC＝90°即可；（2）求弦长，根据垂径定理先求出弦长的一半即可．连结OF,过点O作OH⊥GF于点H，根据中位线定理得DE∥OC，所以∠OEH＝∠AOB＝60°，求出OH，根据勾股定理求出HF，乘2即可求出GF．【解答】(1)证明:∵AB＝OA＝OB，∴△OAB是等边三角形．∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°．∵BC＝OB，∴BC＝AB，∴∠BAC＝∠C,∵∠OBA＝∠BAC+∠C＝60°，∴∠BAC＝∠C＝30°．∴∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°．∴OA⊥AC，∴点A在⊙O上，∴AC是⊙O的切线；(2)解:如图，连结OF,过点O作OH⊥GF于点H．∴GF＝2HF，∠OHE＝∠OHF＝90°．∵点D,E分别是AC，OA的中点，∴OE＝AE＝OA＝×4＝2,DE∥OC．∴∠OEH＝∠AOB＝60°,OH＝OEsin∠OEH＝．
∴HF＝＝＝．∴GF＝2HF＝2．23．（10分）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价；（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式；（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z＝﹣x+12．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入﹣购进支出）【分析】(1)设苹果的进价为x元/千克，根据题意列出方式方程，解出即可得出结果；（2）根据自变量的不同取值范围：0≤x≤100和x＞100，得出两个函数关系式即可；（3）根据自变量的不同取值范围：0≤x≤100和100＜x≤300，得出两个二次函数关系式，分别求出最大值比较后即可得出结果．【解答】(1)解：设苹果的进价为x元/千克，根据题意得：，解得：x＝10，经检验x＝10是原方程的根，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克．
(2)解：当0≤x≤100时，y＝10x；当x＞100时，y＝10×100+(x﹣100)(10﹣2)＝8x+200；∴y＝．(3)解：当0≤x≤100时，w＝(z﹣10)x＝()x＝，∴当x＝100时，w有最大值为100；当100＜x≤300时，w＝(z﹣10)×100+(z﹣8)(x﹣100)＝()×100+()(x﹣100)＝＝，∴当x＝200时，w有最大值为200；∵200＞100，∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大为200元．答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大．24．（10分）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE＝．（1）求tan∠ACE；（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；（3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．
【分析】(1)过点E作EM⊥AC于点M,由正方形的性质求出AE＝,由直角三角形的性质求出EM和CM的长,则可得出答案；(2)证明△DHG∽△DAF,由相似三角形的性质得出,则可得出答案．(3)由锐角三角函数的定义要得出,求出x＝,y＝,由勾股定理求出EG的长,得出EG＝EM,则可得出答案．【解答】解:(1)过点E作EM⊥AC于点M,∴∠AME＝∠EMC＝90°,∵四边形ABCD是边长为1的正方形,DE＝,∴∠CAD＝45°,AE＝AD﹣DE＝1﹣＝,∴EM＝AM＝AE•sin∠CAD＝,AC＝,∴CM＝AC﹣AM＝﹣＝,∴tan∠ACE＝＝＝；(2)∵GH⊥AD,AB⊥AD,∴GH∥AB,∴△DHG∽△DAF,∴,∴,∴y＝x﹣xy,∴y＝(0＜x≤1)；
(3)当∠ADF＝∠ACE时,EG⊥AC,理由如下:∵tan∠ADF＝tan∠ACE＝,∴,∴x＝,y＝,∴HA＝GH＝,∴EH＝AD﹣DE﹣AH＝,∴EG＝＝＝,∴EG＝EM,又∵EM⊥AC,∴点G与点M重合,∴EG⊥AC．25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，进而求解；（3）当∠DQE＝2∠ODQ，则∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，进而求出点E的坐标为（5,4），再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4①；（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，故点B的坐标为（4,0），点C（0,4），设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，此时点Q的坐标为（2，﹣2）；∵PQ＝CO，PQ∥OC，故四边形OCPQ为平行四边形；
（3）∵D是OC的中点，则点D（0,2），由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x﹣2，过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，而∠DQE＝2∠ODQ．∴∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，故设直线QE的表达式为y＝2x+r，将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，故直线QE的表达式为y＝2x﹣6②，联立①②并解得（不合题意的值已舍去），故点E的坐标为（5,4），设点F的坐标为（0，m），由点B、E的坐标得：BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，同理可得，当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝；故点F的坐标为（0,1）或（0，﹣1）或（0，）．
