2021年初中毕业生学业考试数学试卷上海中考数学一、选择题（本大题共6题.每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列实数中，有理数是（）A.B.C.D.2.下列单项式中，的同类项是（）3.将函数的图像向下平移两个单位，以下说法错误的是（）A.开口方向不变B.对称轴不变B.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变4.商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（）A.2kg/包B.3kg/包C.4kg/包D.5kg/包5.如图，已知，，E为AB中点，则=（）A.B.C.D.6.如图长方形ABCD中，AB=4,AD=3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（）A.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内D.点C在圆A内，点D在圆A外二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】7.计算：.8.已知,那么.9.已知,则x=.10.不等式2x-12＜0的解集是.11.70°的余角是°.12.若一元二次方程无解,则c的取值范围为. 12.已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为.13.已知函数的图像经过二、四象限，且不经过(-1,1)，请写出一个符合条件的函数解析式.14.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已经卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，挣得元.16如图所示,已知在梯形ABCD中，AD∥BC，,则.17.六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为1,则中间正六边形的面积为.18.定义:平面上一点到图形的最短距离为d,如图,OP=2,正方形ABCD的边长为2,O为正方形中心,当正方形ABCD绕O旋转时,d的取值范围是.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算：15.解方程组：21.如图，已知在△ABD中，AC⊥BD，BC=8，CD=4，，BF为AD边上的中线.(1)求AC的长;(2)求tan∠FBD的值.22.现在5G手机非常流行,某公司第一季度总共生产80万部5G手机,三个月的生产情况如下图.(1)求3月份生产了多少部手机?(2)5G手机速度很快,比4G下载速度每秒多95MB,下载一部1000MB的电影,5G比4G要快190秒,求5G手机的下载速度. 23.已知：在圆O内,弦AD与弦BC相交于点G,AD=CB，M、N分别是CB和AD的中点，联结MN、OG.（1）证明:OG⊥MN;ABMNOG（2）联结AB、AM、BN，若BN∥OG，证明：四边形ABNM为矩形。24.已知抛物线经过点P(3,0)、Q(1,4).(1)求抛物线的解析式；(2)若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC，①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标.25.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E.(1)当点E在边CD上，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值;(2)若DE=2，OE=3，求CD的长. 2021年上海中考数学试卷逐题解析版一、选择题本大题共6题.每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列实数中，有理数是（） A.B.C.D.【考点】有理数．【解答】解：整数与分数统称为有理数；无限不循环小数为无理数，常见的无理数有π和开方开不尽的数（A）无理数，故A错误；（B）无理数，故B错误；（C）原式＝，故C对；（D）无理数，故D错误；故选：C．【点评】本题考查有理数的概念，解题的关键是抓住有理数和无理数的区别，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．本题属于基础题型．2.下列单项式中，的同类项是（）【考点】同类项．【解答】解：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。由题意，字母a的指数为2，字母b的指数为3，根据同类项的定义，只有B符合，故选：B．【点评】本题考查同类项的定义，解题时注意看清相同字母对应的指数，本题属于基础题型．3.将函数的图像向下平移两个单位，以下说法错误的是（）A.开口方向不变B.对称轴不变A.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【解答】解：将二次函数图像向下平移，不改变开口方向，故A对；将二次函数图像向下平移，不改变对称轴，故B对；将二次函数图像向下平移，不改变增减性，故C对；抛物线与y轴交点坐标为（0,c），将二次函数图像向下平移,c变小了，交点坐标改变，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键．4.商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（）A.2kg/包B.3kg/包C.4kg/包D.5kg/包 【考点】频数（率）分布直方图．【解答】解：由频数分布直方图可知，选择1.5—2.5kg/包的人数最多，对比四个选项只有2kg/包在此范围，故选：A．【点评】本题主要考查频数分布直方图．5.如图，已知，，E为AB中点，则=（）A.B.C.D.【考点】平行四边形的性质，平面向量．【解答】解：，故∴=,故选：A．【点评】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．6.如图长方形ABCD中，AB=4,AD=3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（）A.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内D.点C在圆A内，点D在圆A外【考点】点与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，勾股定理．【解答】解：两圆外切，圆心距等于半径之差的绝对值，设圆A的半径为R，则：AB=R-1,解出R=5，即圆A的半径等于5，∵AB=4,BC=AD=3，由勾股定理可知AC=5∴AC=5=R，AD=3＜R，∴点C在圆上，点D在圆内故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】7.计算：.【考点】单项式除单项式．【解答】解：，故答案为【点评】本题考查了单项式与单项式相除，熟练掌握运算法则是解题的关键。 8.已知,那么.【考点】函数值【解答】解：当x=，故答案为【点评】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键．9.已知,则x=.【考点】无理方程【解答】解：，两边同时平方，得：X+4=9,解出：x=5经检验，x＝5是方程的根；故答案为x＝5．【点评】本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．10.不等式2x-12＜0的解集是.【考点】解一元一次不等式【解答】解：2x-12＜0，移项得：2x＜12，解出：x＜6，故答案为x＜6【点评】本题考查的是一元一次不等式的解法．11.70°的余角是°.【考点】余角【解答】解： 两角度数之和为90°，就说明这两个角互为余角。90°－70°=20°，故答案为20°【点评】如果两个角的和是直角(90°)，那么称这两个角"互为余角"，简称"互余"，也可以说其中一个角是另一个角的余角。掌握余角的概念是解决本题的关键。 12.若一元二次方程无解,则c的取值范围为.【考点】根的判别式【解答】解：由题意，一元二次方程无解，则判别式△=＜0，即：，解出：c＞，故答案为：c＞【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根（3）△＜0⇔方程没有实数根．根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．13.已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为.【考点】概率公式，偶数【解答】解：在9个数据中，偶数有2、8、34共三个，所以得到偶数的概率为，故答案为【点评】此题考查了概率公式的应用与偶数的定义．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．14.已知函数 的图像经过二、四象限，且不经过(-1,1)，请写出一个符合条件的函数解析式.【考点】正比例函数的性质；正比例函数图象上点的坐标特征【解答】解：∵函数的图像经过二、四象限∴k＜0，又∵图像不经过(-1,1)∴k≠-1∴k＜0且k≠-1故可写y=-2x（其他答案也可，要k＜0且k≠-1）【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“k＞0，图像经过一、三象限；k＜0，图像经过二、四象限”是解题的关键．13.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已经卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，挣得元.【考点】一次函数图像及其应用【解答】解：设苹果数量y与售价x之间的函数关系为y=kx+b(k≠0)，由图像可知：，解出，所以y=-600x+7000，当x=8时，y=7000-4800=2200kg∴挣得的钱为：2200千克×（8-5）元/千克=6600元故答案为6600【点评】本题考察一次函数图像及其应用，根据图像列出方程解出一次函数表达式是解题的关键。14.如图所示,已知在梯形ABCD中，AD∥BC，,则.【考点】梯形，三角形面积比，“8”字型相似，比例的性质【解答】解：∵AD∥BC∴由“同底或等高”可知：，由比例的性质可知∴【点评】本题考察了相似的基本模型，“同底或等高”型三角形面积比的计算方法，灵活运用平行成比例，比例的性质是解题的关键。15.六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为1,则中间正六边形的面积为.【考点】正多边形，直角三角形的性质 【解答】解：由对称性及直角三角形的性质，可知：中间小正六边形的边长为1，根据正六边形的面积公式可得：S=6×=，故答案为【点评】灵活运用直角三角形的性质以及正多边形的对称性求面积是解题的关键。18.定义:平面上一点到图形的最短距离为d,如图,OP=2,正方形ABCD的边长为2,O为正方形中心,当正方形ABCD绕O旋转时,d的取值范围是.【考点】新定义，旋转【解答】解：如图2，设AD的中点为E，那么点O与正方形上所有点的连线中，OE最短，等于1,OA最大，等于；∵OP=2为定值∴当OP经过点E时，d最大为1；当OP经过点A时，d最小为2－故答案为：2－≤d≤1【点评】本题属于新定义，新定义的题在上海中考属常考题，理解题意是关键。三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算：【考点】实数的运算；分数指数幂【解答】解：【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20.解方程组：【考点】解二元二次方程组【解答】解：由②可得：（x+2y）(x-2y)=0,即：x+2y=0③或x-2y=0④联立③可得：；联立④可得：故原方程组的解为： 或【点评】本题考察了二元二次方程组的解法，利用因式分解进行变形化简是解题关键。21.如图，已知在△ABD中，AC⊥BD，BC=8，CD=4，，BF为AD边上的中线.G(1)求AC的长;(2)求tan∠FBD的值.【考点】解直角三角形，中位线，勾股定理【解答】解：（1），BC=8∴AB=8×=10，由勾股定理得：AC=6（2）过F作FG⊥CD于G点，AC=6,CD=4，由勾股定理得：AD=2∵BF为AD边上的中线∴F为AD中点∵FG⊥BD，AC⊥BD∴FG∥AC，FG为△ACD的中位线∴G为CD中点∴BG=BC+CG=8-2=10,FG==3∴tan∠FBD==【点评】此题考查了解直角三角形，中位线线的性质，熟练掌握勾股定理和锐角三角比是解本题的关键．22.现在5G手机非常流行,某公司第一季度总共生产80万部5G手机,三个月的生产情况如下图.（1）求3月份生产了多少部手机?（2）5G手机速度很快,比4G下载速度每秒多95MB,下载一部1000MB的电影,5G比4G要快190秒,求5G手机的下载速度.【考点】扇形统计图，代数方程的应用【解答】解：（1）由扇形统计图可知：3月份生产的手机占整个第一季度的百分比为：1-30%-25%=45%故3月份生产手机：80×45%=36（万部）答：3月份生产了36万部手机。（2）设5G手机的下载速度为x(MB/秒)，则4G手机的下载速度为x-95(MB/秒),由题意可得：解出：x=100或x=-5(舍)经检验：x=100是方程的根，所以x=100(MB/秒)答：5G手机的下载速度为100(MB/秒)【点评】此题考查了扇形统计图，分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，解分式方程注意要检验． ABMNOG23.已知：在圆O内,弦AD与弦BC相交于点G,AD=CB，M、N分别是CB和AD的中点，联结MN、OG.（1）证明:OG⊥MN;（2）联结AB、AM、BN，若BN∥OG，证明：四边形ABNM为矩形。【考点】圆，矩形的判定【解答】解：（1）联结OM,ON∵在圆O中，弦AD=CB，M、N分别是CB和AD的中点∴OM=ON,OM⊥BC,ON⊥AD,∵GO为公共边∴Rt△MOG≌Rt△NOG∴GM=GN∴点O和点G都在线段MN的垂直平分线上∴OG⊥MN（2）∵AD=CB，M、N分别是CB和AD的中点∴AN=BM,∵GM=GN∴AG=BG∵BN∥OG，OG⊥MN∴BN⊥MN∵在Rt△BMN中，MG=GN∴∠BMN=∠GNM，∵∠GNM+∠GNB=90°，∠BMN+∠GNM+∠GNB+∠MBN=180°∴∠GNB=∠MBN∴MG=GN=GB∴AG=GN=MG=BG∴四边形ABNM为矩形【点评】本题考查了圆的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直平分线的性质，矩形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．24.已知抛物线经过点P(3,0)、Q(1,4).(1)求抛物线的解析式；(2)若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC，①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标.【考点】二次函数综合题【解答】解：（1）将P(3,0)、Q(1,4)两点分别带入，得，解出：，故抛物线的解析式是（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当Q与A重合时，AB=4，作CH⊥AB于H，∵△ABC是等腰直角三角形∴CH=AH=BH=2 ∴C到抛物线对称轴的距离为1②如图3，由P(3,0)、Q(1,4)得到直线PQ的解析式为y=-2x+6设A（m,-2m+6）,则AB=|-2m+6|,∴CH=AH=BH=|-m+3|当m＜3时，=2m-3,=-m+3,将点C（2m-3,-m+3）代入中，解出：m=或m=3（与点B重合，舍）此时：=-2，=，故：C（-2，）当m＞3时，同理得到C（3,0），此时A（3,0）与P重合，不合题意，舍去综上可知：C点的坐标是（-2，）【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．25.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E.(1)当点E在边CD上，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值;(2)若DE=2，OE=3，求CD的长.【考点】相似形综合题【解答】解：（1）①如图2，∵AC=CD∴∠1=∠2∵AC∥BC∴∠1=∠3∵BO是Rt△ABC的斜边AC上的中线∴OB=OC∴∠3=∠4∴∠1=∠2=∠3=∠4∴△DAC∽△OBC②如图3，若BE⊥CD，那么在Rt△BCE中，由∠2=∠3=∠4可得：∠2=∠3=∠4=30°，如图4，作DH⊥BC于H，设AD=CD=2m，那么BH=AD=2m,在Rt△DCH中，∠DCH=60°，CD=2m，所以CH=m，BC=BH+CH=3m∴ （1）①如图5，当点E在边AD上时，∵AD∥BC，O是AC中点∴OB=OE，∴四边形ABCE是平行四边形∵∠ABC=90°∴四边形ABCE是矩形设AD=CD=X，因为DE=2,所以AE=x-2，因为OE=3，所以AC=6在Rt△ACE和Rt△DCE中，由勾股定理可得：解出：x=1+或x=1-（舍去负值）②如图6，当点E在边CD上时，设AD=CD=X，因为DE=2,所以CE=x-2，设OB=OC=m，因为OE=3，所以EB=m+3∵△DAC∽△OBC∴∴∴∵∠2=∠4，∠BEC是公共角∴△EOC∽△ECB∴∴等量代换得：，消去m，得：解得：x=3+或x=3-（舍去负值）【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．