2021年初中毕业生学业考试数学试卷浙江省中考数学真题一、单选题1．实数的倒数是（）A．2B．C．D．2．计算：的结果是（）A．B．C．D．3．如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．4．一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率是（）A．B．C．D．5．若，两边都除以，得（）A．B．C．D．6．用配方法解方程时，配方结果正确的是（）A．B．C．D．7．如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（） A．B．C．D．8．四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是(−1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A．将B向左平移4.5个单位B．将C向左平移4个单位C．将D向左平移5.5个单位D．将C向左平移3.5个单位9．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（）A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学10．如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（）A．B．C．D．二、填空题11．分解因式：_____． 12．要使式子有意义，则x可取的一个数是__________．13．根据第七次全国人口普查，华东六省60岁及以上人口占比情况如图所示，这六省60岁及以上人口占比的中位数是__________．14．一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．15．小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是__________．16．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数同时满足，求代数式的值．结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当时，a的值是__________．（2）当时，代数式的值是__________． 三、解答题17．计算：．18．解方程组：．19．在创建“浙江省健康促进学校”的过程中，某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图信息解答下列问题：抽取的学生视力情况统计表类别检查结果人数A正常88B轻度近视______C中度近视59D重度近视______（1）求所抽取的学生总人数；（2）该校共有学生约1800人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数；（3）请结合上述统计数据，为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议．20．如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请按要求画图． （1）如图1，画出一条线段，使在格点上；（2）如图2，画出一条线段，使互相平分，均在格点上；（3）如图3，以为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．21．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：（1）直接写出工厂离目的地的路程；（2）求s关于t的函数表达式；（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？22．如图，在中，，以为直径的半圆O交于点D，过点D作半圆O的切线，交于点E．（1）求证：； （2）若，求的长．23．如图，已知抛物线经过点．（1）求的值；（2）连结，交抛物线L的对称轴于点M．①求点M的坐标；②将抛物线L向左平移个单位得到抛物线．过点M作轴，交抛物线于点N．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若，求m的值．24．如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F．（1）当时，①求证：；②连结，若，求的值；（2）当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形． 参考答案1．D【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．【详解】解：实数-2的倒数是．故选：D．【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握倒数的定义是解题关键．2．B【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可．【详解】解：原式．故选B．【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．3．B【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从正面看下面一层是三个正方形，上面一层中间是一个正方形．即：故选：B．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．C【分析】 先求出所有球数的总和，再用红球的数量除以球的总数即为摸到红球的概率．【详解】解：任意摸一个球，共有8种结果，任意摸出一个球是红球的有3种结果，因而从中任意摸出一个球是红球的概率是．故选：C．【点睛】本题考查了等可能事件的概率，关键注意所有可能的结果是可数的，并且每种结果出现的可能性相同．5．A【分析】利用不等式的性质即可解决问题．【详解】解：，两边都除以，得，故选：A．【点睛】本题考查了解简单不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．6．D【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．【详解】解：，，， ，故选：D．【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．7．B【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．【详解】解：∵是的直径，弦于点E，∴在中，，∴∴，故选项A错误，不符合题意；又∴∴，故选项B正确，符合题意；又∴∵∴，故选项C错误，不符合题意；∵，∴，故选项D错误，不符合题意；故选B．【点睛】 本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．8．C【分析】直接利用利用关于y轴对称点的性质得出答案．【详解】解：∵点A(−1，b)关于y轴对称点为B(1，b)，C(2，b)关于y轴对称点为(-2，b)，需要将点D(3.5，b)向左平移3.5+2=5.5个单位，故选：C．【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．9．B【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，根据题意，∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原理是解答的关键．10．D【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长．【详解】 解：∵，∴=5，由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，∵平分，∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，∵∠DAE+∠B=90°，∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，∴Rt△ABC∽Rt△FBD，∴即，解得：AD=，故选：D．【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．11．【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.【详解】，故填【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.12．如4等（答案不唯一，）【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．【详解】解：∵式子有意义，∴x﹣3≥0， ∴x≥3，∴x可取x≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，．【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．13．【分析】由图，将六省60岁及以上人口占比由小到大排列好，共有6个数，所以中位数等于中间两个数之和除以二．【详解】解：由图，将六省人口占比由小到大排列为：，由中位数的定义得：人口占比的中位数为，故答案为：．【点睛】本题考查了求解中位数，解题的关键是：将数由小到大排列，根据数的个数分为两类．当个数为奇数时，中位数等于最中间的数；当个数为偶数个时，中位数等于中间两个数之和除以2．14．6或7【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．【详解】解：由多边形内角和，可得（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多边形为6边形，∵过顶点剪去一个角，∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．【点睛】 本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．15．【分析】先根据图1求EQ与CD之间的距离，再求出BQ，即可得到之间的距离=EQ与CD之间的距离+BQ．【详解】解：过点E作EQ⊥BM，则根据图1图形EQ与CD之间的距离=由勾股定理得：，解得：；，解得：∵∴∵EQ⊥BM，∴∴∴之间的距离=EQ与CD之间的距离+BQ 故答案为．【点睛】本题考查了平行线间的距离、勾股定理、平行线所分得线段对应成比例相关知识点，能利用数形结合法找到需要的数据是解答此题的关键．16．或17【分析】（1）将代入解方程求出，的值，再代入进行验证即可；（2）当时，求出，再把通分变形，最后进行整体代入求值即可．【详解】解：已知，实数，同时满足①，②，①-②得，∴∴或①+②得，（1）当时，将代入得，解得，，∴，把代入得，3=3，成立；把代入得，0=0，成立；∴当时，a的值是1或-2故答案为：1或-2；（2）当时，则，即 ∵∴∴∴∴故答案为：7．【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．17．2020【分析】先计算绝对值、零指数幂和算术平方根，最后计算加减即可；【详解】解：，．【点睛】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序及相关运算法则．18．【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可．【详解】解：，把①代入②，得，解得． 把代入①，得．∴原方程组的解是．【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．19．（1）200人；（2）810人；（3）答案不唯一，见解析【分析】（1）根据检查结果正常的人数除以所占百分比即可求出抽查的总人数；（2）首先求出近视程度为中度和重度的人数所占样本问题的百分比，再依据样本估计总体求解即可；（3）可以从不同角度分析后提出建议即可．【详解】解：（1）（人）．∴所抽取的学生总人数为200人．（2）（人）．∴该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数有810人．（3）本题可有下面两个不同层次的回答，A层次：没有结合图表数据直接提出建议，如：加强科学用眼知识的宣传．B层次：利用图表中的数据提出合理化建议．如：该校学生近视程度为中度及以上占比为，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校要加强电子产品进校园及使用的管控．【点睛】本题考查了频率分布表及用样本估计总体的知识，本题渗透了统计图、样本估计总体的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息．20．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据“矩形对角线相等”画出图形即可；（2）根据“平行四边形对角线互相平分”，找出以AB对角线的平行四边形即可画出另一条对角线EF； （3）画出平行四边形ABPQ即可．【详解】解：（1）如图1，线段AC即为所作；（2）如图2，线段EF即为所作；（3）四边形ABPQ为所作；【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的性质以及平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．（1）工厂离目的地的路程为880千米；（2）；（3）．【分析】（1）根据图象直接得出结论即可；（2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可；再求出油量为（3）分别求出余油量为10升和0升时行驶的路程，根据函数表达式求出此时的t值，即可求得t的范围．【详解】解：（1）由图象，得时，，答：工厂离目的地的路程为880千米．（2）设，将和分别代入表达式，得，解得，∴s关于t的函数表达式为． （3）当油箱中剩余油量为10升时，（千米），，解得（小时）．当油箱中剩余油量为0升时，（千米），，解得（小时）．随t的增大而减小，的取值范围是．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答的关键是理解题意，能从函数图象上提取有效信息解决问题．22．（1）见解析；（2）【分析】（1）连结，利用圆的切线性质，间接证明：，再根据条件中：且，即能证明：；（2）由（1）可以证明：为直角三角形，由勾股定求出的长，求出，可得到的度数，从而说明为等边三角形，再根据边之间的关系及弦长所对应的圆周角及圆心角之间的关系，求出，半径,最后根据弧长公式即可求解．【详解】解：（1）证明：如图，连结． 与相切，．是圆的直径，．．．．．（2）由（1）可知，，，，，是等边三角形．,，．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、解直角三角形、勾股定理、圆心角和圆周角之间的关系、弧长公式等知识点，解本题第二问的关键是：熟练掌握等边三角形判定与性质.23．（1）；（2）①；②1或．【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）①求出直线AB的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线的表达式，再分三种情况进行求解即可．【详解】解：（1）把点的坐标分别代入， 得．解得的值分别为．（2）①设所在直线的函数表达式为，把的坐标分别代入表达式，得解得所在直线的函数表达式为．由（1）得，抛物线L的对称轴是直线，当时，．∴点M的坐标是．②设抛物线的表达式是，轴，点N的坐标是．∵点P的横坐标为∴点P的坐标是，设交抛物线于另一点Q，∵抛物线的对称轴是直线轴，∴根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是． （i）如图1，当点N在点M下方，即时，，，由平移性质得，∴∴，解得（舍去），．（ii）图2，当点N在点M上方，点Q在点P右侧，即时，，，解得（舍去），（舍去）．（ⅲ）如图3，当点N在点M上方，点Q在点P左侧，即时，，，解得（舍去），．综上所述，m的值是1或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键． 24．（1）①见解析；②；（2）当或2或时，是等腰三角形．【分析】（1）根据菱形的性质得到边相等，对角相等，根据已知条件证明出，得到，由，，得到AC是EF的垂直平分线，得到，，再根据已知条件证明出，算出面积之比；（2）等腰三角形的存在性问题，分为三种情况：当时，，得到CE=；当时，，得到CE=2；当时，，得到CE=．【详解】（1）①证明：在菱形中，，，，，∴（ASA），∴．②解：如图1，连结．由①知，，．在菱形中，，∴，设，则．，∴，∴， ∴．（2）解：在菱形中，，，，同理，，∴．是等腰三角形有三种情况：①如图2，当时，，，，，．②如图3，当时，，，， ∴．③如图4，当时，，，，．综上所述，当或2或时，是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、相似三角形的判定与性质、菱形中等腰三角形的存在性问题，解决本题的关键在于画出三种情况的等腰三角形（利用两圆一中垂），通过证明三角形相似，利用相似比求出所需线段的长．