2021年初中毕业生学业考试数学试卷浙江省中考数学真题一、单选题1．实数的绝对值是（）A．B．2C．D．2．化简的正确结果是（）A．4B．C．D．3．不等式的解集是（）A．B．C．D．4．下列事件中，属于不可能事件的是（）．A．经过红绿灯路口，遇到绿灯B．射击运动员射击一次，命中靶心C．班里的两名同学，他们的生日是同一天D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球5．将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（）A．B．C．D．6．如图，已知点是的外心，∠，连结，，则的度数是（）． A．B．C．D．7．已知是两个连续整数，，则分别是（）A．B．，0C．0，1D．1，28．如图，已知在中，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点；②过点作直线，分别交，于点；③连结．则下列结论错误的是（）A．B．C．D．9．如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（）A．B．C．D．10．已知抛物线与轴的交点为和，点 ，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题11．计算：_____．12．如图，已知在中，，则的值是______．13．某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同．若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是_____．14．为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是_______度．15．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是____． 16．由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______．三、解答题17．计算：．18．解分式方程：．19．如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．（1）求的值和抛物线顶点的坐标；（2）求直线的解析式．20．为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：．党史宣讲；．歌曲演唱；．校刊编撰；．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了如下统计图表（不完整）．各组参加人数情况统计表：小组类别人数（人）10155各组参加人数情况的扇形统计图： 根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求和的值；（2）求扇形统计图中所对应的圆心角度数；（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如表所示：小组类别平均用时（小时）2.5323求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．21．如图，已知是⊙的直径，是所对的圆周角，．（1）求的度数；（2）过点作，垂足为，的延长线交⊙于点．若，求的长．22．今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点和门票价格100元/人80元/人160元/人 据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？23．已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结．（1）如图1，若，求的长．（2）过点作，交延长线于点，如图2所示．若，求证：．（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．24．已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．（1）如图1，过点作轴于点，连结．①若，求证：四边形是平行四边形； ②连结，若，求的面积．（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由． 参考答案1．B【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．【详解】解：实数-2的绝对值是2，故选：B．【点睛】本题考查了实数的性质，负数的绝对值是它的相反数，非负数的绝对值是它本身．2．C【分析】利用直接化简即可得到答案．【详解】解：故选：【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握积的算术平方根的含义是解题的关键．3．A【分析】直接移项、合并同类项、不等号两边同时除以3即可求解．【详解】解：，移项、合并同类项得：，不等号两边同时除以3，得：，故选：A．【点睛】本题考查解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解题的关键．4．D【分析】 结合题意，根据不可能事件的定义分析，即可得到答案．【详解】经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件∴选项A错误；射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件∴选项B错误；班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件∴选项C错误；从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件∴选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查了随机事件的知识；解题的关键是熟练掌握不可能事件的性质，从而完成求解．5．A【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可．【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；B、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；C、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键．6．C【分析】结合题意，根据三角形外接圆的性质，作；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．【详解】的外接圆如下图 ∵∠∴故选：C．【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解．7．C【分析】先确定的范围，再利用不等式的性质确定的范围即可得到答案．【详解】解：故选：【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握利用算术平方根的含义估算无理数是解题的关键．8．D【分析】首先根据题意可知道MN为线段BC的中垂线，然后结合中垂线与中线的性质逐项分析即可．【详解】由题意可知，MN为线段BC的中垂线，∵O为中垂线MN上一点， ∴OB=OC，故A正确；∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵MN⊥BC，∴∠ODB=∠ODC，∴∠BOD=∠COD，故B正确；∵D为BC边的中点，BE为AC边上的中线，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，故C正确；由题意可知DB=DC，假设DB=DE成立，则DB=DE=DC，∠BEC=90°，而题干中只给出BE是中线，无法保证BE一定与AC垂直，∴DB不一定与DE相等，故D错误；故选：D．【点睛】本题考查三角形中几种重要线段的理解，熟练掌握基本定义，以及性质定理是解题关键．9．B【分析】先判断出点Q在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，找到当点P与点A重合时，点P与点D重合时，点C1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．【详解】解：设BP与CC1相交于Q，则∠BQC=90°， ∴当点P在线段AD运动时，点Q在以BC为直径的圆弧上运动，延长CB到E，使BE=BC，连接EC，∵C、C1关于PB对称，∴∠EC1C=∠BQC=90°，∴点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，当点P与点A重合时，点C1与点E重合，当点P与点D重合时，点C1与点F重合，此时，，∴∠PBC=30°，∴∠FBP=∠PBC=30°，CQ=，BQ=，∴∠FBE=180°-30°-30°=120°，，线段扫过的区域的面积是．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键．10．A【分析】通过和的不等关系，确定， 在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解．【详解】解：∵抛物线与轴的交点为和，∴该抛物线对称轴为，当时与当时无法确定，在抛物线上的相对位置，故①和②都不正确；当时，比离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，∴，∴，故③正确；当时，即在x轴上到2的距离比到的距离大，且都大于1，可知在x轴上到2的距离大于1，到2的距离不能确定，所以无法比较与谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．11．1【分析】根据负整指数幂的意义，可得答案．【详解】解：，故答案为：1．【点睛】本题考查了负整指数幂，熟知负整数指数为正整数指数的倒数是解题的关键．12．【分析】 在直角三角形中，锐角的正弦=锐角的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键．13．【分析】用一等奖、二等奖的数量除以奖券的总个数即可．【详解】解：∵有1000张奖券，设一等奖5个，二等奖15个，∴一张奖券中奖概率为，故只抽1张奖券恰好中奖的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．14．36【分析】根据题意，得五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且；根据多边形内角和性质，得正五边形内角和，从而得；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】∵正五角星（是正五边形的五个顶点）∴五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且 ∴正五边形内角和为：∴∴∵∴∴故答案为：36．【点睛】本题考查了正多边形、多边形内角和、补角、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、多边形内角和、等腰三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．15．2或【分析】分，和确定点M的运动范围，结合抛物线的对称轴与，，共有三个不同的交点，确定对称轴的位置即可得出结论．【详解】解：由题意得：O（0,0），A（3，4）∵为直角三角形，则有：①当时，∴点M在与OA垂直的直线上运动（不含点O）；如图， ②当时，，∴点M在与OA垂直的直线上运动（不含点A）；③当时，，∴点M在与OA为直径的圆上运动，圆心为点P，∴点P为OA的中点，∴∴半径r=∵抛物线的对称轴与x轴垂直由题意得，抛物线的对称轴与，，共有三个不同的交点，∴抛物线的对称轴为的两条切线，而点P到切线，的距离，又∴直线的解析式为：；直线的解析式为：；∴或4∴或-8故答案为：2或-8 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有圆的切线的判定，直角三角形的判定，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论是解题的关键．16．【分析】根据裁剪和拼接的线段关系可知，，在中应用勾股定理即可求解．【详解】解：∵地毯平均分成了3份，∴每一份的边长为，∴，在中，根据勾股定理可得，根据裁剪可知，∴，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键．17．【分析】利用单项式乘多项式、平方差公式直接求解即可． 【详解】解：原式．【点睛】本题考查整式的乘法，掌握单项式乘多项式法则和平方差公式是解题的关键．18．【分析】先将分式方程化成整式方程，然后求解，最后检验即可．【详解】解：．．经检验，是原方程的解．【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，将将分式方程化成整式方程是解题的关键，检验是解答本题的易错点．19．（1），M(1，-2)；（2）【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．【详解】解（1）∵抛物线过点A(2，0)，，解得，，,∴顶点M的坐标是(1，-2)；（2）设直线AM的解析式为， ∵图象过A(2，0)，M(1，-2)，，解得，∴直线AM的解析式为．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．20．（1）20，20；（2）；（3）2.6小时．【分析】（1）根据公式整体=部分数量所占整体的百分比求出总人数，再根据部分数量=整体数量所占整体的百分比求出a的值，所占整体的百分比=部分数量整体数量，求出m即可；（2）根据圆心角度数=该项所占百分比360︒计算即可；（3）根据平均数的公式求解．【详解】解：（1）由题意可知四个小组所有成员总人数是：（人）．∴，，∴．（2）∵，∴扇形统计图中所对应的圆心角度数是．（3）（小时），∴这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是2.6小时．【点睛】本题考查了扇形统计图和表格的综合应用，关键在于求总人数、某项所占的百分比、某项的人数、某项所占圆心角度数以及加权平均数公式的应用．21．（1）；（2）【分析】（1）连结，根据圆周角性质，得 ；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含角的直角三角形性质，得；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结，是的直径，，（2），，∴，，且是直径．【点睛】本题考查了圆、含角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．22．（1）20%；（2）①798万元，②当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6万元【分析】 （1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为，则四月份的游客为人，五月份的游客为人，再列方程，解方程可得答案；（2）①分别计算购买甲，乙，丙种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案；②设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收人为万元，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案．【详解】解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得解这个方程，得（舍去）答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%．（2）①由题意，丙种门票价格下降10元，得：购买丙种门票的人数增加：（万人），购买甲种门票的人数为：（万人），购买乙种门票的人数为：（万人），所以：门票收入问；（万元）答：景区六月份的门票总收入为798万元．②设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收人为万元，由题意，得化简，得，，∴当时，取最大值，为817.6万元．答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6万元．【点睛】 本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，掌握利用二次函数的性质求解利润的最大值是解题的关键．23．（1）；（2）见解析；（3）存在，【分析】（1）先解直角三角形ABC得出，从而得出是等边三角形，再解直角三角形ACP即可求出AC的长，进而得出BC的长；（2）连结，先利用AAS证出，得出AE=2PE，AC=DE，再得出是等边三角形，然后由SAS得出，得出AE=BC即可得出结论；（3）过点作，交延长线于点，连接BE，过C作CG⊥AB于G，过E作EN⊥AB于N，由（2）得AE=2AP，DE=AC，再证明，从而得出得出DE=BE，然后利用勾股定理即可得出m的值．【详解】（1）解，，，，是等边三角形，是的中点，，在中，，，．（2）证明：连结，，，， ，，，，又，，是等边三角形，，，又，，，．（3）存在这样的．过点作，交延长线于点，连接BE，过C作CG⊥AB于G，过E作EN⊥AB于N，则，，由（2）得AE=2AP，DE=AC，∴CG=EN，∵，∴AE=BC，∵∠ANE=∠BGC=90°，， ∴∠EAN=∠CBG∵AE=BC，AB=BA，∴∴AC=BE，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD=45°，∴∠DEB=90°，∴，∵∴【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是合理添加辅助线，有一定的难度．24．（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析【分析】（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；②证明，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解；（2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）①证明：设点的坐标为，则当时，点的坐标为， ，轴，，∴四边形是平行四边形；②解：过点作轴于点，轴，，，，∴当时，则，即．；（2）解不改变．理由如下：过点作轴于点与轴交于点，设点的坐标为，点的坐标为，则，OH=b，由题意，可知四边形是平行四边形，∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°， ∴，，即，∴，，解得，异号，，，．∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．