高中文科数学高三模拟测试练习题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量与向量，则向量与的夹角是（B）A．B．C．D．提示：，．2．若，则下列不等式中不一定成立的是（B）A．B．C．D．∣∣>提示：B中，，而时不一定成立．3．一篮球运动员投篮命中的概率是，他连续投篮次，则恰有次命中的概率是（A）A．B．C．D．提示：．4．已知集合，，则（D）A．B．C．D．提示：，，． 5．设，，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（A）A．B．C．∪D．∪提示：由得：，由得：，又是的必要而不充分条件，所以且，．6．函数是（B）A．周期为的偶函数B．周期为的非奇非偶函数C．周期为的偶函数D．周期为的非奇非偶函数提示：，定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数又不是偶函数，又函数的周期为，去掉的点的周期为，所以函数的周期为，故选B．7．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数，都有，若数列的前项和为，且满足，则（C）A．B．C．D．提示：①，当时，，当时，②，由①②得：，， ．8．已知函数在区间上的最小值是，则的取值范围为（C）A．B．C．D．提示：若，则，由图象知：或，所以或，即；若，同理可得：，故选C．9．已知函数，其中，则使得在上有解的概率为（A）A．B．C．D．提示：任取的值有种情况，而由图象可知当，时不满足条件，当，时满足条件，所以概率为．10．设双曲线的右顶点为，为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线分别交于两点，其中为坐标原点，则与的大小关系为（C）A．B．C．D．不确定 提示：取特殊点，则直线的方程为，又直线的方程为，直线的方程为，解得的坐标为，，易得．（若设任意点也可得此结果）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．0.03750.0125505560657075体重11．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是　　　　．提示：由图可知前组的频率为，所以第组的频率为，学生人数为．12．如图，在中，是上任意一点，为 ABCHM的中点，若，则．提示：三点共线，，且，又，．13．将抛物线按向量平移后所得抛物线的焦点坐标为．提示：抛物线按平移后得抛物线的方程为：，所以其焦点坐标为．14．若等差数列的前项和为，且，，则．提示：由，，，所以．15．给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①的定义域是，值域是；②点是的图像的对称中心；③函数的最小正周期为1；④函数在上是增函数；则其中真命题是__①③． 提示：依题意知，画图可知①③正确．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步16．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知等比数列中，，分别为的三内角的对边，且．（1）求数列的公比；（2）设集合，且，求数列的通项公式．解：（1）依题意知：，由余弦定理得：，．．．．．．3分而，代入上式得或，又在三角形中，或；．．．．．．6分（2），即且，．．．．．．9分又，所以，或．．．．．．．12分17．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知为坐标原点，向量，点是直线上的一点，且点分有向线段的比为．（1）记函数，，讨论函数的单调性；（2）若三点共线，求的值．解：依题意知：，设点的坐标为，则：，所以，点的坐标为．．．．．．．4分（1），．．．．．．6分由可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为；．．．．．．8分（2）由三点共线的，．．．．．．10分，．．．．．．．12分18.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）若关于的实系数方程有两个根，一个根在区间内，另一根在区间内，记点对应的区域为．（1）设，求的取值范围； （2）过点的一束光线，射到轴被反射后经过区域，求反射光线所在直线经过区域内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线的方程．解：方程的两根在区间和上的几何意义是：函数与轴的两个交点的横坐标分别在区间和abA(-4,3)BCO内，由此可得不等式组，即，则在坐标平面内，点对应的区域如图阴影部分所示，易得图中三点的坐标分别为，．．．．．．4分（1）令，则直线经过点时取得最小值，经过点时取得最大值，即，又三点的值没有取到，所以；．．．．．．8分（2）过点的光线经轴反射后的光线必过点，由图可知可能满足条件的整点为，再结合不等式知点符合条件，所以此时直线方程为：，即．．．．．．．12分19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数的反函数为，定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”．（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）若，其中满足“2和性质”，则是否存在实数a，使得对任意的恒成立？若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由．解：（1）函数的反函数是，，，而，其反函数为，故函数不满足“1和性质”；．．．．．．4分（2）设函数满足“2和性质”，，而，得反函数由“2和性质”定义可知=对恒成立，即函数，，在上递减，．．．．．．8分所以假设存在实数满足，即对任意的恒成立，它等价于在上恒成立.，，易得.而知所以.综合以上有当使得 对任意的恒成立．．．．．．．12分20．（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效）已知曲线，从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，试比较与的大小；解：（1）依题意点的坐标为，，，．．．．．．2分；．．．．．．6分（2），由，，，．．．．．．9分当时，；．．．．．．13分21．（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）已知椭圆的左、右焦点分别为， 若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于．F2TOPyx（1）证明：椭圆上的点到的最短距离为；（2）求椭圆的离心率的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为，圆与轴的右交点为，过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线被圆截得的弦长的最大值．解：（1）设椭圆上任一点的坐标为，点到右准线的距离为，则由椭圆的第二定义知：，，又，当时，F2TOPyx；．．．．．．4分（2）依题意设切线长∴当且仅当取得最小值时取得最小值，，，．．．．．．6分从而解得，故离心率的取值范围是；．．．．．．8分 （3）依题意点的坐标为，则直线的方程为，联立方程组得，设，则有，，代入直线方程得，，又，，．．．．．．11分，直线的方程为，圆心到直线的距离，由图象可知，，，，所以．．．．．．．14分