柯西不等式可以简单地记做:平方和的积
积的和的平方。它是对两列数不等式。取等号的条件是两列数对应成比例。
如:两列数
0,1
2,3
(0^2
1^2)
(2^2
3^2)
26
(0*2
1*3)^2
9.
形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数,这个辅助函数是二次函数,于是用二次函数取值条件就得到cauchy不等式。
还有一种形式比较麻烦的,但确实很容易想到的证法,就是完全把cauchy不等式右边-左边的式子展开,化成一组平方和的形式。
我这里只给出前一种证法。
cauchy不等式的形式化写法就是:记两列数分别是ai,
bi,则有
(∑ai^2)
(∑bi^2)
(∑ai
bi)^2.
我们令
f(x)
∑(ai
bi)^2
(∑bi^2)
x^2
(∑ai
bi)
(∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x)
0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有
(∑ai
bi)^2
(∑ai^2)
(∑bi^2)
0.
于是移项得到结论。
学了更多的数学以后就知道,这个不等式可以推广到一般的内积空间中,那时证明的书写会更简洁一些。我们现在的证明只是其中的一个特例罢了。
其实,高中只要记住二维的就够了。
不等式解法
1、不等式的基本性质(8 条) 2、一元二次不等式的解法(注意讨论) 求一元二次不等式ax 2 + bx + c > 0(或 <0)
6、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解 法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段 中取交集,最后取各段的并集.7、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 ⑴
(a ≠ 0, �6�2 = b �6�1 4 ac> 0) 解集的步骤:
�9�6 f ( x) ≥ 0 f ( x) > a(a > 0) �6�2 �9�7 2 �9�8 f ( x)> a �9�6 f ( x) ≥ 0
基本不等式公式:
1、加减不等式:若ab,则a+c>b+c。
2、乘法不等式:若a,b,c>0(或c<0),则ac
若a0(或c>0),则ac>bc(或ac 3、平方不等式:若a是任意实数,则有a^2≥0; 对于任意实数a和b,有(a+b)^2≥0,即a^2+2ab+b^2≥0; 对于任意实数a和正实数b,有a^2+b^2≥2ab,即(a-b)^2≥0。 4、倒数不等式:若a,b,c都是正实数,则有1/a1/b,若a>b>0,则1/a<1/b<1/c。 5、绝对值不等式:对于任意实数a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,即两实数的绝对值之和不大于它们的各自绝对值之和。 这些基本公式是解决不等式问题的基础。在实际应用中,可以根据不同情况和需要,灵活应用这些公式。 四个基本不等式公式如下: 四个基本不等式公式: 1、a²+b²≥2ab。(当且仅当a=b时,等号成立) 2、√(ab)≤(a+b)/2。(当且仅当a=b时,等号成立) 3、a+b≥2√(ab)。(当且仅当a=b时,等号成立) 4、 ab≤[(a+b)/2]²。(当且仅当a=b时,等号成立)。 基本不等式的定义: 基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。 基本不等式的运用技巧:基本不等式所有公式
柯西不等式可以简单地记做:平方和的积
积的和的平方。它是对两列数不等式。取等号的条件是两列数对应成比例。
如:两列数
0,1
2,3
(0^2
1^2)
(2^2
3^2)
26
(0*2
1*3)^2
9.
形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数,这个辅助函数是二次函数,于是用二次函数取值条件就得到cauchy不等式。
还有一种形式比较麻烦的,但确实很容易想到的证法,就是完全把cauchy不等式右边-左边的式子展开,化成一组平方和的形式。
我这里只给出前一种证法。
cauchy不等式的形式化写法就是:记两列数分别是ai,
bi,则有
(∑ai^2)
(∑bi^2)
(∑ai
bi)^2.
我们令
f(x)
∑(ai
bi)^2
(∑bi^2)
x^2
(∑ai
bi)
(∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x)
0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有
(∑ai
bi)^2
(∑ai^2)
(∑bi^2)
0.
于是移项得到结论。
学了更多的数学以后就知道,这个不等式可以推广到一般的内积空间中,那时证明的书写会更简洁一些。我们现在的证明只是其中的一个特例罢了。
其实,高中只要记住二维的就够了。
不等式解法
1、不等式的基本性质(8 条) 2、一元二次不等式的解法(注意讨论) 求一元二次不等式ax 2 + bx + c > 0(或 <0)
6、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解 法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段 中取交集,最后取各段的并集.7、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 ⑴
(a ≠ 0, �6�2 = b �6�1 4 ac> 0) 解集的步骤:
�9�6 f ( x) ≥ 0 f ( x) > a(a > 0) �6�2 �9�7 2 �9�8 f ( x)> a �9�6 f ( x) ≥ 0
基本不等式公式:
1、加减不等式:若ab,则a+c>b+c。
2、乘法不等式:若a,b,c>0(或c<0),则ac
若a0(或c>0),则ac>bc(或ac 3、平方不等式:若a是任意实数,则有a^2≥0; 对于任意实数a和b,有(a+b)^2≥0,即a^2+2ab+b^2≥0; 对于任意实数a和正实数b,有a^2+b^2≥2ab,即(a-b)^2≥0。 4、倒数不等式:若a,b,c都是正实数,则有1/a1/b,若a>b>0,则1/a<1/b<1/c。 5、绝对值不等式:对于任意实数a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,即两实数的绝对值之和不大于它们的各自绝对值之和。 这些基本公式是解决不等式问题的基础。在实际应用中,可以根据不同情况和需要,灵活应用这些公式。 四个基本不等式公式如下: 四个基本不等式公式: 1、a²+b²≥2ab。(当且仅当a=b时,等号成立) 2、√(ab)≤(a+b)/2。(当且仅当a=b时,等号成立) 3、a+b≥2√(ab)。(当且仅当a=b时,等号成立) 4、 ab≤[(a+b)/2]²。(当且仅当a=b时,等号成立)。 基本不等式的定义: 基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。 基本不等式的运用技巧:基本不等式所有公式