基本的绝对值不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
例如求|x-3|+|x+2|的最值,则y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5
所以函数的最小值是5,没有最大值
|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5
由|y|≤5得-5≤y≤5
即函数的最小值是-5,最大值是5
也可以从几何意义上理解,|x-3|+|x+2|表示x到3,-2这两点的距离之和,显然当-2≤x≤3时,距离之和最小,最小值是5;而|x-3|-|x+2|表示x到3,-2这两点的距离之差,当x≤-2时,取最小值-5,当x≥3时,取最大值5(网页链接里面是相关一些题目)
1 :|x-a|+|x-1|=2
解 当a=1时 x=2 或者x=0
当x>a>1时 原式 = x-a+x-1=2 2x=a+3 x=(a+3)/2 (a>1 a+3>4 x>2)
当1 当x<10 当a 2 .|x-4|+|x-3|=m有实数解 m>0 原式两边平方得 x²-8x+16+x²-6x+9-m²=0 2x²-14x+25-m²=0有实数解 辨别式 △=b²-4ac>=0 即 14²-4x2x(25-m²)>=0 解得m>√2/2 和m<-√2/2舍去 故 m>√2/2 3 当x>=2时 原不等式可化为 x-2-(x-1)=x-2-x+1=-1≥a 当1= 因为1= 所以 -3 当x<1时 原不等式可化为 2-x-(1-x)=2-x-1+x=1≥a 4 a<2 当x>2时 原不等式可化为 x-a+x-22 x-1>1 所以 a>x-1>1 综合 1 当a 当x1 因为x 综上所述 1 1.x到a的距离和x到1的距离之和为2 (1)如果a≤1 a<-1时 无解 a=-1时,-1≤x≤1 -1<a≤1时,x只能小于a或大于1,所以 x=(a-1)/2或 x=(a+3)/2 (2)如果a>1 a>3时 无解 a=3时,1≤x≤3 1<a<3时,x只能小于1或大于a,所以x=(a-1)/2或 x=(a+3)/2 综上-1≤x≤3(两种情况下x=(a-1)/2或 x=(a+3)/2均属于这个范围) 2.x到4的距离和x到3的距离之和为m x<3或x>4时,m均>1 3≤x≤4时,m=1 综上 m≥1 3.x到2的距离与x到1的距离之差≥a 设该距离之差为d x<1时 d=1 x>2时 d=-1 1≤x≤2时,-1≤d≤1 综上,-1≤d≤1 所以a≤-1 4.x到a的距离与x到2的距离之和小于a,设该距离之和为d 若0<a<2(因为d≥0,所以a>0) 0<x<a 去绝对值符号得x>1 a≤x≤2 a>1 即1<a<2时 恒成立 x>2 x<a+1 解答: (1)|2x-1/3|<1/3,所以:|2x-1|<1,得到:-1<2x-1<1,解得:0 (2)|(3x-1)/5|>=1/2,所以:|6x-2|>=5,得到:6x-2>=5或6x-2<=-5 解得:x>7/6或x<-1/2 第一题: 原式等价于 -1/3<2x-1/3<1/3 解得:0 第二题:原式等价于: 3x-1/5>=1/2 或者 3x-1/5<=-1/2 解得:x>=7/30 或者 x<=-1/10 基本的绝对值不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| 例如求|x-3|+|x+2|的最值,则y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5,没有最大值 |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5 即函数的最小值是-5,最大值是5 也可以从几何意义上理解,|x-3|+|x+2|表示x到3,-2这两点的距离之和,显然当-2≤x≤3时,距离之和最小,最小值是5;而|x-3|-|x+2|表示x到3,-2这两点的距离之差,当x≤-2时,取最小值-5,当x≥3时,取最大值5(网页链接里面是相关一些题目) 1 :|x-a|+|x-1|=2 解 当a=1时 x=2 或者x=0 当x>a>1时 原式 = x-a+x-1=2 2x=a+3 x=(a+3)/2 (a>1 a+3>4 x>2) 当1 当x<10 当a 2 .|x-4|+|x-3|=m有实数解 m>0 原式两边平方得 x²-8x+16+x²-6x+9-m²=0 2x²-14x+25-m²=0有实数解 辨别式 △=b²-4ac>=0 即 14²-4x2x(25-m²)>=0 解得m>√2/2 和m<-√2/2舍去 故 m>√2/2 3 当x>=2时 原不等式可化为 x-2-(x-1)=x-2-x+1=-1≥a 当1= 因为1= 所以 -3 当x<1时 原不等式可化为 2-x-(1-x)=2-x-1+x=1≥a 4 a<2 当x>2时 原不等式可化为 x-a+x-22 x-1>1 所以 a>x-1>1绝对值不等式专项训练
绝对值不等式的题目有哪些?
含绝对值的方程和不等式题