形如 y=k/x (k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数。自变量x的取值范围是不等于0的所有实数。
反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
1. 利用反比例函数性质求函数解析式。
例1:若反比例函数 y=(m-1)/x 的图象在每一个象限中,y随着x的增大而减小,则m的取值范围是( )
A. mu003c0 B. mu003e1 C. mu003c1 D. m≤1
【解答】解:∵反比例函数$y = frac{m - 1}{x}$的图象在每一个象限中,$y$随着$x$的增大而减小,
∴$m - 1 u003e 0$,解得$m u003e 1$.
故选B.
2. 利用反比例函数性质判断函数图象.
例2:下列四个点中,在反比例函数 y = -2/x 的图象上的是( )
A. (2, -1) B. (-1, -2) C. (2, 1) D. (1/2, -4)
【解答】解:A.∵ 2 × ( - 1) = - 2,∴此点在函数图象上,故A选项正确;
B.∵ - 1 × ( - 2) = 2 ≠ - 2,∴此点在函数图象上,故B选项错误;
C.∵ 2 × 1 = 2 ≠ - 2,∴此点在函数图象上,故C选项错误;
D.∵$frac{1}{2}$ × ( - 4) = - 2,∴此点在函数图象上,故D选项正确.
故选AD.
【解答】解:设此后每年治理水土流失面积的平均增长率为$x$.由题意得:$252(1 + x)^{2} = 332$.解得:$x_{1} = frac{1}{3}$或 $x_{2} = - frac{7}{3}$(舍去)$herefore x = frac{1}{3} = 33%$答:此后每年治理水土流失面积的平均增长率为$33%$.
例4:已知反比例函数 y = k/x 与一次函数 y = ax + b 的图象都经过点 (2,6),且一次函数图像与x轴交于点(4,0)。
(1) 求反比例函数与一次函数的解析式;
(2) 设直线 y = ax + b 与x轴交于点A,求△ODA的面积。
【分析】
(1) 把已知点的坐标代入反比例函数解析式中,可求得$k$的值,再把点$(4$,$0)$代入一次函数解析式中,可求得$a$与$b$的值,进而可得出两个函数的解析式;
(2) 先求出点A的坐标,再根据三角形面积公式即可得出结论。
【解答】
(1)解:∵反比例函数$y = frac{k}{x}$与一次函数$y = ax + b$的图象都经过点$(2$,$6)$,∴${begi{marix} frac{k}{2} = 6
2a + b = 6
ed{marix}$,解得:${begi{marix} k = 12
a = 2
b = 2
ed{marix}$,∴反比例函数解析式为$y = frac{12}{x}$,一次函数解析式为$y = 2x + 2$;
(2)解:当$y = 0$时,$2x + 2 = 0$,解得:$x = - 1$,∴点A的坐标为$( - 1$,$0)$,∴△ODA的面积$= frac{1}{2} imes 1 imes 2 = 1$.
形如 y=k/x (k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数。自变量x的取值范围是不等于0的所有实数。
反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
1. 利用反比例函数性质求函数解析式。
例1:若反比例函数 y=(m-1)/x 的图象在每一个象限中,y随着x的增大而减小,则m的取值范围是( )
A. mu003c0 B. mu003e1 C. mu003c1 D. m≤1
【解答】解:∵反比例函数$y = frac{m - 1}{x}$的图象在每一个象限中,$y$随着$x$的增大而减小,
∴$m - 1 u003e 0$,解得$m u003e 1$.
故选B.
2. 利用反比例函数性质判断函数图象.
例2:下列四个点中,在反比例函数 y = -2/x 的图象上的是( )
A. (2, -1) B. (-1, -2) C. (2, 1) D. (1/2, -4)
【解答】解:A.∵ 2 × ( - 1) = - 2,∴此点在函数图象上,故A选项正确;
B.∵ - 1 × ( - 2) = 2 ≠ - 2,∴此点在函数图象上,故B选项错误;
C.∵ 2 × 1 = 2 ≠ - 2,∴此点在函数图象上,故C选项错误;
D.∵$frac{1}{2}$ × ( - 4) = - 2,∴此点在函数图象上,故D选项正确.
故选AD.
【解答】解:设此后每年治理水土流失面积的平均增长率为$x$.由题意得:$252(1 + x)^{2} = 332$.解得:$x_{1} = frac{1}{3}$或 $x_{2} = - frac{7}{3}$(舍去)$herefore x = frac{1}{3} = 33%$答:此后每年治理水土流失面积的平均增长率为$33%$.
例4:已知反比例函数 y = k/x 与一次函数 y = ax + b 的图象都经过点 (2,6),且一次函数图像与x轴交于点(4,0)。
(1) 求反比例函数与一次函数的解析式;
(2) 设直线 y = ax + b 与x轴交于点A,求△ODA的面积。
【分析】
(1) 把已知点的坐标代入反比例函数解析式中,可求得$k$的值,再把点$(4$,$0)$代入一次函数解析式中,可求得$a$与$b$的值,进而可得出两个函数的解析式;
(2) 先求出点A的坐标,再根据三角形面积公式即可得出结论。
【解答】
(1)解:∵反比例函数$y = frac{k}{x}$与一次函数$y = ax + b$的图象都经过点$(2$,$6)$,∴${begi{marix} frac{k}{2} = 6
2a + b = 6
ed{marix}$,解得:${begi{marix} k = 12
a = 2
b = 2
ed{marix}$,∴反比例函数解析式为$y = frac{12}{x}$,一次函数解析式为$y = 2x + 2$;
(2)解:当$y = 0$时,$2x + 2 = 0$,解得:$x = - 1$,∴点A的坐标为$( - 1$,$0)$,∴△ODA的面积$= frac{1}{2} imes 1 imes 2 = 1$.