初中数学二次函数知识点总结目录
1. 二次函数的定义:二次函数是形如 y = ax2 + bx + c 的函数,其中 a、b、c常数,且 a ≠ 0。
2. 二次函数的图像:二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
3. 二次函数的顶点:二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点,其坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
4. 二次函数的零点:二次函数的零点是使得函数值为 0 的 x 值,可以通过求解二次方程 ax2 + bx + c = 0 得到。
5. 二次函数的对称轴:二次函数的对称轴是过顶点的直线,其方程为 x = -b/2a。
6. 二次函数的平移:二次函数可以进行平移变换,平移后的函数表达式为 y = a(x-h)2 + k,其中 (h, k)平移后的顶点坐标。
7. 二次函数的最大值或最小值:当 a > 0 时,二次函数的最小值为顶点坐标所对应的函数值;当 a < 0 时,二次函数的最大值同理。
8. 二次函数的判别式:二次函数的判别式为 Δ = b2 - 4ac,当 Δ > 0 时,函数有两个不相等的实根;当 Δ = 0 时,函数有两个相等的实根;当 Δ < 0 时,函数没有实根。
9. 二次函数与一次函数的关系:当 a = 0 时,二次函数退化为一次函数 y = bx + c。"。
二次函数的定义
一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2,y=3x2-2,y=2x2+x-1等都是二次函数.
注意:(1)二次函数是关于自变量的二次式,二次项系数a必须是非零实数,即a≠0,而b,c是任意实数,二次函数的表达式是一个整式;
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),自变量x的取值范围是全体实数;
(3)当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数;
(4)一个函数是否是二次函数,要化简整理后,对照定义才能下结论,例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x,故它不是二次函数.
二次函数y=ax2的图象和性质
(1)函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫抛物线.实际上所有二次函数的图象都是抛物线.
二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,它关于y轴对称,它的顶点坐标是(0,0).
①当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升,顶点是抛物线上位置最低的点,也就是说,当a>0时,函数y=ax2具有这样的性质:当x0时,函数y随x的增大而增大;当x=0时,函数y=ax2取最小值,最小值y=0;
②当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降,顶点是抛物线上位置最高的点.也就是说,当a<0时,函数y=ax2具有这样的性质:当x0时,函数y随x的增大而减小;当x=0时,函数y=ax2取最大值,最大值y=0;
③当|a|越大时,抛物线的开口越小,当|a|越小时,抛物线的开口越大.
(2)二次函数y=ax2的表达式的确定
因为二次函数y=ax2中只含有一个需待定的系数a,所以只需给出x与y的一对对应值即可求出a的值.
抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
数学整式的重要知识点
1.整式:整式为单项式和多项式的统称。
2.整式加减
整式的加减运算时,如果遇到括号先去掉括号,再合并同类项。
(1)去括号:几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。
如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内的符号与原来相同。
如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内的符号与原来相反。
(2)合并同类项:
合并同类项后,所得项的系数是合并前各项系数的和,且字母部分不变。
3.单项式:由数或字母的积组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
4.多项式:由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式。
5.同底数幂是指底数相同的幂。
6.同底数幂的乘法:同底数幂相乘,底数不变,指数相加
7.幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
8.积的乘方:积的乘方,先把积中的每一个因数分别乘方,再把所得的幂相乘。
9.单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
10.单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
11.多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
12.同底数幂的除法:同底数幂相除,底数不变,指数相减。
13.单项式除以单项式:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
14.多项式除以单项式:多项式除以单项式,先把多项式的每一项分别除以这个单项式,再把所得的商相加。
初中数学特殊三角函数值
1.cos30°=根号3/2。
2.sin260°+cos260°=1.
3.2sin30°+tan45°=2.
4.tan45°=1.
5.cos60°+sin30°=1.
一般式:y=aX2+bX+c顶点式:y=a(X+b)2+c;交点式:y=a(X-X1)(X-X2) ;X1,X2是抛物线与X轴交点的横坐标顶点式:y=a(X+b)2+c中a的正负决定抛物线的开口方向,X=-b是顶点的横坐标,c为顶点纵坐标
二次函数是初中数学非常重要的一部分,下面我为大家总结了初三二次函数知识点,仅供大家参考。
二次函数的定义
一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2,y=3x2-2,y=2x2+x-1等都是二次函数.
注意:(1)二次函数是关于自变量的二次式,二次项系数a必须是非零实数,即a≠0,而b,c是任意实数,二次函数的表达式是一个整式;
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),自变量x的取值范围是全体实数;
(3)当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数;
(4)一个函数是否是二次函数,要化简整理后,对照定义才能下结论,例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x,故它不是二次函数.
二次函数解析式的几种形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0).
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0).
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a≠0.
说明:(1)任何一个 二次函数 通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线
x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
以上就是我为大家总结的初三 数学 二次函数知识点,仅供参考,希望对大家有所帮助。
初中数学二次函数知识点总结目录
1. 二次函数的定义:二次函数是形如 y = ax2 + bx + c 的函数,其中 a、b、c常数,且 a ≠ 0。
2. 二次函数的图像:二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
3. 二次函数的顶点:二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点,其坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
4. 二次函数的零点:二次函数的零点是使得函数值为 0 的 x 值,可以通过求解二次方程 ax2 + bx + c = 0 得到。
5. 二次函数的对称轴:二次函数的对称轴是过顶点的直线,其方程为 x = -b/2a。
6. 二次函数的平移:二次函数可以进行平移变换,平移后的函数表达式为 y = a(x-h)2 + k,其中 (h, k)平移后的顶点坐标。
7. 二次函数的最大值或最小值:当 a > 0 时,二次函数的最小值为顶点坐标所对应的函数值;当 a < 0 时,二次函数的最大值同理。
8. 二次函数的判别式:二次函数的判别式为 Δ = b2 - 4ac,当 Δ > 0 时,函数有两个不相等的实根;当 Δ = 0 时,函数有两个相等的实根;当 Δ < 0 时,函数没有实根。
9. 二次函数与一次函数的关系:当 a = 0 时,二次函数退化为一次函数 y = bx + c。"。
二次函数的定义
一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2,y=3x2-2,y=2x2+x-1等都是二次函数.
注意:(1)二次函数是关于自变量的二次式,二次项系数a必须是非零实数,即a≠0,而b,c是任意实数,二次函数的表达式是一个整式;
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),自变量x的取值范围是全体实数;
(3)当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数;
(4)一个函数是否是二次函数,要化简整理后,对照定义才能下结论,例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x,故它不是二次函数.
二次函数y=ax2的图象和性质
(1)函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫抛物线.实际上所有二次函数的图象都是抛物线.
二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,它关于y轴对称,它的顶点坐标是(0,0).
①当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升,顶点是抛物线上位置最低的点,也就是说,当a>0时,函数y=ax2具有这样的性质:当x0时,函数y随x的增大而增大;当x=0时,函数y=ax2取最小值,最小值y=0;
②当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降,顶点是抛物线上位置最高的点.也就是说,当a<0时,函数y=ax2具有这样的性质:当x0时,函数y随x的增大而减小;当x=0时,函数y=ax2取最大值,最大值y=0;
③当|a|越大时,抛物线的开口越小,当|a|越小时,抛物线的开口越大.
(2)二次函数y=ax2的表达式的确定
因为二次函数y=ax2中只含有一个需待定的系数a,所以只需给出x与y的一对对应值即可求出a的值.
抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
数学整式的重要知识点
1.整式:整式为单项式和多项式的统称。
2.整式加减
整式的加减运算时,如果遇到括号先去掉括号,再合并同类项。
(1)去括号:几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项。
如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内的符号与原来相同。
如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内的符号与原来相反。
(2)合并同类项:
合并同类项后,所得项的系数是合并前各项系数的和,且字母部分不变。
3.单项式:由数或字母的积组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
4.多项式:由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式。
5.同底数幂是指底数相同的幂。
6.同底数幂的乘法:同底数幂相乘,底数不变,指数相加
7.幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
8.积的乘方:积的乘方,先把积中的每一个因数分别乘方,再把所得的幂相乘。
9.单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
10.单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
11.多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
12.同底数幂的除法:同底数幂相除,底数不变,指数相减。
13.单项式除以单项式:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
14.多项式除以单项式:多项式除以单项式,先把多项式的每一项分别除以这个单项式,再把所得的商相加。
初中数学特殊三角函数值
1.cos30°=根号3/2。
2.sin260°+cos260°=1.
3.2sin30°+tan45°=2.
4.tan45°=1.
5.cos60°+sin30°=1.
一般式:y=aX2+bX+c顶点式:y=a(X+b)2+c;交点式:y=a(X-X1)(X-X2) ;X1,X2是抛物线与X轴交点的横坐标顶点式:y=a(X+b)2+c中a的正负决定抛物线的开口方向,X=-b是顶点的横坐标,c为顶点纵坐标
二次函数是初中数学非常重要的一部分,下面我为大家总结了初三二次函数知识点,仅供大家参考。
二次函数的定义
一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2,y=3x2-2,y=2x2+x-1等都是二次函数.
注意:(1)二次函数是关于自变量的二次式,二次项系数a必须是非零实数,即a≠0,而b,c是任意实数,二次函数的表达式是一个整式;
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),自变量x的取值范围是全体实数;
(3)当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数;
(4)一个函数是否是二次函数,要化简整理后,对照定义才能下结论,例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x,故它不是二次函数.
二次函数解析式的几种形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0).
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0).
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a≠0.
说明:(1)任何一个 二次函数 通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线
x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
以上就是我为大家总结的初三 数学 二次函数知识点,仅供参考,希望对大家有所帮助。