初三竞赛题数学目录
。
1. 将一个正整数写成四个数的和,使得它们的积最大。例如,当这个正整数为10时,最大积为36(2+2+3+3=10)。
。
2. 某公司的销售经理每个月的销售额都是前一个月销售额的1.1倍。如果该公司去年1月份的销售额为100万元,则到今年12月份为止,该公司的累计销售额是多少?。
。
3. 有一条长为12米的绳子,从中间剪开后,变成了两条长度分别为x和y的绳子。如果将这两条绳子绕在两个相邻的正方形上,使得正方形的周长等于绳子的长度,求x和y的值。
。
4. 在一个平面直角坐标系中,有一个半径为2的圆心在原点上。现在有一条长度为6的线段,起点在(0,2)处,终点在圆上,求这条线段所在的直线方程。
。
5. 已知a、b、c、d都是正整数,且满足a+b+c+d=2018。求a、b、c、d中至少有一个是偶数的方案数。
。
这些题目都需要一定的数学基础和思维能力,需要学生用心思考和解答。"。
例1.已知:△ABC中,∠B=2∠C,AD是高
求证:DC=AB+BD
分析一:用分解法,把DC分成两部分,分别证与AB,BD相等。
可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE,再证EC=AE。
∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠EAC=∠C
辅助线是在DC上取DE=DB,连结AE。
分析二:用合成法,把AB,BD合成一线段,证它与DC相等。
仍然以高AD为轴,作出DC的对称线段DF。
为便于证明,辅助线用延长DB到F,使BF=AB,连结AF,则可得
∠ABD=2∠F=2∠C。
例2.已知:△ABC中,两条高AD和BE相交于H,两条边BC和AC的中垂线相交于O,垂足是M,N
求证:AH=2MO, BH=2NO
证明一:(加倍法――作出OM,ON的2倍)
连结并延长CO到G使OG=CO连结AG,BG
则BG∥OM,BG=2MO,AG∥ON,AG=2NO
∴四边形AGBH是平行四边形,
∴AH=BG=2MO,BH=AG=2NO
证明二:(折半法――作出AH,BH的一半)
分别取AH,BH的中点F,G连结FG,MN
则FG=MN=
AB,FG∥MN∥AB
又∵OM∥AD,
∴∠OMN=∠HGF(两边分别平行的两锐角相等)
同理∠ONM=∠HFG∴△OMN≌△HFG……
例3.
已知:在正方形ABCD中,点E在AB上且CE=AD+AE,F是AB的中点
求证:∠DCE=2∠BCF
分析:本题显然应着重考虑如何发挥CE=AD+AE条件的作用,如果只想用加倍法或折半法,则脱离题设的条件,难以见效。
我们可将AE(它的等量DG)加在正方形边CD的延长线上(如左图)也可以把正方形的边CD(它的等量AG)加在AE的延长线上(如右图)后一种想法更容易些。
辅助线如图,证明(略)自己完成
例4.已知:△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于I,
求证:∠BIC=90
+
∠A
证明一:(由左到右)
∠BIC=180
-(∠1+∠2)=180
-
(∠ABC+∠ACB)
=180
-
(∠ABC+∠ACB+∠A)+
∠A
=90
+
∠A
证明二:(左边-右边=0)
∠BIC-(90
+
∠A)
=180
-
(∠ABC+∠ACB)-90
-
∠A
=90
-
(∠ABC+∠ACB+∠A)=……
证明三:(从已知的等式出发,进行恒等变形)
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180
∴∠A=180
-(∠ABC+∠ACB)
∠A=90
-
(∠ABC+∠ACB)
90
+
∠A=180
-
(∠ABC+∠ACB),即∠BIC=90
+
∠A
解:连结BO并延长交AD于H
∵AB=BD,O为圆心
∴BH⊥AD
∵∠ADC=Rt∠
∴BH∥CD
∴△OPB∽△CPD
∴CD:BO=CP:OP
∵BO=1.5,CP=0.6
∴PO=0.9
∴CD=1
于是AD=√(AC^2-CD^2)=2√2
又∵OH=1/2CD=1/2
∴BH=2
∴AB=√(AH^2+BH^2)=√6
BC=√(AC^2-AB^2)=√3
∴四边形ABCD的周长为1+2√2+√3+√6
希望帮到你o(∩_∩)o
不懂追问哦
解:(1)凸10边形内角和为(10-2)*180=1440度.设最多有x个锐角,则有1440-90x<180(10-x)
X<4;
所以最多有三个
(2)∵AD:AB=1:3;
∴S△ADC:S△BDC=1:2;
∴S△BDC=2/3;
∴S△CDE=S(DECB)-S△BDC=3/4-2/3=1/12;
S△ADE=S△ABC-S(DECB)=1-3/4=1/4;
∴S△CDE:S△ADE=(1/12):(1/4)=1:3;
所以: CE:EA=1:3 .
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1. 将一个正整数写成四个数的和,使得它们的积最大。例如,当这个正整数为10时,最大积为36(2+2+3+3=10)。
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2. 某公司的销售经理每个月的销售额都是前一个月销售额的1.1倍。如果该公司去年1月份的销售额为100万元,则到今年12月份为止,该公司的累计销售额是多少?。
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3. 有一条长为12米的绳子,从中间剪开后,变成了两条长度分别为x和y的绳子。如果将这两条绳子绕在两个相邻的正方形上,使得正方形的周长等于绳子的长度,求x和y的值。
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4. 在一个平面直角坐标系中,有一个半径为2的圆心在原点上。现在有一条长度为6的线段,起点在(0,2)处,终点在圆上,求这条线段所在的直线方程。
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5. 已知a、b、c、d都是正整数,且满足a+b+c+d=2018。求a、b、c、d中至少有一个是偶数的方案数。
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这些题目都需要一定的数学基础和思维能力,需要学生用心思考和解答。"。
例1.已知:△ABC中,∠B=2∠C,AD是高
求证:DC=AB+BD
分析一:用分解法,把DC分成两部分,分别证与AB,BD相等。
可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE,再证EC=AE。
∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠EAC=∠C
辅助线是在DC上取DE=DB,连结AE。
分析二:用合成法,把AB,BD合成一线段,证它与DC相等。
仍然以高AD为轴,作出DC的对称线段DF。
为便于证明,辅助线用延长DB到F,使BF=AB,连结AF,则可得
∠ABD=2∠F=2∠C。
例2.已知:△ABC中,两条高AD和BE相交于H,两条边BC和AC的中垂线相交于O,垂足是M,N
求证:AH=2MO, BH=2NO
证明一:(加倍法――作出OM,ON的2倍)
连结并延长CO到G使OG=CO连结AG,BG
则BG∥OM,BG=2MO,AG∥ON,AG=2NO
∴四边形AGBH是平行四边形,
∴AH=BG=2MO,BH=AG=2NO
证明二:(折半法――作出AH,BH的一半)
分别取AH,BH的中点F,G连结FG,MN
则FG=MN=
AB,FG∥MN∥AB
又∵OM∥AD,
∴∠OMN=∠HGF(两边分别平行的两锐角相等)
同理∠ONM=∠HFG∴△OMN≌△HFG……
例3.
已知:在正方形ABCD中,点E在AB上且CE=AD+AE,F是AB的中点
求证:∠DCE=2∠BCF
分析:本题显然应着重考虑如何发挥CE=AD+AE条件的作用,如果只想用加倍法或折半法,则脱离题设的条件,难以见效。
我们可将AE(它的等量DG)加在正方形边CD的延长线上(如左图)也可以把正方形的边CD(它的等量AG)加在AE的延长线上(如右图)后一种想法更容易些。
辅助线如图,证明(略)自己完成
例4.已知:△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于I,
求证:∠BIC=90
+
∠A
证明一:(由左到右)
∠BIC=180
-(∠1+∠2)=180
-
(∠ABC+∠ACB)
=180
-
(∠ABC+∠ACB+∠A)+
∠A
=90
+
∠A
证明二:(左边-右边=0)
∠BIC-(90
+
∠A)
=180
-
(∠ABC+∠ACB)-90
-
∠A
=90
-
(∠ABC+∠ACB+∠A)=……
证明三:(从已知的等式出发,进行恒等变形)
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180
∴∠A=180
-(∠ABC+∠ACB)
∠A=90
-
(∠ABC+∠ACB)
90
+
∠A=180
-
(∠ABC+∠ACB),即∠BIC=90
+
∠A
解:连结BO并延长交AD于H
∵AB=BD,O为圆心
∴BH⊥AD
∵∠ADC=Rt∠
∴BH∥CD
∴△OPB∽△CPD
∴CD:BO=CP:OP
∵BO=1.5,CP=0.6
∴PO=0.9
∴CD=1
于是AD=√(AC^2-CD^2)=2√2
又∵OH=1/2CD=1/2
∴BH=2
∴AB=√(AH^2+BH^2)=√6
BC=√(AC^2-AB^2)=√3
∴四边形ABCD的周长为1+2√2+√3+√6
希望帮到你o(∩_∩)o
不懂追问哦
解:(1)凸10边形内角和为(10-2)*180=1440度.设最多有x个锐角,则有1440-90x<180(10-x)
X<4;
所以最多有三个
(2)∵AD:AB=1:3;
∴S△ADC:S△BDC=1:2;
∴S△BDC=2/3;
∴S△CDE=S(DECB)-S△BDC=3/4-2/3=1/12;
S△ADE=S△ABC-S(DECB)=1-3/4=1/4;
∴S△CDE:S△ADE=(1/12):(1/4)=1:3;
所以: CE:EA=1:3 .