如图,点P从O点出发,以每秒一个单位的速度沿X轴正方向移动,过P作X轴的垂线与y=1/2x交于点A,以PA为一边向右作正方形PABC,当P点运动4秒的时候,点Q从P出发,沿PA-AB-BC运动,速度是每秒2个单位,当Q与C重合时,P、Q两点同时停止运动,设Q点运动的时间为t秒,三角形OPQ的面积为S。
1)求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围
2)求S的最大值。
解:
由题意得:P运动4秒时,P的坐标为(4,0);Q点运动路程s[Q]=2t,x[P]=(4+t),y[A]=(4+t)/2
(1)、Q在PA上时,s[Q]≤y[A]=(4+t)/2,得:t≤4/3(s)
此时:
S[OPQ]=f(t)=x[P]•y[Q]/2=(4+t)•2t/2=t(t+4)=t^2+4t,
MAX[S[OPQ]]= f(4/3)=16/9+16/3=64/9
(2)、Q在AB上时,y[A]≤s[Q]≤2y[A],得:4/3≤t≤4(s)
此时:
S[OPQ]= f(t)=x[Q]•y[A]/2=(s[Q]-y[A]+x[P]) *y[A]/2
=(2t-(4+t)/2+4+t)•(4+t)/4=(5t+4)•(t+4)/8=(5t^2+24t+16)/8
MAX[S[OPQ]]= f(4)=24×8/8=24
(3)、Q在BC上时,2y[A]≤s[Q]≤3y[A],得:4≤t≤12(s) 如图,抛物线Y=x^2+4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
①求点A的坐标;
②以点A、B、O、P为顶点的四边形中, 有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
③设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当4+6√2
解:
(1)因为抛物线方程为:y=X^2+4X
配方得:y=(X+2)^2-4,
所以抛物线的顶点坐标为(-2,-4)。 即A的坐标为(-2,-4)
(2)令y=0,解得X=0或-4,
所以B点坐标为(-4,0),
因为A点到X轴距离是4
所以根据勾股定理得:AB=OA=2√5
情形一:若以A、B、O、P为顶点的四边形是菱形
因为OB=4<2√5,所以OB<AB=OA
所以AB、OB或OA、OB不能同时作为菱形的边
所以只能是OA、AB作为菱形的两边,OB作为菱形的对角线
所以P点是A点关于X轴的对称点
所以P点坐标为P1(-2,4)
(因为此时OP1//AB,所以P1一定在直线L上)
情形二:若以A、B、O、P为顶点的四边形是等腰梯形
因为OB=4<2√5,所以OB<AB=OA
所以只能是OB作为梯形的一腰
容易求出直线L的解析式是Y=-2X
因为P在L上,所以可设其坐标是P(X,-2X)
因为PA=OB=4,A点坐标是(-2,-4)
所以根据勾股定理得:
(X+2)^2+(-2X+4)^2=16
解得:X=2/5或X=2
因为当X=2时,四边形ABOP是平行四边形,不合题意
所以X=2/5
此时P的坐标是P2(2/5,-4/5)
情形三:若以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形
显然只能是AB作为梯形的下底
过A、B分别作L的垂线,垂足分别为P4、P3(两点坐标均可表示为(X,-2X))
设O到AB的距离是H,根据三角形面积公式可得下列等式:AB*H=OB*4
所以H=8√5/5,即AP4=AP3=8√5/5
根据勾股定理得:OA^2=AP4^2+OP3^2
将OA=2√5,AP4=8√5/5代入得:OP4=6√5/5
所以得5X^2=36/5,X=6/5(-6/5舍去)
所以此时P点坐标为P4(6/5,-12/5)
同理可求出P3(4/5,-8/5)
即以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形时P点坐标是P3(4/5,-8/5)或P4(6/5,-12/5)
(3)
因为直线L的解析式是:y=-2X,P的坐标伟(X,-2X),
此时以A、B、O、P为顶点的四边形可以看着是一个梯形,
上底为OP=√5|X|,下底为AB=2√5,高为H=8√5/5,
所以S=(√5|X|+2√5)*(8√5/5)/2
=4|X|+8
所以有:4+6√2<4|X|+8<6+8√2
所以:3√2/2-1<|X|<2√2-1/2
所以当X>0时,X的取值范围是3√2/2-1<X<2√2-1/2
当X<0时,3√2/2-1<-X<2√2-1/2
所以:X<1-3√2/2或X>1/2-2√2
所以当X<0时,X的取值范围是:1/2-2√2<X<1-3√2/2
关系是:MD=MF,MD⊥MF。
证法一:如图,延长DM交CE于N,连结
FD、FN。
∵正方形ABCD,∴AD∥BE,AD=DC
∴∠1=∠2。
又∵AM=EM,∠3=∠4,
∴△ADM≌△ENM
∴AD=EN,MD=MN。
∵AD=DC,∴DC=NE。
又∵正方形CGEF,
∴∠FCE=∠NEF=45°,FC=FE,∠CFE=90°。
又∵正方形ABCD,∴∠BCD=90°。
∴∠DCF=∠NEF=45°,
∴△FDC≌△FNE。
∴FD=FN,∠5=∠6
∵∠CFE=90°,∴∠DFN=90°。
又∵DM=MN,∴MD=MF,DM⊥MF。 解:(1)MD=MF,MD⊥MF;(2分)
(2)结论不变MD=MF,MD⊥MF,
证明:如图甲,延长DM交FE于N.
∵正方形ABCD、CGEF,
∴CF=EF,AD=DC,∠CFE=90°,AD∥FE,
∴∠1=∠2.
又∵MA=ME,∠3=∠4,
∴△AMD≌△EMN,
∴AD=EN,MD=MN,
∵CF=2AD,EF=2EN,
∴FD=FN.
又∵∠DFN=90°,
∴FM⊥MD,MF=MD;(6分)
(3)MD=MF,MD⊥MF,
证法一:如图乙,延长DM到N,
使MN=MD,连接FD、FN、EN,
延长EN与DC延长线交于点H.
∵MA=ME,∠1=∠2,MD=MN,
∴△AMD≌△EMN,
∴∠3=∠4,AD=NE.
又∵正方形ABCD、CGEF,
∴CF=EF,AD=DC,∠ADC=90°,
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°.
∴DC=NE.
∵∠3=∠4,
∴AD∥EH.
∴∠H=∠ADC=90°.
∵∠G=90°,∠5=∠6,
∴∠7=∠8.
∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°,
∴∠DCF=∠FEN.
∵FC=FE,
∴△DCF≌△NEF,
∴FD=FN,∠DFC=∠NFE.
∵∠CFE=90°,
∴∠DFN=90°,
∴FM⊥MD,MF=MD.(10分)
证法二:如图乙,过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H,连接DF、FN.
∴∠ADC=∠H,∠3=∠4.
∵AM=ME,∠1=∠2,
∴△AMD≌△EMN,
∴DM=NM,AD=EN.
∵四边形ABCD、四边形CGEF是正方形,
∴AD=DC,FC=FE,∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°,
∴∠H=90°,∠5=∠NEF,DC=NE.
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°,
∴∠DCF=∠5=∠NEF.
∵FC=FE,
∴△DCF≌△NEF.
∴FD=FN,∠DFC=∠NFE,
∵∠CFE=90°,
∴∠DFN=90°,
∴FM⊥MD,MF=MD.(10分)
初三数学竞赛题:1.解方程4(x-1)-x=2(x+ ),步骤如下:①去括号,得4x-4-x=2x+1,②移项,得4x+x-2x=1+4,③合 并同类项,得3x=5,④系数化为1,得x= ,经检验,x= 不是原方程的解,说明解题的四个步骤中有错误,其中开始出现错误的一步是()A.①B.②C.③D.④
初三数学竞赛题100道及答案
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.解方程4(x-1)-x=2(x+ ),步骤如下:
①去括号,得4x-4-x=2x+1,
我整理了一些中考数学的常考题型,大家一起来看看吧。
线段、角的计算与证明问题
中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题,目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中难题了。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数,更重要的是对于整个做题过程中士气,军心的影响。线段与角的计算和证明,一般来说难度不会很大,只要找到关键“题眼”,后面的路子自己就“通”了。
图形位置关系
中学数学当中,图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。在中考中会包含在函数,坐标系以及几何问题当中,但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察,这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
如图,点P从O点出发,以每秒一个单位的速度沿X轴正方向移动,过P作X轴的垂线与y=1/2x交于点A,以PA为一边向右作正方形PABC,当P点运动4秒的时候,点Q从P出发,沿PA-AB-BC运动,速度是每秒2个单位,当Q与C重合时,P、Q两点同时停止运动,设Q点运动的时间为t秒,三角形OPQ的面积为S。
1)求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围
2)求S的最大值。
解:
由题意得:P运动4秒时,P的坐标为(4,0);Q点运动路程s[Q]=2t,x[P]=(4+t),y[A]=(4+t)/2
(1)、Q在PA上时,s[Q]≤y[A]=(4+t)/2,得:t≤4/3(s)
此时:
S[OPQ]=f(t)=x[P]•y[Q]/2=(4+t)•2t/2=t(t+4)=t^2+4t,
MAX[S[OPQ]]= f(4/3)=16/9+16/3=64/9
(2)、Q在AB上时,y[A]≤s[Q]≤2y[A],得:4/3≤t≤4(s)
此时:
S[OPQ]= f(t)=x[Q]•y[A]/2=(s[Q]-y[A]+x[P]) *y[A]/2
=(2t-(4+t)/2+4+t)•(4+t)/4=(5t+4)•(t+4)/8=(5t^2+24t+16)/8
MAX[S[OPQ]]= f(4)=24×8/8=24
(3)、Q在BC上时,2y[A]≤s[Q]≤3y[A],得:4≤t≤12(s) 如图,抛物线Y=x^2+4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
①求点A的坐标;
②以点A、B、O、P为顶点的四边形中, 有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
③设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当4+6√2
解:
(1)因为抛物线方程为:y=X^2+4X
配方得:y=(X+2)^2-4,
所以抛物线的顶点坐标为(-2,-4)。 即A的坐标为(-2,-4)
(2)令y=0,解得X=0或-4,
所以B点坐标为(-4,0),
因为A点到X轴距离是4
所以根据勾股定理得:AB=OA=2√5
情形一:若以A、B、O、P为顶点的四边形是菱形
因为OB=4<2√5,所以OB<AB=OA
所以AB、OB或OA、OB不能同时作为菱形的边
所以只能是OA、AB作为菱形的两边,OB作为菱形的对角线
所以P点是A点关于X轴的对称点
所以P点坐标为P1(-2,4)
(因为此时OP1//AB,所以P1一定在直线L上)
情形二:若以A、B、O、P为顶点的四边形是等腰梯形
因为OB=4<2√5,所以OB<AB=OA
所以只能是OB作为梯形的一腰
容易求出直线L的解析式是Y=-2X
因为P在L上,所以可设其坐标是P(X,-2X)
因为PA=OB=4,A点坐标是(-2,-4)
所以根据勾股定理得:
(X+2)^2+(-2X+4)^2=16
解得:X=2/5或X=2
因为当X=2时,四边形ABOP是平行四边形,不合题意
所以X=2/5
此时P的坐标是P2(2/5,-4/5)
情形三:若以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形
显然只能是AB作为梯形的下底
过A、B分别作L的垂线,垂足分别为P4、P3(两点坐标均可表示为(X,-2X))
设O到AB的距离是H,根据三角形面积公式可得下列等式:AB*H=OB*4
所以H=8√5/5,即AP4=AP3=8√5/5
根据勾股定理得:OA^2=AP4^2+OP3^2
将OA=2√5,AP4=8√5/5代入得:OP4=6√5/5
所以得5X^2=36/5,X=6/5(-6/5舍去)
所以此时P点坐标为P4(6/5,-12/5)
同理可求出P3(4/5,-8/5)
即以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形时P点坐标是P3(4/5,-8/5)或P4(6/5,-12/5)
(3)
因为直线L的解析式是:y=-2X,P的坐标伟(X,-2X),
此时以A、B、O、P为顶点的四边形可以看着是一个梯形,
上底为OP=√5|X|,下底为AB=2√5,高为H=8√5/5,
所以S=(√5|X|+2√5)*(8√5/5)/2
=4|X|+8
所以有:4+6√2<4|X|+8<6+8√2
所以:3√2/2-1<|X|<2√2-1/2
所以当X>0时,X的取值范围是3√2/2-1<X<2√2-1/2
当X<0时,3√2/2-1<-X<2√2-1/2
所以:X<1-3√2/2或X>1/2-2√2
所以当X<0时,X的取值范围是:1/2-2√2<X<1-3√2/2
关系是:MD=MF,MD⊥MF。
证法一:如图,延长DM交CE于N,连结
FD、FN。
∵正方形ABCD,∴AD∥BE,AD=DC
∴∠1=∠2。
又∵AM=EM,∠3=∠4,
∴△ADM≌△ENM
∴AD=EN,MD=MN。
∵AD=DC,∴DC=NE。
又∵正方形CGEF,
∴∠FCE=∠NEF=45°,FC=FE,∠CFE=90°。
又∵正方形ABCD,∴∠BCD=90°。
∴∠DCF=∠NEF=45°,
∴△FDC≌△FNE。
∴FD=FN,∠5=∠6
∵∠CFE=90°,∴∠DFN=90°。
又∵DM=MN,∴MD=MF,DM⊥MF。 解:(1)MD=MF,MD⊥MF;(2分)
(2)结论不变MD=MF,MD⊥MF,
证明:如图甲,延长DM交FE于N.
∵正方形ABCD、CGEF,
∴CF=EF,AD=DC,∠CFE=90°,AD∥FE,
∴∠1=∠2.
又∵MA=ME,∠3=∠4,
∴△AMD≌△EMN,
∴AD=EN,MD=MN,
∵CF=2AD,EF=2EN,
∴FD=FN.
又∵∠DFN=90°,
∴FM⊥MD,MF=MD;(6分)
(3)MD=MF,MD⊥MF,
证法一:如图乙,延长DM到N,
使MN=MD,连接FD、FN、EN,
延长EN与DC延长线交于点H.
∵MA=ME,∠1=∠2,MD=MN,
∴△AMD≌△EMN,
∴∠3=∠4,AD=NE.
又∵正方形ABCD、CGEF,
∴CF=EF,AD=DC,∠ADC=90°,
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°.
∴DC=NE.
∵∠3=∠4,
∴AD∥EH.
∴∠H=∠ADC=90°.
∵∠G=90°,∠5=∠6,
∴∠7=∠8.
∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°,
∴∠DCF=∠FEN.
∵FC=FE,
∴△DCF≌△NEF,
∴FD=FN,∠DFC=∠NFE.
∵∠CFE=90°,
∴∠DFN=90°,
∴FM⊥MD,MF=MD.(10分)
证法二:如图乙,过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H,连接DF、FN.
∴∠ADC=∠H,∠3=∠4.
∵AM=ME,∠1=∠2,
∴△AMD≌△EMN,
∴DM=NM,AD=EN.
∵四边形ABCD、四边形CGEF是正方形,
∴AD=DC,FC=FE,∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°,
∴∠H=90°,∠5=∠NEF,DC=NE.
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°,
∴∠DCF=∠5=∠NEF.
∵FC=FE,
∴△DCF≌△NEF.
∴FD=FN,∠DFC=∠NFE,
∵∠CFE=90°,
∴∠DFN=90°,
∴FM⊥MD,MF=MD.(10分)
初三数学竞赛题:1.解方程4(x-1)-x=2(x+ ),步骤如下:①去括号,得4x-4-x=2x+1,②移项,得4x+x-2x=1+4,③合 并同类项,得3x=5,④系数化为1,得x= ,经检验,x= 不是原方程的解,说明解题的四个步骤中有错误,其中开始出现错误的一步是()A.①B.②C.③D.④
初三数学竞赛题100道及答案
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.解方程4(x-1)-x=2(x+ ),步骤如下:
①去括号,得4x-4-x=2x+1,
我整理了一些中考数学的常考题型,大家一起来看看吧。
线段、角的计算与证明问题
中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题,目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中难题了。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数,更重要的是对于整个做题过程中士气,军心的影响。线段与角的计算和证明,一般来说难度不会很大,只要找到关键“题眼”,后面的路子自己就“通”了。
图形位置关系
中学数学当中,图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。在中考中会包含在函数,坐标系以及几何问题当中,但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察,这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。