如图所示,在AB上取一点H,使得BE=BH=2,
连接EH,过点G作GI⊥EH,过点E作EJ⊥CG。
因为在矩形ABCD中有∠B=90° ①,BE=BH=2,
所以△BEH是等腰直角三角形,有∠BEH=45°,
因为EG是由EF顺时针旋转45°而来,有EF=EG ②,∠BEH=∠FEG=45°,
所以∠BEF=∠IEG ③,又因为GI⊥EH ④,由①②③④可证得△BEF≌△IEG(AAS),
有BE=IE=2,即点I为固定点,所以点F在AB上运动时,点G随之在GI上运动,
显然当CG⊥GI时CG取得最小值,
此时易知四边形EIGJ是矩形,EI=GJ=2,∠IEJ=90°,
则∠CEJ=180°-45°-90°=45°,可知△CEJ是等腰直角三角形,
而CE=8-2=6,易知CJ=3√2,所以CG=GJ+CJ=2+3√2,
综上所述,CG的最小值为2+3√2。
【此时发现AB=6是多余条件,其实严谨来说并不是,
中考数学是考生中难度最大的一个科目,掌握好一些中考的必考题型对于中考的发挥至关重要。下文我给大家整理了中考必做的一些经典题型归纳,供参考!
一、单点运动
例1.(2006长春)如图,在平面直角坐标系中,两个函数y=x, 的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,作PQ//x轴交直线BC于点Q,以PQ为一边向下作正方形PQMN,设它与ΔOAB重叠部分的面积为S。
(1)求点A的坐标。
(2)试求出点P在线段OA上运动时,S与运动时间t(秒)的关系式。
(3)在(2)的条件下,S是否有最大值?若有,求出t为何值时,S有最大值,并求出最大值;若没有,请说明理由。
(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN和ΔOAB重叠部分面积最大时,运动时间t满足的条件是__________。
解:(1)由 ,可得
∴A(4,4)。
(2)点P在y=x上,OP=t,
则点P坐标为( )。
点Q的纵坐标为 ,并且点Q在 上。
∴ 。
点Q的坐标为( )
PQ 。
当 时,
当点P到达A点时,
当 时,
(3)有最大值,最大值应在 中,
当 时,S的最大值为12。
(4)
二、双点运动
例2.(2006广安)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线 经过点A、B,且 。
(1)求抛物线的解析式。
(2)如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动。
①移动开始后第t秒时,设 ,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取得最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标,如果不存在,请说明理由。
解:(1)据题意知:
A(0,-2),B(2,-2)
∵A点在抛物线上,∴
由AB=2知抛物线的对称轴为:x=1
即:
∴抛物线的解析式为:
(2)①由图象知:
②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形。
∴ 。这时 ,BQ=0.8,P(1.6,-2),Q(2,-1.2)
分情况讨论:
A)假设R在BQ的右边,这时 ,则:
R的横坐标为2.4,R的纵坐标为-1.2,
即(2.4,-1.2)
代入 ,左右两边相等
∴这时存在R(2.4,-1.2)满足题意。
B)假设R在BQ的左边,这时 ,则:
R的横坐标为1.6,纵坐标为-1.2,
即(1.6,-1.2)
代入 ,左右两边不相等,R不在抛物线上。
C)假设R在PB的下方,这时 ,则:
R(1.6,-2.4)代入 ,左右不相等,R不在抛物线上。
综上所述,存在一点R(2.4,-1.2)
三、直线运动
例3.(2006锦州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于x轴的直线l从y轴出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方)。
(1)求A、B两点的坐标;
(2)设ΔOMN的面积为S,直线l运动时间为t秒( ),试求S与t的函数表达式;
(3)在题(2)的条件下,t为何值时,S的面积最大?最大面积是多少?
解:(1)∵四边形OBABC为菱形,点C的坐标为(4,0)
∴OA=AB=BC=CO=4。
过点A作AD⊥OC于D。
∵∠AOC=60°,
∴OD=2, 。
∴A(2, ),B(6, )。
(2)直线l从y轴出发,沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况:
① 时,直线l与OA、OC两边相交(如图①)。
∵MN⊥OC,∴ON=t。
∴ 。
②当 时,直线l与AB、OC两边相交(如图②)
③当 时,直线l与AB、BC两边相交(如图③)
设直线l与x轴交于点H。
(3)由(2)知,当 时, ;
当 时, ;
当 时,配方得 ,
∴当t=3时,函数 。
但t=3不在 内,
∴在 内,函数 的最大值不是 。
而当t>3时,函数 随t的增大而减小,
∴当 。
综上所述,当t=4秒时, 。
四、三角形运动
例4.(2006青岛)如图①,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合),已知AC=8cm,BC=6cm,∠C=90°,EG=4cm,∠EGF=90°,O是ΔEFG斜边上的中点。
如图②,若整个ΔEFG从图①的位置出发,以1cm/s的速度沿射线AB方向平移,在ΔEFG平移的同时,点P从ΔEFG的顶点G出发,以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,ΔEFG也随之停止平移。设运动时间为x(s),FG的延长线交AC于H,四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况)。
(1)当x为何值时,OP//AC?
(2)求y与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围。
(3)是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与ΔABC面积的比为13:24?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由。
(参考数据:
解:(1)∵RtΔEFG∽RtΔABC,
∴ 。
∴ 。
∵当P为FG的中点时,OP//EG,EG//AC,
∴OP//AC。
∴ 。
∴当x为1.5s时,OP//AC。
(2)在RtΔEFG中,由勾股定理得:EF=5cm。
∵EG//AH,
∴ΔEFG∽ΔAFH。
∴ 。
∴ 。
∴ 。
过点O作OD⊥FP,垂足为D。
∵点O为EF中点,
∴ 。
∵ ,
(3)假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP面积与ΔABC面积的比为13:24。
∵0 ∴当 时,四边形OAHP面积与ΔABC面积的比为13:24。 五、矩形运动 例5.(2006南安)如图所示,在直角坐标系中,矩形ABCD的边AD在x轴上,点A在原点,AB=3,AD=5。若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动。同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A—B—C—D的路线作匀速运动。当P点运动到D点时停止运动,矩形ABCD也随之停止运动。 (1)求P点从A点运动到D点所需的时间; (2)设P点运动时间为t(秒)。 ①当t=5时,求出点P的坐标; ②若ΔOAP的面积为s,试求出s与t之间的函数关系式(并写出相应的自变量t的取值范围)。 解:(1)P点从A点运动到D点所需的时间= (秒) (2)①当t=5时,P点从A点运动到BC上, 此时OA=10,AB+BP=5, ∴BP=2 过点P作PE⊥AD于点E, 则PE=AB=3,AE=BP=3 ∴点P的坐标为(12,3)。 ②分三种情况: (i)当 时,点P在AB上运动, 此时OA=2t,AP=t (ii)当 时,点P在AB上运动,此时OA=2t (iii)当8 此时OA=2t, 综上所述,s与t之间的函数关系式是:当 时, ;当 时,s=3t;当8 六、圆的运动 例6.(2006南昌)已知抛物线 ,经过点A(0,5)和点B(3,2) (1)求抛物线的解析式; (2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动的动圆,问⊙P在运动过程中,是否存在⊙P与坐标轴相切的情况?若存在,请求出圆心P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若⊙Q的半径为r,点Q在抛物线上、⊙Q与两坐轴都相切时求半径r的值。 解:(1)由题意,得 解得 抛物线的解析式为 (2)当⊙P在运动过程中,存在⊙P与坐标轴相切的情况。(如图1) 图1 设点P坐标为( , ) 则当⊙P与y轴相切时,有 ∴P1(-1,10), 由 ,得 ∴P2(1,2) 当⊙P与x轴相切时有 ∵抛物线开口向上,且顶点在x轴的上方。 ∴y0=1 由 ,得 ,解得 ,B(2,1) 综上所述,符合要求的圆心P有三个,其坐标分别为: P1(-1,10),P2(1,2),P3(2,1) (3)设点Q坐标为(x,y),则当⊙Q与两条坐标轴都相切时(如图2),有 由y=x得 , 即 ,解得 ; 由 ,得 。 即 ,此方程无解 ∴⊙O的半径为 升学考试除了竞赛一半题型都不会太难,但是基本上 每册书里的典型题都会涉及到,因为中考出题的老师只允许带课本,现在也没必要苦练特难的题了,把基础的,中等的题抓好就行 解:(1)B(0,4),OB=4,OA=3,OC=3, 直线解析式为:y=-43x+4, 抛物线的解析式为:y=x2-4x+3; (2)(2)若⊙P与直线AB及x轴都相切, 则点P在∠BAO或它的外角的平分线所在的直线上. ①设∠BAO的外角平分线交y轴于D,过D作DH⊥AB于H, 则DH=DO=m,BD=4-m,AH=AO=3,BH=5-3=2 在Rt△BHD中,BD2=BH2+DH2 即(4-m)2=m2+22, 解得:m=32 即D(0,1.5) 则直线AD的解析式为:y=-12x+32, 将其与抛物线的解析式y=x2-4x+3联立解得:{x1=3;y1=0,{x2=12;y2=54 即P(12,54) ②设∠BAO外角的平分线交y轴于G, 则AG⊥AD于A,则△DOA∽△AOG,故OG=2OA=6 即G(0,-6)直线DG解析式为:y=2x-6 在平面直角坐标系中,点B在直线y=-2x上,过点B作x轴的垂线,垂足为A,AB=10,若抛物线y=-1/6x^2+bx+c过点O、A两点问题补充: (1)求该抛物线的解析式 (2)若点A与点C关于直线y=-2x对称,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由 (3)在(2)的抛物线上是否存在点Q(除A点外),使得△OBQ是直角三角形?若存在。求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。 如图,已知△ABC中,AB=4,BC=5,AC=6,把线段AB沿射线BC方向平移至PQ,直线PQ与直线AC交于点E,又联结BQ与直线AC交于点D。 史上最难中考数学压轴题
如图所示,在AB上取一点H,使得BE=BH=2,
连接EH,过点G作GI⊥EH,过点E作EJ⊥CG。
因为在矩形ABCD中有∠B=90° ①,BE=BH=2,
所以△BEH是等腰直角三角形,有∠BEH=45°,
因为EG是由EF顺时针旋转45°而来,有EF=EG ②,∠BEH=∠FEG=45°,
所以∠BEF=∠IEG ③,又因为GI⊥EH ④,由①②③④可证得△BEF≌△IEG(AAS),
有BE=IE=2,即点I为固定点,所以点F在AB上运动时,点G随之在GI上运动,
显然当CG⊥GI时CG取得最小值,
此时易知四边形EIGJ是矩形,EI=GJ=2,∠IEJ=90°,
则∠CEJ=180°-45°-90°=45°,可知△CEJ是等腰直角三角形,
而CE=8-2=6,易知CJ=3√2,所以CG=GJ+CJ=2+3√2,
综上所述,CG的最小值为2+3√2。
【此时发现AB=6是多余条件,其实严谨来说并不是,
中考数学是考生中难度最大的一个科目,掌握好一些中考的必考题型对于中考的发挥至关重要。下文我给大家整理了中考必做的一些经典题型归纳,供参考!
一、单点运动
例1.(2006长春)如图,在平面直角坐标系中,两个函数y=x, 的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,作PQ//x轴交直线BC于点Q,以PQ为一边向下作正方形PQMN,设它与ΔOAB重叠部分的面积为S。
(1)求点A的坐标。
(2)试求出点P在线段OA上运动时,S与运动时间t(秒)的关系式。
(3)在(2)的条件下,S是否有最大值?若有,求出t为何值时,S有最大值,并求出最大值;若没有,请说明理由。
(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN和ΔOAB重叠部分面积最大时,运动时间t满足的条件是__________。
解:(1)由 ,可得
∴A(4,4)。
(2)点P在y=x上,OP=t,
则点P坐标为( )。
点Q的纵坐标为 ,并且点Q在 上。
∴ 。
点Q的坐标为( )
PQ 。
当 时,
当点P到达A点时,
当 时,
(3)有最大值,最大值应在 中,
当 时,S的最大值为12。
(4)
二、双点运动
例2.(2006广安)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线 经过点A、B,且 。
(1)求抛物线的解析式。
(2)如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动。
①移动开始后第t秒时,设 ,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取得最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标,如果不存在,请说明理由。
解:(1)据题意知:
A(0,-2),B(2,-2)
∵A点在抛物线上,∴
由AB=2知抛物线的对称轴为:x=1
即:
∴抛物线的解析式为:
(2)①由图象知:
②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形。
∴ 。这时 ,BQ=0.8,P(1.6,-2),Q(2,-1.2)
分情况讨论:
A)假设R在BQ的右边,这时 ,则:
R的横坐标为2.4,R的纵坐标为-1.2,
即(2.4,-1.2)
代入 ,左右两边相等
∴这时存在R(2.4,-1.2)满足题意。
B)假设R在BQ的左边,这时 ,则:
R的横坐标为1.6,纵坐标为-1.2,
即(1.6,-1.2)
代入 ,左右两边不相等,R不在抛物线上。
C)假设R在PB的下方,这时 ,则:
R(1.6,-2.4)代入 ,左右不相等,R不在抛物线上。
综上所述,存在一点R(2.4,-1.2)
三、直线运动
例3.(2006锦州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于x轴的直线l从y轴出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方)。
(1)求A、B两点的坐标;
(2)设ΔOMN的面积为S,直线l运动时间为t秒( ),试求S与t的函数表达式;
(3)在题(2)的条件下,t为何值时,S的面积最大?最大面积是多少?
解:(1)∵四边形OBABC为菱形,点C的坐标为(4,0)
∴OA=AB=BC=CO=4。
过点A作AD⊥OC于D。
∵∠AOC=60°,
∴OD=2, 。
∴A(2, ),B(6, )。
(2)直线l从y轴出发,沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况:
① 时,直线l与OA、OC两边相交(如图①)。
∵MN⊥OC,∴ON=t。
∴ 。
②当 时,直线l与AB、OC两边相交(如图②)
③当 时,直线l与AB、BC两边相交(如图③)
设直线l与x轴交于点H。
(3)由(2)知,当 时, ;
当 时, ;
当 时,配方得 ,
∴当t=3时,函数 。
但t=3不在 内,
∴在 内,函数 的最大值不是 。
而当t>3时,函数 随t的增大而减小,
∴当 。
综上所述,当t=4秒时, 。
四、三角形运动
例4.(2006青岛)如图①,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合),已知AC=8cm,BC=6cm,∠C=90°,EG=4cm,∠EGF=90°,O是ΔEFG斜边上的中点。
如图②,若整个ΔEFG从图①的位置出发,以1cm/s的速度沿射线AB方向平移,在ΔEFG平移的同时,点P从ΔEFG的顶点G出发,以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,ΔEFG也随之停止平移。设运动时间为x(s),FG的延长线交AC于H,四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况)。
(1)当x为何值时,OP//AC?
(2)求y与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围。
(3)是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与ΔABC面积的比为13:24?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由。
(参考数据:
解:(1)∵RtΔEFG∽RtΔABC,
∴ 。
∴ 。
∵当P为FG的中点时,OP//EG,EG//AC,
∴OP//AC。
∴ 。
∴当x为1.5s时,OP//AC。
(2)在RtΔEFG中,由勾股定理得:EF=5cm。
∵EG//AH,
∴ΔEFG∽ΔAFH。
∴ 。
∴ 。
∴ 。
过点O作OD⊥FP,垂足为D。
∵点O为EF中点,
∴ 。
∵ ,
(3)假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP面积与ΔABC面积的比为13:24。
∵0 ∴当 时,四边形OAHP面积与ΔABC面积的比为13:24。 五、矩形运动 例5.(2006南安)如图所示,在直角坐标系中,矩形ABCD的边AD在x轴上,点A在原点,AB=3,AD=5。若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动。同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A—B—C—D的路线作匀速运动。当P点运动到D点时停止运动,矩形ABCD也随之停止运动。 (1)求P点从A点运动到D点所需的时间; (2)设P点运动时间为t(秒)。 ①当t=5时,求出点P的坐标; ②若ΔOAP的面积为s,试求出s与t之间的函数关系式(并写出相应的自变量t的取值范围)。 解:(1)P点从A点运动到D点所需的时间= (秒) (2)①当t=5时,P点从A点运动到BC上, 此时OA=10,AB+BP=5, ∴BP=2 过点P作PE⊥AD于点E, 则PE=AB=3,AE=BP=3 ∴点P的坐标为(12,3)。 ②分三种情况: (i)当 时,点P在AB上运动, 此时OA=2t,AP=t (ii)当 时,点P在AB上运动,此时OA=2t (iii)当8 此时OA=2t, 综上所述,s与t之间的函数关系式是:当 时, ;当 时,s=3t;当8 六、圆的运动 例6.(2006南昌)已知抛物线 ,经过点A(0,5)和点B(3,2) (1)求抛物线的解析式; (2)现有一半径为1,圆心P在抛物线上运动的动圆,问⊙P在运动过程中,是否存在⊙P与坐标轴相切的情况?若存在,请求出圆心P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若⊙Q的半径为r,点Q在抛物线上、⊙Q与两坐轴都相切时求半径r的值。 解:(1)由题意,得 解得 抛物线的解析式为 (2)当⊙P在运动过程中,存在⊙P与坐标轴相切的情况。(如图1) 图1 设点P坐标为( , ) 则当⊙P与y轴相切时,有 ∴P1(-1,10), 由 ,得 ∴P2(1,2) 当⊙P与x轴相切时有 ∵抛物线开口向上,且顶点在x轴的上方。 ∴y0=1 由 ,得 ,解得 ,B(2,1) 综上所述,符合要求的圆心P有三个,其坐标分别为: P1(-1,10),P2(1,2),P3(2,1) (3)设点Q坐标为(x,y),则当⊙Q与两条坐标轴都相切时(如图2),有 由y=x得 , 即 ,解得 ; 由 ,得 。 即 ,此方程无解 ∴⊙O的半径为 升学考试除了竞赛一半题型都不会太难,但是基本上 每册书里的典型题都会涉及到,因为中考出题的老师只允许带课本,现在也没必要苦练特难的题了,把基础的,中等的题抓好就行 解:(1)B(0,4),OB=4,OA=3,OC=3, 直线解析式为:y=-43x+4, 抛物线的解析式为:y=x2-4x+3; (2)(2)若⊙P与直线AB及x轴都相切, 则点P在∠BAO或它的外角的平分线所在的直线上. ①设∠BAO的外角平分线交y轴于D,过D作DH⊥AB于H, 则DH=DO=m,BD=4-m,AH=AO=3,BH=5-3=2 在Rt△BHD中,BD2=BH2+DH2 即(4-m)2=m2+22, 解得:m=32 即D(0,1.5) 则直线AD的解析式为:y=-12x+32, 将其与抛物线的解析式y=x2-4x+3联立解得:{x1=3;y1=0,{x2=12;y2=54 即P(12,54) ②设∠BAO外角的平分线交y轴于G, 则AG⊥AD于A,则△DOA∽△AOG,故OG=2OA=6 即G(0,-6)直线DG解析式为:y=2x-6 在平面直角坐标系中,点B在直线y=-2x上,过点B作x轴的垂线,垂足为A,AB=10,若抛物线y=-1/6x^2+bx+c过点O、A两点问题补充: (1)求该抛物线的解析式 (2)若点A与点C关于直线y=-2x对称,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由 (3)在(2)的抛物线上是否存在点Q(除A点外),使得△OBQ是直角三角形?若存在。求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。 如图,已知△ABC中,AB=4,BC=5,AC=6,把线段AB沿射线BC方向平移至PQ,直线PQ与直线AC交于点E,又联结BQ与直线AC交于点D。 史上最难中考数学压轴题