先做二次函数,几何后来再看。
(1) 显然A(-6, 0), B(0, -3)
将B的坐标代入抛物线, 得c = -3, y = x²/4 + bx - 3
代入A的坐标: (-6)²/4 - 6b - 3 = 0, b = 1
y = x²/4 + x - 3
(2)
AB的长度为定值,只需P与其距离最大即可。设想将AB想左下方平移,直至与抛物线相切,切点即为P。令过P的切线为y = -x/2 + t, 与抛物线联立并整理: x² + 6x - 4t - 12 = 0
要使其有相等的根,须-4t - 12 = 9, 上式变为(x+3)² = 0, P(-3, -15/4)
AB = √[(-6)² + (-3)²] = 3√5
AB: x + 2y + 6 = 0, P与其距离h = |-3 + 2(-15/4) + 6|/√(1² + 2²) = 9/(2√5)
S = (1/2)*AB*h = 27/4
(3)
y = x²/4 + x - 3 = -3, x = 0 (点B), x = -4, C(-4, -3)
B,C关于对称轴对称, 对称轴为x = (-4+0)/2 = -2
令N(-2, n), M(m, m')
(i)OC为对角线, 其中点Q(-2, -3/2)
Q也是MN的中点
-2 = (-2 + m)/2, m = -2, 此时M为抛物线的顶点(-2, -4)
-3/2 = (n - 4)/2, n = 1, N(-2, 1)
(ii) ON为对角线, 其中点Q(-1, n/2), Q也是MC的中点。
-1 = (-4 + m)/2, m = 2, M在抛物线上,则M(2, 0)
n/2 = (-3 + 0)/2, n = -3, N(-1, -3)
(iii) CN为对角线, 其中点Q(-3, (n-3)/2)也是OM的中点
-3 = (0 + m)/2, m = -6, M在抛物线上, M(-6, 0)
(n - 3)/2 = (0 + 0)/2, n = 3, N(-2, 3)
见图,三个平行四边形请自己画 1)BE=BH,BE⊥ BH
∵EF⊥ CD,∠CEF=90,∠ECF=45
∴∠EFC=∠ECF=45
∴EF=CE
∵EF//AD
∴∠AHM=∠MEF
∵∠AHM=∠MEF,∠AMH=∠EMF,AM=MF
∴△AHM≌△EFM(AAS)
∴AH=EF
∵EF=CE,AH=EF
∴AH=CE
∵AB=BC ,∠BAH=∠BCE=90,AH=CE
∴RT△ABH≌RT△BCE(SAS)
∴BH=BE,∠ABH=∠CBE
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=90,∠ABH=∠CBE
∴∠ABE+∠ABH=90
∵∠HBE=∠ABE+∠ABH
∴∠HBE=90
∴BE=BH,BE⊥ BH
2)BE=BH,BE⊥ BH
同(1)完全-样
3)∵BE⊥ BH
∴∠HBE=∠ABE+∠ABH=90
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=90 ,∠HBE=∠ABE+∠ABH=90
∠ABE+∠CBE=∠ABE+∠ABH=90
∴∠CBE=∠ABH
∵∠CBE=∠ABH ,∠BCE=∠BAH=90
∴RT△CBE∽ RT△ABH
∴BE/BH=BC/AB
∵BC/AB=K
∴BE/BH=K
∴BE=K*BH
初三数学二次函数压轴题通常包括求抛物线解析式、求最大值、求与坐标轴的交点坐标等问题。相关解释如下:
1、在平面直角坐标系中,二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,A点的坐标为(﹣3,0),B点在原点的左侧,与y轴交于点C(0,3),点P是直线BC上方的抛物线上一动点。
2、在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,且直线AB经过抛物线y=ax^2和直线y=kx+b(k为正常数)的交点A和点B,其中点A的坐标是(﹣2,1),点B的坐标是(4,3)。
3、已知抛物线y=ax^2和直线y=kx+b(k为正常数)交于点A和点B,其中点A的坐标是(﹣2,1),过点A作x轴的平行线交抛物线于点E,点D是抛物线上B、E之间的一个动点,设其横坐标为t,经过点D作两坐标轴的平行线分别交直线AB于点C、B,设CD=r,MD=m。
解答压轴题的技巧
1、杂的问题简单化:把一个复杂的问题,分解为一系列简单的问题,把复杂的图形,分成几个基本图形,找相似,找直角,找特殊图形,慢慢求解。已知条件出发,结合选项,通过观察、分析、猜想、计算等方法一一排除明显出错的答案,缩小思考范围,提高解题的速度。
弧PC长=圆O长/6=1/6piD=2pi
因为OD垂直于AB,PE垂直于AC
所以 在三角形AOD与三角形POE中 AO=PO 所以三角形AOD全等于三角形POE 所以OE=OD 连接BP,AP,PC (1)解:∵AC=12, ∴CO=6, ∴PC = 2π; 答:劣弧PC的长为:2π. (2)证明:∵PE⊥AC,OD⊥AB, ∠PEA=90°,∠ADO=90° 在△ADO和△PEO中, ∠ADO=∠PEO ∠AOD=∠POE OA=OP ∴△POE≌△AOD(AAS), ∴OD=EO; (3)证明:连接AP,PC, ∵OA=OP, ∴∠OAP=∠OPA, 由(2)得OD=EO, ∴∠ODE=∠OED, 又∵∠AOP=∠EOD, ∴∠OPA=∠ODE, ∴AP∥DF, ∵AC是直径, ∴∠APC=90°, ∴∠PQE=90° ∴PC⊥EF, 又∵DP∥BF, ∴∠ODE=∠EFC, ∵∠OED=∠CEF, ∴∠CEF=∠EFC, ∴CE=CF, ∴PC为EF的中垂线, ∴∠EPQ=∠QPF, ∵△CEP∽△CAP ∴∠EPQ=∠EAP, ∴∠QPF=∠EAP, ∴∠QPF=∠OPA, ∵∠OPA+∠OPC=90°, ∴∠QPF+∠OPC=90°, ∴OP⊥PF, ∴PF是⊙O的切线. O(∩_∩)O谢谢!不过我是帮你在网页上搜的。给小伙伴一个建议以后有不会的题可以直接去百度网页上搜,一般可以搜到的哦~ 解;(1)很容易知道A(4,2) B(0,2)C(-4,0),根据三点法求出抛物线解析式 y=-1/16x^2+1/4x+2 (2)由解析式,可得D(8,0),E(2,2) 设时间为t,则BP=t, DQ=3t 过P,E分别作x轴垂线,垂点为M、N,由POQE为等腰梯形,可得OM=NQ, 又BP=OM=t,NQ=ND-DQ=6-3t 由t=OM=QN=6-3t ,t=1.5秒 (3) 由于顶点不确定,有两种情况,分别为BP/BO=BO/OQ和BP/BO=OQ/BO 即t/2=2/(8-3t) (1) t/2=(8-3t)/2 (2) 由(1)可得t1=2/3 t2=2 由(2)可得t=2 综合 (1)(2)可知分别为t=2/3时,和t=2时,可满足相似条件。 (注,必须要分这两种情况讨论,要不不会给全分,因为t=2时,两个三角形为全等的等直角三角形) 希望对你有帮助,主要是思路 ,要是满意可加点分吗 一、图形运动产生的面积问题 知识点睛 研究_基本_图形 分析运动状态: ①由起点、终点确定t的范围; ②对t分段,根据运动趋势画图,找边与定点,通常是状态转折点相交时的特殊位置. 分段画图,选择适当方法表达面积. 二、精讲精练 已知,等边三角形ABC的边长为4厘米,长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上,沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时,点与点重合,点N到达点时运动终止),过点M、N分别作边的垂线,与△ABC的其他边交于P、Q两点,线段MN运动的时间为秒. (1)线段MN在运动的过程中,为何值时,四边形MNQP恰为矩形?并求出该矩形的面积. (2)线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t.求四边形MNQP的面积S随运动时间变化的函数关系式,并写出自变量t的取值范围. 1题图 2题图 如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=, CD=,高CE=,对角线AC、BD交于点H.平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发,沿AC方向向点C匀速平移,分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q,分别交对角线AC于F、G,当直线RQ到达点C时,两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为,被直线RQ扫过的面积为,若直线MN平移的速度为1单位/秒,直线RQ平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x秒. (1)填空:∠AHB=____________;AC=_____________; (2)若,求x. 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P、Q同时从点C出发,以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动,当点Q到达点B时,点P、Q同时停止运动.过点P作AC的垂线l交AB于点R,连接PQ、RQ,并作△PQR关于直线l对称的图形,得到△PQ'R.设点Q的运动时间为t(s),△PQ'R与△PAR重叠部分的面积为S(cm2). (1)t为何值时,点Q' 恰好落在AB上? (2)求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围. (3)S能否为?若能,求出此时t的值; 若不能,请说明理由. 如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=2cm,AC=4cm,动点P从点A出发,沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B同时出发,沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动.以AP为边向上作正方形APDE,过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为ts,正方形APDE和梯形BCFQ重叠部分的面积为Scm2. (1)当t=_____s时,点P与点Q重合; (2)当t=_____s时,点D在QF上; (3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时, 求S与t之间的函数关系式. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1)、D(-2,0),作直线AD并以线段AD为一边向上作正方形ABCD. (1)填空:点B的坐标为________,点C的坐标为_________. (2)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线DA向上平移,直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动.在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为S,求S关于平移时间t(秒)的函数关系式,并写出相应的自变量t的取值范围. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:y=x与直线l2:y=-x+6相交于点M,直线l2与x轴相交于点N. (1)求M,N的坐标. (2)已知矩形ABCD中,AB=1,BC=2,边AB在x轴上,矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN重叠部分的面积为S,移动的时间为t(从点B与点O重合时开始计时,到点A与点N重合时计时结束).求S与自变量t之间的函数关系式,并写出相应的自变量t的取值范围. 二、二次函数中的存在性问题 一、知识点睛 解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤: ①画图分析.研究确定图形,先画图解决其中一种情形. ②分类讨论.先验证①的结果是否合理,再找其他分类,类比第一种情形求解. ③验证取舍.结合点的运动范围,画图或推理,对结果取舍. 二、精讲精练 如图,已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点,将直线y=-2x沿y轴向上平移,分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似,请求出所有符合条件的点P的坐标. 抛物线与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于点C.点P在抛物线上,直线PQ//BC交x轴于点Q,连接BQ. (1)若含45°角的直角三角板如图所示放置,其中一个顶点与点C重合,直角顶点D在BQ上,另一个顶点E在PQ上,求直线BQ的函数解析式; (2)若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合,直角顶点D在直线BQ上(点D不与点Q重合),另一个顶点E在PQ上,求点P的坐标. 如图,矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上,且OD=10, OB=8.将矩形的边BC绕点B逆时针旋转,使点C恰好与x轴上的点A重合. (1)若抛物线经过A、B两点,求该抛物线的解析式:______________; (2)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点, 作MN⊥x轴于点N.是否存在点M,使△AMN 与△ACD相似?若存在,求出点M的坐标; 若不存在,说明理由. 已知抛物线经过A、B、C三点,点P(1,k)在直线BC:y=x3上,若点M在x轴上,点N在抛物线上,是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 抛物线与y轴交于点C,与直线y=x交于A(-2,-2)、B(2,2)两点.如图,线段MN在直线AB上移动,且,若点M的横坐标为m,过点M作x轴的垂线与x轴交于点P,过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q.以P、M、Q、N为顶点的四边形否为平行四边形?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由. 三、二次函数与几何综合 一、知识点睛 “二次函数与几何综合”思考流程: 整合信息时,下面两点可为我们提供便利: ①研究函数表达式.二次函数关注四点一线,一次函数关注k、b; ②)关键点坐标转线段长.找特殊图形、特殊位置关系,寻求边和角度信息. 二、精讲精练 如图,抛物线y=ax2-5ax+4(a<0)经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC. (1)求抛物线的解析式. (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使|MA-MB|? 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 如图,已知抛物线y=ax2-2ax-b(a>0)与x轴交于A、B两点,点A在点B的右侧,且点B的坐标为(-1,0),与y轴的负半轴交于点C,顶点为D.连接AC、CD,∠ACD=90°. (1)求抛物线的解析式; (2)点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上, 且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点的坐标. 如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为-8. (1)求该抛物线的解析式; (2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E.设△PDE的周长为l, 点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式,并求出l的值. 已知,抛物线经过A(-1,0),C(2,)两点, 与x轴交于另一点B. (1)求此抛物线的解析式; (2)若抛物线的顶点为M,点P为线段OB上一动点 (不与点B重合),点Q在线段MB上移动,且∠MPQ=45°,设线段OP=x,MQ=,求y2与x的函数关系式, 并直接写出自变量x的取值范围. 已知抛物线的对称轴为直线,且与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,-3). (1)求抛物线的解析式; (2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A), ①如图1,当△PBC的面积与△ABC的面积相等时,求点P的坐标; ②如图2,当∠PCB =∠BCA时,求直线CP的解析式. 四、中考数学压轴题专项训练 1.如图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,1),B(3,1).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过点P作PQ⊥OA,垂足为Q.设点P移动的时间为t秒(0 △OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S. (1)求经过O,A,B三点的抛物线解析式. (2)求S与t的函数关系式. (3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由. 2.如图,抛物线与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式及点D的坐标. (2)点E在x轴上,若以A,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P的坐标. (3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q.若将△CPQ沿CP翻折,点Q的对应点为Q′,是否存在点P,使点Q′恰好在x轴上?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由. 3.(11分)如图,已知直线与坐标轴交于A,B两点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A,D,C的抛物线与直线的另一个交点为E. (1)请直接写出C,D两点的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑,直至顶点D落在x轴上时停止,设正方形落在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间t的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围; (3)在(2)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时停止,求抛物线上C,E两点间的抛物线弧所扫过的面积. 4.(11分)如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3,0),点B(1,0),交y轴于点E(0,-3).点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线l过点F且与y轴平行.直线y=-x+m过点C,交y轴于点D. (1)求抛物线的解析式; (2)点K为线段AB上一动点,过点K作x轴的垂线,交直 线CD于点H,交抛物线于点G,求线段HG长度的值; (3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以A,C,M, N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标. 5.(11分)如图,在平面直角坐标系中,直线与 抛物线交于A,B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为-8. (1)求抛物线的解析式. (2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A,B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E. ①设△PDE的周长为l,点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式,并求出l的值. ②连接PA,以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动, 正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时, 直接写出对应的点P的坐标. 6.(11分)如图1,点A为抛物线C1:的顶点,点B的坐标为 (1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C. (1)求点C的坐标; (2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,平行于y轴的直线x=a交直线AB于点F,交抛物线C1于点G,若FG:DE=4:3,求a的值; (3)如图2,将抛物线C1向下平移m(m>0)个单位得到抛物线C2,且抛物线C2的顶点为P,交x轴负半轴于点M,交射线AB于点N,NQ⊥x轴于点Q,当NP平分∠MNQ时,求m的值. 附:参考答案 一、图形运动产生的面积问题 1. (1)当t=时,四边形MNQP恰为矩形.此时,该矩形的面积为平方厘米. (2) 当0<t≤1时,;当1<t≤2时,; 当2<t<3时, 2.(1)90°;4 (2)x=2. 3.(1)当t=时,点Q' 恰好落在AB上. (2)当0<t≤时,;当<t≤6时, (3)由(2)问可得,当0<t≤时, ; 当<t≤6时,; 解得,或,此时. 4.(1)1 (2)(3)当1<t≤时,; 当<t<2时,. 5.(1)(﹣1,3),(﹣3,2) (2)当0<t≤时,;当<t≤1时,; 当1<t≤时,. 6.(1)M(4,2) N(6,0)(2)当0≤t≤1时,; 当1<t≤4时,; 当4<t≤5时,; 当5<t≤6时,; 当6<t≤7时, 二、二次函数中的存在性问题 1.解:由题意,设OA=m,则OB=2m;当∠BAP=90°时, △BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA; 若△BAP∽△AOB,如图1, 可知△PMA∽△AOB,相似比为2:1;则P1(5m,2m), 代入,可知, 若△BAP∽△BOA,如图2, 可知△PMA∽△AOB,相似比为1:2;则P2(2m,), 代入,可知, 当∠ABP=90°时,△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA; 若△ABP∽△AOB,如图3, 可知△PMB∽△BOA,相似比为2:1;则P3(4m,4m), 代入,可知, 若△ABP∽△BOA,如图4, 可知△PMB∽△BOA,相似比为1:2;则P4(m,), 代入,可知, 2.解:(1)由抛物线解析式可得B点坐标(1,3). 要求直线BQ的函数解析式,只需求得点Q坐标即可,即求CQ长度. 过点D作DG⊥x轴于点G,过点D作DF⊥QP于点F. 则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF,∴矩形DGQF为正方形. 则∠DQG=45°,则△BCQ为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3,此时,Q点坐标为(4,0) 可得BQ解析式为y=-x+4. (2)要求P点坐标,只需求得点Q坐标,然后根据横坐标相同来求点P坐标即可. 而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°,所以分两种情况来讨论. 当∠DCE=30°时, a)过点D作DH⊥x轴于点H,过点D作DK⊥QP于点K. 则可证△DCH∽△DEK.则, 在矩形DHQK中,DK=HQ,则. 在Rt△DHQ中,∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中,∴CQ=,此时,Q点坐标为(1+,0) 则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P(1+,). b)又P、Q为动点,∴可能PQ在对称轴左侧,与上一种情形关于对称轴对称. 由对称性可得此时点P坐标为(1-,) 当∠DCE=60°时, 过点D作DM⊥x轴于点M,过点D作DN⊥QP于点N. 则可证△DCM∽△DEN.则, 在矩形DMQN中,DN=MQ,则. 在Rt△DMQ中,∠DQM=30°.则在Rt△BCQ中, ∴CQ=BC=,此时,Q点坐标为(1+,0) 则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P(1+,). b)又P、Q为动点,∴可能PQ在对称轴左侧,与上一种情形关于对称轴对称. 由对称性可得此时点P坐标为(1-,) 综上所述,P点坐标为(1+,),(1-,),(1+,)或(1-,). 3.解:(1)∵AB=BC=10,OB=8 ∴在Rt△OAB中,OA=6 ∴ A(6,0) 将A(6,0),B(0,-8)代入抛物线表达式,得, (2)存在: 如果△AMN与△ACD相似,则或 设M(0 假设点M在x轴下方的抛物线上,如图1所示: 当时,, 即∴∴ 如图2验证一下 当时,,即 ∴(舍) 2)如果点M在x轴上方的抛物线上: 当时,,即 ∴ ∴M 此时, ∴ ∴△AMN∽△ACD ∴M满足要求 当时,,即 ∴m=10(舍) 综上M1,M2 4.解:满足条件坐标为: 思路分析:A、M、N、P四点中点A、点P为顶点,则AP可为平行四边形边、对角线; (1)如图,当AP为平行四边形边时,平移AP; ∵点A、P纵坐标差为2 ∴点M、N纵坐标差为2; ∵点M的纵坐标为0 ∴点N的纵坐标为2或-2 ①当点N的纵坐标为2时 解: 得 又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为: 、 ②当点N的纵坐标为-2时 解: 得 又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为: 、 (2)当AP为平行四边形边对角线时; 设M5(m,0) MN一定过AP的中点(0,-1) 则N5(-m,-2),N5在抛物线上 ∴ (负值不符合题意,舍去) ∴ ∴ 综上所述: 符合条件点P的坐标为: 5.解:分析题意,可得:MP∥NQ,若以P、M、N、Q为顶点的四边形为平行四边形,只需MP=NQ即可。由题知:,,, 故只需表达MP、NQ即可.表达分下列四种情况: ①如图1,,,令PM=QN, 解得:(舍去),; ②如图2,,,令PM=QN, 解得:(舍去),; ③如图3,,,令PM=QN, 解得:,(舍去); ④如图4,,,令PM=QN, 解得:,(舍去); 综上,m的值为、、、. 三、二次函数与几何综合 解:(1)令x=0,则y=4, ∴点C的坐标为(0,4), ∵BC∥x轴,∴点B,C关于对称轴对称, 又∵抛物线y=ax2-5ax+4的对称轴是直线,即直线 ∴点B的坐标为(5,4),∴AC=BC=5, 在Rt△ACO中,OA=,∴点A的坐标为A(,0), ∵抛物线y=ax2-5ax+4经过点A,∴9a+15a+4=0,解得, ∴抛物线的解析式是 (2)存在,M(,) 理由:∵B,C关于对称轴对称,∴MB=MC,∴; ∴当点M在直线AC上时,值, 设直线AC的解析式为,则,解得,∴ 令,则,∴M(,) 2、解:(1)∵抛物线过点B(,0), ∴a+2a-b=0,∴b=3a,∴ 令y=0,则x=或x=3,∴A(3,0),∴OA=3, 令x=0,则y=-3a,∴C(0,a),∴OC=3a ∵D为抛物线的顶点,∴D(1,4a) 过点D作DM⊥y轴于点M,则∠AOC=∠CMD=90°, 又∵∠ACD+∠MCD=∠AOC+∠1,∠ACD=∠AOC=90° ∴∠MCD=∠1 ,∴△AOC∽△CMD,∴, ∵D(1,4a),∴DM=1,OM=4a,∴CM=a ∴,∴,∵a>0,∴a=1 ∴抛物线的解析式为: (2)当AB为平行四边形的边时,则BA∥EF,并且EF= BA =4 由于对称轴为直线x=1,∴点E的横坐标为1,∴点F的横坐标为5或者3 将x=5代入得y=12,∴F(5,12).将x=-3代入得y=12,∴F(-3,12). 当AB为平行四边形的对角线时,点F即为点D, ∴F(1,4). 综上所述,点F的坐标为(5,12),(3,12)或(1,4). 3、解:(1)对于,当y=0,x=2;当x=8时,y=. ∴A点坐标为(2,0),B点坐标为 由抛物线经过A、B两点,得 解得 (2)设直线与y轴交于点M 当x=0时,y=. ∴OM=. ∵点A的坐标为(2,0),∴OA=2,∴AM= ∴OM:OA:AM=3:4:5. 由题意得,∠PDE=∠OMA,∠AOM=∠PED=90°,∴△AOM ∽△PED. ∴DE:PE:PD=3:4:5 ∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点, ∴PD= 由题意知: 4、解:(1) ∵抛物线y1=ax22axb经过A(1,0),C(0,)两点, ∴,∴,∴抛物线的解析式为y1= x2x (2)解法一:过点M作MN⊥AB交AB于点N,连接AM 由y1= x2x可知顶点M(1,2) ,A(1,0),B(3,0),N(1,0) ∴AB=4,MN=BN=AN=2,AM=MB=. ∴△AMN和△BMN为等腰直角三角形. ∵∠MPA+∠QPB=∠MPA +∠PMA=135° ∴∠QPB=∠PMA 又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA ∴ 将AM=,AP=x+1,BP=3-x,BQ=代入, 可得,即. ∵点P为线段OB上一动点 (不与点B重合)∴0x<3 则y2与x的函数关系式为y2=x2x(0x<3) 解法二: 过点M作MN⊥AB交AB于点N. 由y1= x2x易得M(1,2),N(1,0),A(1,0),B(3,0), ∴AB=4,MN=BN=2,MB=2,MBN=45. 根据勾股定理有BM 2BN 2=PM 2PN 2. ∴…①, 又MPQ=45=MBP,∴△MPQ∽△MBP,∴=y22 由、得y2=x2x. ∵0x<3,∴y2与x的函数关系式为y2=x2x(0x<3) 5、解:(1)由题意,得,解得 ∴抛物线的解析式为. (2)①令,解得 ∴B(3, 0) 则直线BC的解析式为 当点P在x轴上方时,如图1, 过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P,∴设直线AP的解析式为, ∵直线AP过点A(1,0),∴直线AP的解析式为,交y轴于点. 解方程组,得 ∴点 当点P在x轴下方时,如图1, 根据点,可知需把直线BC向下平移2个单位,此时交抛物线于点, 得直线的解析式为, 解方程组,得 综上所述,点P的坐标为: ②过点B作AB的垂线,交CP于点F.如图2,∵ ∴OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45° ∴∠CBF=∠ABC=45° 又∵∠PCB=∠BCA,BC=BC ∴△ACB≌△FCB ∴BF=BA=2,则点F(3,-2)又∵CP过点F,点C ∴直线CP的解析式为. 四、中考数学压轴题专项训练答案 1.(1); (2); (3)t=1或2. 2.(1),; (2); (3)存在,点P的坐标为. 3.(1),; (2); (3)15. 4.(1); (2); (3). 5.(1); (2)①,当时,; ②. 6.(1); (2); (3).初三数学压轴题100题及答案
初三数学压轴题100题精选
先做二次函数,几何后来再看。
(1) 显然A(-6, 0), B(0, -3)
将B的坐标代入抛物线, 得c = -3, y = x²/4 + bx - 3
代入A的坐标: (-6)²/4 - 6b - 3 = 0, b = 1
y = x²/4 + x - 3
(2)
AB的长度为定值,只需P与其距离最大即可。设想将AB想左下方平移,直至与抛物线相切,切点即为P。令过P的切线为y = -x/2 + t, 与抛物线联立并整理: x² + 6x - 4t - 12 = 0
要使其有相等的根,须-4t - 12 = 9, 上式变为(x+3)² = 0, P(-3, -15/4)
AB = √[(-6)² + (-3)²] = 3√5
AB: x + 2y + 6 = 0, P与其距离h = |-3 + 2(-15/4) + 6|/√(1² + 2²) = 9/(2√5)
S = (1/2)*AB*h = 27/4
(3)
y = x²/4 + x - 3 = -3, x = 0 (点B), x = -4, C(-4, -3)
B,C关于对称轴对称, 对称轴为x = (-4+0)/2 = -2
令N(-2, n), M(m, m')
(i)OC为对角线, 其中点Q(-2, -3/2)
Q也是MN的中点
-2 = (-2 + m)/2, m = -2, 此时M为抛物线的顶点(-2, -4)
-3/2 = (n - 4)/2, n = 1, N(-2, 1)
(ii) ON为对角线, 其中点Q(-1, n/2), Q也是MC的中点。
-1 = (-4 + m)/2, m = 2, M在抛物线上,则M(2, 0)
n/2 = (-3 + 0)/2, n = -3, N(-1, -3)
(iii) CN为对角线, 其中点Q(-3, (n-3)/2)也是OM的中点
-3 = (0 + m)/2, m = -6, M在抛物线上, M(-6, 0)
(n - 3)/2 = (0 + 0)/2, n = 3, N(-2, 3)
见图,三个平行四边形请自己画 1)BE=BH,BE⊥ BH
∵EF⊥ CD,∠CEF=90,∠ECF=45
∴∠EFC=∠ECF=45
∴EF=CE
∵EF//AD
∴∠AHM=∠MEF
∵∠AHM=∠MEF,∠AMH=∠EMF,AM=MF
∴△AHM≌△EFM(AAS)
∴AH=EF
∵EF=CE,AH=EF
∴AH=CE
∵AB=BC ,∠BAH=∠BCE=90,AH=CE
∴RT△ABH≌RT△BCE(SAS)
∴BH=BE,∠ABH=∠CBE
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=90,∠ABH=∠CBE
∴∠ABE+∠ABH=90
∵∠HBE=∠ABE+∠ABH
∴∠HBE=90
∴BE=BH,BE⊥ BH
2)BE=BH,BE⊥ BH
同(1)完全-样
3)∵BE⊥ BH
∴∠HBE=∠ABE+∠ABH=90
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=90 ,∠HBE=∠ABE+∠ABH=90
∠ABE+∠CBE=∠ABE+∠ABH=90
∴∠CBE=∠ABH
∵∠CBE=∠ABH ,∠BCE=∠BAH=90
∴RT△CBE∽ RT△ABH
∴BE/BH=BC/AB
∵BC/AB=K
∴BE/BH=K
∴BE=K*BH
初三数学二次函数压轴题通常包括求抛物线解析式、求最大值、求与坐标轴的交点坐标等问题。相关解释如下:
1、在平面直角坐标系中,二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,A点的坐标为(﹣3,0),B点在原点的左侧,与y轴交于点C(0,3),点P是直线BC上方的抛物线上一动点。
2、在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,且直线AB经过抛物线y=ax^2和直线y=kx+b(k为正常数)的交点A和点B,其中点A的坐标是(﹣2,1),点B的坐标是(4,3)。
3、已知抛物线y=ax^2和直线y=kx+b(k为正常数)交于点A和点B,其中点A的坐标是(﹣2,1),过点A作x轴的平行线交抛物线于点E,点D是抛物线上B、E之间的一个动点,设其横坐标为t,经过点D作两坐标轴的平行线分别交直线AB于点C、B,设CD=r,MD=m。
解答压轴题的技巧
1、杂的问题简单化:把一个复杂的问题,分解为一系列简单的问题,把复杂的图形,分成几个基本图形,找相似,找直角,找特殊图形,慢慢求解。已知条件出发,结合选项,通过观察、分析、猜想、计算等方法一一排除明显出错的答案,缩小思考范围,提高解题的速度。
弧PC长=圆O长/6=1/6piD=2pi
因为OD垂直于AB,PE垂直于AC
所以 在三角形AOD与三角形POE中 AO=PO 所以三角形AOD全等于三角形POE 所以OE=OD 连接BP,AP,PC (1)解:∵AC=12, ∴CO=6, ∴PC = 2π; 答:劣弧PC的长为:2π. (2)证明:∵PE⊥AC,OD⊥AB, ∠PEA=90°,∠ADO=90° 在△ADO和△PEO中, ∠ADO=∠PEO ∠AOD=∠POE OA=OP ∴△POE≌△AOD(AAS), ∴OD=EO; (3)证明:连接AP,PC, ∵OA=OP, ∴∠OAP=∠OPA, 由(2)得OD=EO, ∴∠ODE=∠OED, 又∵∠AOP=∠EOD, ∴∠OPA=∠ODE, ∴AP∥DF, ∵AC是直径, ∴∠APC=90°, ∴∠PQE=90° ∴PC⊥EF, 又∵DP∥BF, ∴∠ODE=∠EFC, ∵∠OED=∠CEF, ∴∠CEF=∠EFC, ∴CE=CF, ∴PC为EF的中垂线, ∴∠EPQ=∠QPF, ∵△CEP∽△CAP ∴∠EPQ=∠EAP, ∴∠QPF=∠EAP, ∴∠QPF=∠OPA, ∵∠OPA+∠OPC=90°, ∴∠QPF+∠OPC=90°, ∴OP⊥PF, ∴PF是⊙O的切线. O(∩_∩)O谢谢!不过我是帮你在网页上搜的。给小伙伴一个建议以后有不会的题可以直接去百度网页上搜,一般可以搜到的哦~ 解;(1)很容易知道A(4,2) B(0,2)C(-4,0),根据三点法求出抛物线解析式 y=-1/16x^2+1/4x+2 (2)由解析式,可得D(8,0),E(2,2) 设时间为t,则BP=t, DQ=3t 过P,E分别作x轴垂线,垂点为M、N,由POQE为等腰梯形,可得OM=NQ, 又BP=OM=t,NQ=ND-DQ=6-3t 由t=OM=QN=6-3t ,t=1.5秒 (3) 由于顶点不确定,有两种情况,分别为BP/BO=BO/OQ和BP/BO=OQ/BO 即t/2=2/(8-3t) (1) t/2=(8-3t)/2 (2) 由(1)可得t1=2/3 t2=2 由(2)可得t=2 综合 (1)(2)可知分别为t=2/3时,和t=2时,可满足相似条件。 (注,必须要分这两种情况讨论,要不不会给全分,因为t=2时,两个三角形为全等的等直角三角形) 希望对你有帮助,主要是思路 ,要是满意可加点分吗 一、图形运动产生的面积问题 知识点睛 研究_基本_图形 分析运动状态: ①由起点、终点确定t的范围; ②对t分段,根据运动趋势画图,找边与定点,通常是状态转折点相交时的特殊位置. 分段画图,选择适当方法表达面积. 二、精讲精练 已知,等边三角形ABC的边长为4厘米,长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上,沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时,点与点重合,点N到达点时运动终止),过点M、N分别作边的垂线,与△ABC的其他边交于P、Q两点,线段MN运动的时间为秒. (1)线段MN在运动的过程中,为何值时,四边形MNQP恰为矩形?并求出该矩形的面积. (2)线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t.求四边形MNQP的面积S随运动时间变化的函数关系式,并写出自变量t的取值范围. 1题图 2题图 如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=, CD=,高CE=,对角线AC、BD交于点H.平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发,沿AC方向向点C匀速平移,分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q,分别交对角线AC于F、G,当直线RQ到达点C时,两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为,被直线RQ扫过的面积为,若直线MN平移的速度为1单位/秒,直线RQ平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x秒. (1)填空:∠AHB=____________;AC=_____________; (2)若,求x. 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P、Q同时从点C出发,以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动,当点Q到达点B时,点P、Q同时停止运动.过点P作AC的垂线l交AB于点R,连接PQ、RQ,并作△PQR关于直线l对称的图形,得到△PQ'R.设点Q的运动时间为t(s),△PQ'R与△PAR重叠部分的面积为S(cm2). (1)t为何值时,点Q' 恰好落在AB上? (2)求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围. (3)S能否为?若能,求出此时t的值; 若不能,请说明理由. 如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=2cm,AC=4cm,动点P从点A出发,沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B同时出发,沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动.以AP为边向上作正方形APDE,过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为ts,正方形APDE和梯形BCFQ重叠部分的面积为Scm2. (1)当t=_____s时,点P与点Q重合; (2)当t=_____s时,点D在QF上; (3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时, 求S与t之间的函数关系式. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1)、D(-2,0),作直线AD并以线段AD为一边向上作正方形ABCD. (1)填空:点B的坐标为________,点C的坐标为_________. (2)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线DA向上平移,直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动.在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为S,求S关于平移时间t(秒)的函数关系式,并写出相应的自变量t的取值范围. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:y=x与直线l2:y=-x+6相交于点M,直线l2与x轴相交于点N. (1)求M,N的坐标. (2)已知矩形ABCD中,AB=1,BC=2,边AB在x轴上,矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN重叠部分的面积为S,移动的时间为t(从点B与点O重合时开始计时,到点A与点N重合时计时结束).求S与自变量t之间的函数关系式,并写出相应的自变量t的取值范围. 二、二次函数中的存在性问题 一、知识点睛 解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤: ①画图分析.研究确定图形,先画图解决其中一种情形. ②分类讨论.先验证①的结果是否合理,再找其他分类,类比第一种情形求解. ③验证取舍.结合点的运动范围,画图或推理,对结果取舍. 二、精讲精练 如图,已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点,将直线y=-2x沿y轴向上平移,分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似,请求出所有符合条件的点P的坐标. 抛物线与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于点C.点P在抛物线上,直线PQ//BC交x轴于点Q,连接BQ. (1)若含45°角的直角三角板如图所示放置,其中一个顶点与点C重合,直角顶点D在BQ上,另一个顶点E在PQ上,求直线BQ的函数解析式; (2)若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合,直角顶点D在直线BQ上(点D不与点Q重合),另一个顶点E在PQ上,求点P的坐标. 如图,矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上,且OD=10, OB=8.将矩形的边BC绕点B逆时针旋转,使点C恰好与x轴上的点A重合. (1)若抛物线经过A、B两点,求该抛物线的解析式:______________; (2)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点, 作MN⊥x轴于点N.是否存在点M,使△AMN 与△ACD相似?若存在,求出点M的坐标; 若不存在,说明理由. 已知抛物线经过A、B、C三点,点P(1,k)在直线BC:y=x3上,若点M在x轴上,点N在抛物线上,是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 抛物线与y轴交于点C,与直线y=x交于A(-2,-2)、B(2,2)两点.如图,线段MN在直线AB上移动,且,若点M的横坐标为m,过点M作x轴的垂线与x轴交于点P,过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q.以P、M、Q、N为顶点的四边形否为平行四边形?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由. 三、二次函数与几何综合 一、知识点睛 “二次函数与几何综合”思考流程: 整合信息时,下面两点可为我们提供便利: ①研究函数表达式.二次函数关注四点一线,一次函数关注k、b; ②)关键点坐标转线段长.找特殊图形、特殊位置关系,寻求边和角度信息. 二、精讲精练 如图,抛物线y=ax2-5ax+4(a<0)经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC. (1)求抛物线的解析式. (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使|MA-MB|? 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 如图,已知抛物线y=ax2-2ax-b(a>0)与x轴交于A、B两点,点A在点B的右侧,且点B的坐标为(-1,0),与y轴的负半轴交于点C,顶点为D.连接AC、CD,∠ACD=90°. (1)求抛物线的解析式; (2)点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上, 且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点的坐标. 如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为-8. (1)求该抛物线的解析式; (2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E.设△PDE的周长为l, 点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式,并求出l的值. 已知,抛物线经过A(-1,0),C(2,)两点, 与x轴交于另一点B. (1)求此抛物线的解析式; (2)若抛物线的顶点为M,点P为线段OB上一动点 (不与点B重合),点Q在线段MB上移动,且∠MPQ=45°,设线段OP=x,MQ=,求y2与x的函数关系式, 并直接写出自变量x的取值范围. 已知抛物线的对称轴为直线,且与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,-3). (1)求抛物线的解析式; (2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A), ①如图1,当△PBC的面积与△ABC的面积相等时,求点P的坐标; ②如图2,当∠PCB =∠BCA时,求直线CP的解析式. 四、中考数学压轴题专项训练 1.如图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,1),B(3,1).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过点P作PQ⊥OA,垂足为Q.设点P移动的时间为t秒(0 △OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S. (1)求经过O,A,B三点的抛物线解析式. (2)求S与t的函数关系式. (3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由. 2.如图,抛物线与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式及点D的坐标. (2)点E在x轴上,若以A,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P的坐标. (3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q.若将△CPQ沿CP翻折,点Q的对应点为Q′,是否存在点P,使点Q′恰好在x轴上?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由. 3.(11分)如图,已知直线与坐标轴交于A,B两点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A,D,C的抛物线与直线的另一个交点为E. (1)请直接写出C,D两点的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑,直至顶点D落在x轴上时停止,设正方形落在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间t的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围; (3)在(2)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时停止,求抛物线上C,E两点间的抛物线弧所扫过的面积. 4.(11分)如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3,0),点B(1,0),交y轴于点E(0,-3).点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线l过点F且与y轴平行.直线y=-x+m过点C,交y轴于点D. (1)求抛物线的解析式; (2)点K为线段AB上一动点,过点K作x轴的垂线,交直 线CD于点H,交抛物线于点G,求线段HG长度的值; (3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以A,C,M, N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标. 5.(11分)如图,在平面直角坐标系中,直线与 抛物线交于A,B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为-8. (1)求抛物线的解析式. (2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A,B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为C,交直线AB于点D,作PE⊥AB于点E. ①设△PDE的周长为l,点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式,并求出l的值. ②连接PA,以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动, 正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时, 直接写出对应的点P的坐标. 6.(11分)如图1,点A为抛物线C1:的顶点,点B的坐标为 (1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C. (1)求点C的坐标; (2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,平行于y轴的直线x=a交直线AB于点F,交抛物线C1于点G,若FG:DE=4:3,求a的值; (3)如图2,将抛物线C1向下平移m(m>0)个单位得到抛物线C2,且抛物线C2的顶点为P,交x轴负半轴于点M,交射线AB于点N,NQ⊥x轴于点Q,当NP平分∠MNQ时,求m的值. 附:参考答案 一、图形运动产生的面积问题 1. (1)当t=时,四边形MNQP恰为矩形.此时,该矩形的面积为平方厘米. (2) 当0<t≤1时,;当1<t≤2时,; 当2<t<3时, 2.(1)90°;4 (2)x=2. 3.(1)当t=时,点Q' 恰好落在AB上. (2)当0<t≤时,;当<t≤6时, (3)由(2)问可得,当0<t≤时, ; 当<t≤6时,; 解得,或,此时. 4.(1)1 (2)(3)当1<t≤时,; 当<t<2时,. 5.(1)(﹣1,3),(﹣3,2) (2)当0<t≤时,;当<t≤1时,; 当1<t≤时,. 6.(1)M(4,2) N(6,0)(2)当0≤t≤1时,; 当1<t≤4时,; 当4<t≤5时,; 当5<t≤6时,; 当6<t≤7时, 二、二次函数中的存在性问题 1.解:由题意,设OA=m,则OB=2m;当∠BAP=90°时, △BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA; 若△BAP∽△AOB,如图1, 可知△PMA∽△AOB,相似比为2:1;则P1(5m,2m), 代入,可知, 若△BAP∽△BOA,如图2, 可知△PMA∽△AOB,相似比为1:2;则P2(2m,), 代入,可知, 当∠ABP=90°时,△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA; 若△ABP∽△AOB,如图3, 可知△PMB∽△BOA,相似比为2:1;则P3(4m,4m), 代入,可知, 若△ABP∽△BOA,如图4, 可知△PMB∽△BOA,相似比为1:2;则P4(m,), 代入,可知, 2.解:(1)由抛物线解析式可得B点坐标(1,3). 要求直线BQ的函数解析式,只需求得点Q坐标即可,即求CQ长度. 过点D作DG⊥x轴于点G,过点D作DF⊥QP于点F. 则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF,∴矩形DGQF为正方形. 则∠DQG=45°,则△BCQ为等腰直角三角形.∴CQ=BC=3,此时,Q点坐标为(4,0) 可得BQ解析式为y=-x+4. (2)要求P点坐标,只需求得点Q坐标,然后根据横坐标相同来求点P坐标即可. 而题目当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°,所以分两种情况来讨论. 当∠DCE=30°时, a)过点D作DH⊥x轴于点H,过点D作DK⊥QP于点K. 则可证△DCH∽△DEK.则, 在矩形DHQK中,DK=HQ,则. 在Rt△DHQ中,∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中,∴CQ=,此时,Q点坐标为(1+,0) 则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P(1+,). b)又P、Q为动点,∴可能PQ在对称轴左侧,与上一种情形关于对称轴对称. 由对称性可得此时点P坐标为(1-,) 当∠DCE=60°时, 过点D作DM⊥x轴于点M,过点D作DN⊥QP于点N. 则可证△DCM∽△DEN.则, 在矩形DMQN中,DN=MQ,则. 在Rt△DMQ中,∠DQM=30°.则在Rt△BCQ中, ∴CQ=BC=,此时,Q点坐标为(1+,0) 则P点横坐标为1+.代入可得纵坐标.∴P(1+,). b)又P、Q为动点,∴可能PQ在对称轴左侧,与上一种情形关于对称轴对称. 由对称性可得此时点P坐标为(1-,) 综上所述,P点坐标为(1+,),(1-,),(1+,)或(1-,). 3.解:(1)∵AB=BC=10,OB=8 ∴在Rt△OAB中,OA=6 ∴ A(6,0) 将A(6,0),B(0,-8)代入抛物线表达式,得, (2)存在: 如果△AMN与△ACD相似,则或 设M(0 假设点M在x轴下方的抛物线上,如图1所示: 当时,, 即∴∴ 如图2验证一下 当时,,即 ∴(舍) 2)如果点M在x轴上方的抛物线上: 当时,,即 ∴ ∴M 此时, ∴ ∴△AMN∽△ACD ∴M满足要求 当时,,即 ∴m=10(舍) 综上M1,M2 4.解:满足条件坐标为: 思路分析:A、M、N、P四点中点A、点P为顶点,则AP可为平行四边形边、对角线; (1)如图,当AP为平行四边形边时,平移AP; ∵点A、P纵坐标差为2 ∴点M、N纵坐标差为2; ∵点M的纵坐标为0 ∴点N的纵坐标为2或-2 ①当点N的纵坐标为2时 解: 得 又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为: 、 ②当点N的纵坐标为-2时 解: 得 又∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为: 、 (2)当AP为平行四边形边对角线时; 设M5(m,0) MN一定过AP的中点(0,-1) 则N5(-m,-2),N5在抛物线上 ∴ (负值不符合题意,舍去) ∴ ∴ 综上所述: 符合条件点P的坐标为: 5.解:分析题意,可得:MP∥NQ,若以P、M、N、Q为顶点的四边形为平行四边形,只需MP=NQ即可。由题知:,,, 故只需表达MP、NQ即可.表达分下列四种情况: ①如图1,,,令PM=QN, 解得:(舍去),; ②如图2,,,令PM=QN, 解得:(舍去),; ③如图3,,,令PM=QN, 解得:,(舍去); ④如图4,,,令PM=QN, 解得:,(舍去); 综上,m的值为、、、. 三、二次函数与几何综合 解:(1)令x=0,则y=4, ∴点C的坐标为(0,4), ∵BC∥x轴,∴点B,C关于对称轴对称, 又∵抛物线y=ax2-5ax+4的对称轴是直线,即直线 ∴点B的坐标为(5,4),∴AC=BC=5, 在Rt△ACO中,OA=,∴点A的坐标为A(,0), ∵抛物线y=ax2-5ax+4经过点A,∴9a+15a+4=0,解得, ∴抛物线的解析式是 (2)存在,M(,) 理由:∵B,C关于对称轴对称,∴MB=MC,∴; ∴当点M在直线AC上时,值, 设直线AC的解析式为,则,解得,∴ 令,则,∴M(,) 2、解:(1)∵抛物线过点B(,0), ∴a+2a-b=0,∴b=3a,∴ 令y=0,则x=或x=3,∴A(3,0),∴OA=3, 令x=0,则y=-3a,∴C(0,a),∴OC=3a ∵D为抛物线的顶点,∴D(1,4a) 过点D作DM⊥y轴于点M,则∠AOC=∠CMD=90°, 又∵∠ACD+∠MCD=∠AOC+∠1,∠ACD=∠AOC=90° ∴∠MCD=∠1 ,∴△AOC∽△CMD,∴, ∵D(1,4a),∴DM=1,OM=4a,∴CM=a ∴,∴,∵a>0,∴a=1 ∴抛物线的解析式为: (2)当AB为平行四边形的边时,则BA∥EF,并且EF= BA =4 由于对称轴为直线x=1,∴点E的横坐标为1,∴点F的横坐标为5或者3 将x=5代入得y=12,∴F(5,12).将x=-3代入得y=12,∴F(-3,12). 当AB为平行四边形的对角线时,点F即为点D, ∴F(1,4). 综上所述,点F的坐标为(5,12),(3,12)或(1,4). 3、解:(1)对于,当y=0,x=2;当x=8时,y=. ∴A点坐标为(2,0),B点坐标为 由抛物线经过A、B两点,得 解得 (2)设直线与y轴交于点M 当x=0时,y=. ∴OM=. ∵点A的坐标为(2,0),∴OA=2,∴AM= ∴OM:OA:AM=3:4:5. 由题意得,∠PDE=∠OMA,∠AOM=∠PED=90°,∴△AOM ∽△PED. ∴DE:PE:PD=3:4:5 ∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点, ∴PD= 由题意知: 4、解:(1) ∵抛物线y1=ax22axb经过A(1,0),C(0,)两点, ∴,∴,∴抛物线的解析式为y1= x2x (2)解法一:过点M作MN⊥AB交AB于点N,连接AM 由y1= x2x可知顶点M(1,2) ,A(1,0),B(3,0),N(1,0) ∴AB=4,MN=BN=AN=2,AM=MB=. ∴△AMN和△BMN为等腰直角三角形. ∵∠MPA+∠QPB=∠MPA +∠PMA=135° ∴∠QPB=∠PMA 又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA ∴ 将AM=,AP=x+1,BP=3-x,BQ=代入, 可得,即. ∵点P为线段OB上一动点 (不与点B重合)∴0x<3 则y2与x的函数关系式为y2=x2x(0x<3) 解法二: 过点M作MN⊥AB交AB于点N. 由y1= x2x易得M(1,2),N(1,0),A(1,0),B(3,0), ∴AB=4,MN=BN=2,MB=2,MBN=45. 根据勾股定理有BM 2BN 2=PM 2PN 2. ∴…①, 又MPQ=45=MBP,∴△MPQ∽△MBP,∴=y22 由、得y2=x2x. ∵0x<3,∴y2与x的函数关系式为y2=x2x(0x<3) 5、解:(1)由题意,得,解得 ∴抛物线的解析式为. (2)①令,解得 ∴B(3, 0) 则直线BC的解析式为 当点P在x轴上方时,如图1, 过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P,∴设直线AP的解析式为, ∵直线AP过点A(1,0),∴直线AP的解析式为,交y轴于点. 解方程组,得 ∴点 当点P在x轴下方时,如图1, 根据点,可知需把直线BC向下平移2个单位,此时交抛物线于点, 得直线的解析式为, 解方程组,得 综上所述,点P的坐标为: ②过点B作AB的垂线,交CP于点F.如图2,∵ ∴OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45° ∴∠CBF=∠ABC=45° 又∵∠PCB=∠BCA,BC=BC ∴△ACB≌△FCB ∴BF=BA=2,则点F(3,-2)又∵CP过点F,点C ∴直线CP的解析式为. 四、中考数学压轴题专项训练答案 1.(1); (2); (3)t=1或2. 2.(1),; (2); (3)存在,点P的坐标为. 3.(1),; (2); (3)15. 4.(1); (2); (3). 5.(1); (2)①,当时,; ②. 6.(1); (2); (3).初三数学压轴题100题及答案
初三数学压轴题100题精选