绝对值不等式的基本公式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
推导绝对值不等式:首先,考虑两个数a和b,其中a≥b。根据绝对值的定义,有|a|=a,|b|=b。因此,有|a|-|b|=a-b≥0。同理,如果a≤b,则我们有|a|-|b|=a-b≤0。因此,我们得到以下不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
这个不等式表明了绝对值不等式的形式。它告诉我们,两个数的差的绝对值小于或等于它们的和的绝对值。这个不等式在数学中有着广泛的应用,它可以用于估计方程的解的范围、估计数值的大小等等。
假设有两个点A和B,它们在数轴上的坐标分别为a和b。数轴上AB的长度可以用|a-b|来度量。如果我们考虑A和B之间的距离,则这个距离可以用|a±b|来度量。根据绝对值不等式,我们有|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
这个不等式告诉我们,A和B之间的距离大于或等于它们到原点的距离之差,小于或等于它们到原点的距离之和。最后,来看一个绝对值不等式的实际应用。假设有一个长方形的长和宽分别为a和b,且a>b。我们知道,这个长方形的面积可以用ab来计算。
绝对值不等式的公式为:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离,用“| |”来表示。|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。绝对值不等式的公式为:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
绝对值重要不等式推导过程:
我们知道|x|={x,(x>0);x,(x=0);-x,(x<0);
因此,有:
-|a|≤a≤|a|......①
-|b|≤b≤|b|......②
-|b|≤-b≤|b|......③
由①+②得:
-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|
即|a+b|≤|a|+|b|......④
由①+③得:
-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|
即|a-b|≤|a|+|b|......⑤
另:
|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|
|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|
由④知:
|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|=>|a|-|b|≤|a+b|.......⑥
|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|=>|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦
|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|=>|a|-|b|≤|a-b|.......⑧
|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|=>|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨
由⑥,⑦得:
| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩
由⑧,⑨得:
| |a|-|b| |≤|a-b|......?
综合④⑤⑩?得到有关绝对值的重要不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
要注意等号成立的条件(特别是求最值),即:
|a-b|=|a|+|b|→ab≤0
|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0
|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0
注:|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|(a+b)-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0
同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0。 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
绝对值不等式公式只有一个,是||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|。|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。
当a,b同号时它们位于原点的同一边,此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。当a,b异号时它们分别位于原点的两边,此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。(|a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a与b之间的距离)。
绝对值重要不等式推导过程
我们知道|x|={x,(x>0);x,(x=0);-x,(x<0);
因此,有:
-|a|≤a≤|a| ......①
-|b|≤b≤|b| ......②
-|b|≤-b≤|b|......③
考研七个基本不等式是考研数学中常用的重要不等式,它们在证明题、求解最值等问题中有着广泛的应用。以下是七个基本不等式的概念和推导过程:
平均不等式:对于任意的实数x和y,有|x+y|/2≥√xy,当且仅当x=y时等号成立。
柯西-施瓦茨不等式:对于任意的实数x1,x2,……,xn和y1,y2,……,yn,有|∑(i=1->n)xiyi| ≤ sqrt(n(∑(i=1->n)xi^2)*(∑(i=1->n)yi^2)),当且仅当x1/y1=x2/y2=……=xn/yn时等号成立。
切比雪夫不等式:对于任意的实数x1,x2,……,xn和y1,y2,……,yn,有|∑(i=1->n)xiyi - x拔y拔| ≤ sqrt((∑(i=1->n)(xi - x拔)^2)*(∑(i=1->n)(yi - y拔)^2)),当且仅当x1/y1=x2/y2=……=xn/yn时等号成立。
绝对值不等式的基本公式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
推导绝对值不等式:首先,考虑两个数a和b,其中a≥b。根据绝对值的定义,有|a|=a,|b|=b。因此,有|a|-|b|=a-b≥0。同理,如果a≤b,则我们有|a|-|b|=a-b≤0。因此,我们得到以下不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
这个不等式表明了绝对值不等式的形式。它告诉我们,两个数的差的绝对值小于或等于它们的和的绝对值。这个不等式在数学中有着广泛的应用,它可以用于估计方程的解的范围、估计数值的大小等等。
假设有两个点A和B,它们在数轴上的坐标分别为a和b。数轴上AB的长度可以用|a-b|来度量。如果我们考虑A和B之间的距离,则这个距离可以用|a±b|来度量。根据绝对值不等式,我们有|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
这个不等式告诉我们,A和B之间的距离大于或等于它们到原点的距离之差,小于或等于它们到原点的距离之和。最后,来看一个绝对值不等式的实际应用。假设有一个长方形的长和宽分别为a和b,且a>b。我们知道,这个长方形的面积可以用ab来计算。
绝对值不等式的公式为:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离,用“| |”来表示。|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。绝对值不等式的公式为:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
绝对值重要不等式推导过程:
我们知道|x|={x,(x>0);x,(x=0);-x,(x<0);
因此,有:
-|a|≤a≤|a|......①
-|b|≤b≤|b|......②
-|b|≤-b≤|b|......③
由①+②得:
-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|
即|a+b|≤|a|+|b|......④
由①+③得:
-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|
即|a-b|≤|a|+|b|......⑤
另:
|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|
|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|
由④知:
|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|=>|a|-|b|≤|a+b|.......⑥
|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|=>|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦
|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|=>|a|-|b|≤|a-b|.......⑧
|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|=>|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨
由⑥,⑦得:
| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩
由⑧,⑨得:
| |a|-|b| |≤|a-b|......?
综合④⑤⑩?得到有关绝对值的重要不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
要注意等号成立的条件(特别是求最值),即:
|a-b|=|a|+|b|→ab≤0
|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0
|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0
注:|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|(a+b)-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0
同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0。 ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
绝对值不等式公式只有一个,是||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|。|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。
当a,b同号时它们位于原点的同一边,此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。当a,b异号时它们分别位于原点的两边,此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。(|a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a与b之间的距离)。
绝对值重要不等式推导过程
我们知道|x|={x,(x>0);x,(x=0);-x,(x<0);
因此,有:
-|a|≤a≤|a| ......①
-|b|≤b≤|b| ......②
-|b|≤-b≤|b|......③
考研七个基本不等式是考研数学中常用的重要不等式,它们在证明题、求解最值等问题中有着广泛的应用。以下是七个基本不等式的概念和推导过程:
平均不等式:对于任意的实数x和y,有|x+y|/2≥√xy,当且仅当x=y时等号成立。
柯西-施瓦茨不等式:对于任意的实数x1,x2,……,xn和y1,y2,……,yn,有|∑(i=1->n)xiyi| ≤ sqrt(n(∑(i=1->n)xi^2)*(∑(i=1->n)yi^2)),当且仅当x1/y1=x2/y2=……=xn/yn时等号成立。
切比雪夫不等式:对于任意的实数x1,x2,……,xn和y1,y2,……,yn,有|∑(i=1->n)xiyi - x拔y拔| ≤ sqrt((∑(i=1->n)(xi - x拔)^2)*(∑(i=1->n)(yi - y拔)^2)),当且仅当x1/y1=x2/y2=……=xn/yn时等号成立。