一元二次方程的解法有公式法、配方法、直接开平方法、因式分解法。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)。其中ax²叫作二次项,a是二次项系数;bx叫作一次项,b是一次项系数;c叫作常数项。
怎样求解一元二次方程
方法一、公式法
先判断△=b²-4ac,
若△<0原方程无实根;
若△=0,
原方程有两个相同的解为:
X=-b/(2a);
若△>0,
原方程的解为:
X=((-b)±√(△))/(2a)。
方法二、配方法
先把常数c移到方程右边得:
aX²+bX=-c
将二次项系数化为1得:
X²+(b/a)X=- c/a
方程两边分别加上(b/a)的一半的平方得:
X²+(b/a)X +(b/(2a))²=- c/a +(b/(2a))²
方程化为:
(b+(2a))²=- c/a +(b/(2a))²
①、若- c/a +(b/(2a))²<0,原方程无实根;
②、若- c/a +(b/(2a))² =0,原方程有两个相同的解为X=-b/(2a);
③、若- c/a +(b/(2a))²>0,原方程的解为X=(-b)±√((b²-4ac))/(2a)。
方法三、直接开平方法
形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n
方法四、因式分解法
将一元二次方程aX²+bX+c=0化为如(mX-n)(dX-e)=0的形式可以直接求得解为X=n/m,或X=e/d。
一元二次方程求解例题分析
一、直接开平方法
对于直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解,不要漏解,如果是两个相等的解,也要写成x1=x2=a的形式,其他的都是比较简单。 用配方法解一元二次方程的一般步骤:1、把原方程化为的形式;2、将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1;3、方程两边同时加上一次项系数一半的平方
解一元二次方程公式如下:
一元二次方程的一般形式为:ax² + bx + c = 0,其中a、b、c为常数,且a≠0。
解一元二次方程的公式为:x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
其中,±表示两个根,即正根和负根;√表示平方根;b² - 4ac被称为“判别式”,根据判别式的值可以判断方程有一个根、两个不相等的根或者无实根。
如果判别式b² - 4ac>0,则方程有两个不相等的实根,即x1=(-b+√(b²-4ac))/(2a),x2=(-b-√(b²-4ac))/(2a)。
如果判别式b² - 4ac=0,则方程有一个实根,即x=-b/(2a)。
如果判别式b² - 4ac<0,则方程无实根,但可以用复数表示,即x1=(-b+i√|b²-4ac|)/(2a),x2=(-b-i√|b²-4ac|)/(2a),其中i为虚数单位。
答:
x²-2x-3=0
解法一:公式法
x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)
=[2±√(4+12)]/2
=(2±4)/2
x1=-1,x2=3
解法二:十字相乘法
x 1
x -3
方程分解为(x+1)(x-3)=0
所以:x+1=0或者x-3=0
所以:x1=-1,x2=3
解法三:因式分解
x²-2x-3=0
x²-1-2x-2=0
(x-1)(x+1)-2(x+1)=0
(x+1)(x-1-2)=0
(x+1)(x-3)=0
x1=-1,x2=3
方程x²+(K-1)x-3=0的一个根是1,那k的值是?另一个根又是?
x1=1,另外一个根是x2
根据韦达定理:
x1+x2=1-k
x1*x2=-3
x1=1代入得:
1+x2=1-k
x2=-3
解得:k=3,另外一个根是-3
2x²+5x-1=0
这个方程用公式法解答最快:
x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)
=[-5±√(25+8)]/(2*2)
=(-5±√33)/4 3 或-1
x^2-x-3=0
x^2-x+1/4-1/4-3=0
(x-1/2)^2-13/4=0
(x-1/2-√13/2)(x-1/2+√13/2)=0
x=1/2+√13/2或x=1/2-√13/2
一元二次方程的解法有公式法、配方法、直接开平方法、因式分解法。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)。其中ax²叫作二次项,a是二次项系数;bx叫作一次项,b是一次项系数;c叫作常数项。
怎样求解一元二次方程
方法一、公式法
先判断△=b²-4ac,
若△<0原方程无实根;
若△=0,
原方程有两个相同的解为:
X=-b/(2a);
若△>0,
原方程的解为:
X=((-b)±√(△))/(2a)。
方法二、配方法
先把常数c移到方程右边得:
aX²+bX=-c
将二次项系数化为1得:
X²+(b/a)X=- c/a
方程两边分别加上(b/a)的一半的平方得:
X²+(b/a)X +(b/(2a))²=- c/a +(b/(2a))²
方程化为:
(b+(2a))²=- c/a +(b/(2a))²
①、若- c/a +(b/(2a))²<0,原方程无实根;
②、若- c/a +(b/(2a))² =0,原方程有两个相同的解为X=-b/(2a);
③、若- c/a +(b/(2a))²>0,原方程的解为X=(-b)±√((b²-4ac))/(2a)。
方法三、直接开平方法
形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n
方法四、因式分解法
将一元二次方程aX²+bX+c=0化为如(mX-n)(dX-e)=0的形式可以直接求得解为X=n/m,或X=e/d。
一元二次方程求解例题分析
一、直接开平方法
对于直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解,不要漏解,如果是两个相等的解,也要写成x1=x2=a的形式,其他的都是比较简单。 用配方法解一元二次方程的一般步骤:1、把原方程化为的形式;2、将常数项移到方程的右边;方程两边同时除以二次项的系数,将二次项系数化为1;3、方程两边同时加上一次项系数一半的平方
解一元二次方程公式如下:
一元二次方程的一般形式为:ax² + bx + c = 0,其中a、b、c为常数,且a≠0。
解一元二次方程的公式为:x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
其中,±表示两个根,即正根和负根;√表示平方根;b² - 4ac被称为“判别式”,根据判别式的值可以判断方程有一个根、两个不相等的根或者无实根。
如果判别式b² - 4ac>0,则方程有两个不相等的实根,即x1=(-b+√(b²-4ac))/(2a),x2=(-b-√(b²-4ac))/(2a)。
如果判别式b² - 4ac=0,则方程有一个实根,即x=-b/(2a)。
如果判别式b² - 4ac<0,则方程无实根,但可以用复数表示,即x1=(-b+i√|b²-4ac|)/(2a),x2=(-b-i√|b²-4ac|)/(2a),其中i为虚数单位。
答:
x²-2x-3=0
解法一:公式法
x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)
=[2±√(4+12)]/2
=(2±4)/2
x1=-1,x2=3
解法二:十字相乘法
x 1
x -3
方程分解为(x+1)(x-3)=0
所以:x+1=0或者x-3=0
所以:x1=-1,x2=3
解法三:因式分解
x²-2x-3=0
x²-1-2x-2=0
(x-1)(x+1)-2(x+1)=0
(x+1)(x-1-2)=0
(x+1)(x-3)=0
x1=-1,x2=3
方程x²+(K-1)x-3=0的一个根是1,那k的值是?另一个根又是?
x1=1,另外一个根是x2
根据韦达定理:
x1+x2=1-k
x1*x2=-3
x1=1代入得:
1+x2=1-k
x2=-3
解得:k=3,另外一个根是-3
2x²+5x-1=0
这个方程用公式法解答最快:
x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)
=[-5±√(25+8)]/(2*2)
=(-5±√33)/4 3 或-1
x^2-x-3=0
x^2-x+1/4-1/4-3=0
(x-1/2)^2-13/4=0
(x-1/2-√13/2)(x-1/2+√13/2)=0
x=1/2+√13/2或x=1/2-√13/2