Sn=[a1*(1-q^n)]/(1-q)为等比数列而这里n为未知数可以写成F(n)=[a1*(1-q^n)]/(1-q)当q=1时为常数列也就是n个a1相加为n*a1。
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。
注:q=1时,an为常数列。即a^n=a。
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。注:q=1时,an为常数列(n为下标)。 1、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.
注意
2、等比数列的通项公式
由a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,……,归纳得出an=a1qn-1.此公式对n=1也成立.
注意
3、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.
注意
4、等比数列的判定方法
(1)、an=an-1·q(n≥2),q是不为零的常数,an-1≠0{an}是等比数列.
(2)、an2=an-1·an+1(n≥2,
an-1,an,an+1≠0){an}是等比数列.
(3)、an=c·qn(c,q均是不为零的常数){an}是等比数列.
5、等比数列的性质
设{an}为等比数列,首项为a1,公比为q.
(1)、当q>1,a1>0或01,a1<0或0
0时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.
(2)、an=am·qn-m(m、n∈N*).
(3)、当m+n=p+q(m、n、q、p∈N*)时,有am·an=ap·aq.
(4)、{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项之积.
(5)、数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an·bn}是公比为qq′的等比数列;数列是公比为的等比数列;{|an|}是公比为|q|的等比数列.
(6)、在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍为等比数列且公比为qk+1.
(7)、当数列{an}是各项均为正数的等比数列时,数列{lgan}是公差为lgq的等差数列.
(8)、{an}中,连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列.
(9)、若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时,am、an、ap成等比数列.
6、等比数列的前n项和公式
设等比数列a1,a2,a3,…,an,…,它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an,根据等比数列的通项公式可将Sn写成Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.…①
①两边乘以q得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn
…②
两式相减得
(1-q)Sn=a1-a1qn,
由此得q≠1时等比数列{an}的前n项和的公式.
因为an=a1qn-1,所以上面公式还可以写成
当q=1时,Sn=na1.
注意
7、等比数列前n项和的一般形式
一般地,如果a1,q是确定的,那么
8、等比数列的前n项和的性质
(1)、若某数列前n项和公式为Sn=an-1(a≠0,±1),则{an}成等比数列.
(2)、若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(ⅰ)、Sn+m=Sn+qn·Sm.
(ⅱ)、在等比数列中,若项数为2n(n∈N*),则
(ⅲ)、Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.
(1)求和公式:当q=1,Sn=n*a1;当q不等于1,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
(2)在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列。 等比数列的性质是什么
等比数列是数学中一个重要的知识点,那么你知道等比数列的求和公式及其推导过程吗?下面是由我为大家整理的“等比数列前n项和公式推导过程(实用)”,仅供参考,欢迎大家阅读本文。
等比数列前n项和公式
公式中a1为数列首项,q为等比数列的公比,Sn为前n项和。
等比数列前n项和公式推导过程
等比数列前n项和公式:Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
推导如下:
①若
m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq;
②在等比数列中,依次每
k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.③若(an)是等比数列,公比为q1,(bn)也是等比数列,公比是q2,则
(a2n),(a3n)…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…
(can),c是常数,(an*bn),(an/bn)是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2.(4)按原来顺序抽取间隔相等的项,仍然是等比数列.(5)等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比.(6)若(an)为等比数列且各项为正,公比为q,则(log以a为底an的对数)成等差,公差为log以a为底q的对数.(7)
等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
(8)
数列{An}是等比数列,An=pn+q,则An+K=pn+K也是等比数列,在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.注意:上述公式中A^n表示A的n次方.(9)由于首项为a1,公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列.
解:等比数列前n项和:
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) (q≠1)
Sn=na1 (q=1)
如有疑问,可追问!
Sn=[a1*(1-q^n)]/(1-q)为等比数列而这里n为未知数可以写成F(n)=[a1*(1-q^n)]/(1-q)当q=1时为常数列也就是n个a1相加为n*a1。
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。
注:q=1时,an为常数列。即a^n=a。
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。注:q=1时,an为常数列(n为下标)。 1、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.
注意
2、等比数列的通项公式
由a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,……,归纳得出an=a1qn-1.此公式对n=1也成立.
注意
3、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.
注意
4、等比数列的判定方法
(1)、an=an-1·q(n≥2),q是不为零的常数,an-1≠0{an}是等比数列.
(2)、an2=an-1·an+1(n≥2,
an-1,an,an+1≠0){an}是等比数列.
(3)、an=c·qn(c,q均是不为零的常数){an}是等比数列.
5、等比数列的性质
设{an}为等比数列,首项为a1,公比为q.
(1)、当q>1,a1>0或01,a1<0或0
0时,{an}是递减数列;当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.
(2)、an=am·qn-m(m、n∈N*).
(3)、当m+n=p+q(m、n、q、p∈N*)时,有am·an=ap·aq.
(4)、{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项之积.
(5)、数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an·bn}是公比为qq′的等比数列;数列是公比为的等比数列;{|an|}是公比为|q|的等比数列.
(6)、在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍为等比数列且公比为qk+1.
(7)、当数列{an}是各项均为正数的等比数列时,数列{lgan}是公差为lgq的等差数列.
(8)、{an}中,连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列.
(9)、若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时,am、an、ap成等比数列.
6、等比数列的前n项和公式
设等比数列a1,a2,a3,…,an,…,它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an,根据等比数列的通项公式可将Sn写成Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.…①
①两边乘以q得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn
…②
两式相减得
(1-q)Sn=a1-a1qn,
由此得q≠1时等比数列{an}的前n项和的公式.
因为an=a1qn-1,所以上面公式还可以写成
当q=1时,Sn=na1.
注意
7、等比数列前n项和的一般形式
一般地,如果a1,q是确定的,那么
8、等比数列的前n项和的性质
(1)、若某数列前n项和公式为Sn=an-1(a≠0,±1),则{an}成等比数列.
(2)、若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(ⅰ)、Sn+m=Sn+qn·Sm.
(ⅱ)、在等比数列中,若项数为2n(n∈N*),则
(ⅲ)、Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.
(1)求和公式:当q=1,Sn=n*a1;当q不等于1,Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
(2)在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列。 等比数列的性质是什么
等比数列是数学中一个重要的知识点,那么你知道等比数列的求和公式及其推导过程吗?下面是由我为大家整理的“等比数列前n项和公式推导过程(实用)”,仅供参考,欢迎大家阅读本文。
等比数列前n项和公式
公式中a1为数列首项,q为等比数列的公比,Sn为前n项和。
等比数列前n项和公式推导过程
等比数列前n项和公式:Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
推导如下:
①若
m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq;
②在等比数列中,依次每
k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.③若(an)是等比数列,公比为q1,(bn)也是等比数列,公比是q2,则
(a2n),(a3n)…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…
(can),c是常数,(an*bn),(an/bn)是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2.(4)按原来顺序抽取间隔相等的项,仍然是等比数列.(5)等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比.(6)若(an)为等比数列且各项为正,公比为q,则(log以a为底an的对数)成等差,公差为log以a为底q的对数.(7)
等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
(8)
数列{An}是等比数列,An=pn+q,则An+K=pn+K也是等比数列,在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.注意:上述公式中A^n表示A的n次方.(9)由于首项为a1,公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列.
解:等比数列前n项和:
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) (q≠1)
Sn=na1 (q=1)
如有疑问,可追问!