一元二次方程的解法有如下几种:
第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).(3)提取公因式
例1:X^2-4X+3=0
本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。
例2:X^2-8X+16=0
本题运用因式分解法中的完全平方公式,原方程分解为(X-4)^2=0 可以得出X1=4 X2=4(注意:碰到此类问题,一定要写X1=X2=某个数,不能只写X=某个数,因为一元二次方程一定有两个根,两个根可以相同,也可以不同)
例3:X^2-9=0
本题运用因式分解法中的平方差公式,原方程分解为(X-3)(X+3)=0 ,可以得出X1=3,X2=-3。
例4:X^2-5X=0
本题运用因式分解法中的提取公因式法来解,原方程分解为X(X-5)=0 ,可以得出X1=0 ,X2=5
第二种方法是配方法,比较复杂,下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程:
X^2+2X-3=0
第一步:先在X^2+2X后加一项常数项,使之能成为一项完全平方式,那么根据题目,我们可以得知应该加一个1这样就变成了(X+1)^2。
第二步:原式是X^2+2X-3,而(X+1)^2=X^2+2X+1,两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4,才会等于原式,所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程。
还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11。
最后如果用了上面所有的方法都无法解方程,那就只能像楼上所说的用求根公式了。
定理就是韦达定理,还有根的判别式,韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a
举例:X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4,两根之积就是3/1=3,(你可以自己解一下,看看是否正确)。
因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 •2 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般
形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式
法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
例5.用适当的方法解下列方程。(选学)
(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0
(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差
公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。
(2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。
(3)化成一般形式后利用公式法解。
(4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
(2)解: x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3,x2=1
(3)解:x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学)
分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方
法)
解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
解:x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论)
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p2-4q<0时,<0此时原方程无实根。
说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求,必要时进行分类讨论。
练习:
(一)用适当的方法解下列方程:
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
(二)解下列关于x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案:
(一)1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式)
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
(二)1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x2-(+ )ax+ a• a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
测试
选择题
1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( )
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为( )。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个
根是( )。
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4. 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为( )。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5. 方程x2-3x=10的两个根是( )。
A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5
6. 方程x2-3x+3=0的解是( )。
A、 B、 C、 D、无实根
7. 方程2x2-0.15=0的解是( )。
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8. 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )。
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不对
9. 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是( )。
A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
答案与解析
答案:1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析:
1.分析:移项得:(x-5)2=0,则x1=x2=5,
注意:方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个。
2.分析:依题意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1
时,方程成立,则必有根为x=1。
4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零,
则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0.
另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单!
5.分析:原方程变为 x2-3x-10=0,
则(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6.分析:Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根。
7.分析:2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根。
8.分析:两边乘以3得:x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2,
整理为:(x-)2=
方程可以利用等式性质变形,并且 x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9.分析:x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1
则(x-1)2=m+1.
中考解析
考题评析
1.(甘肃省)方程的根是( )
(A) (B) (C) 或 (D) 或
评析:因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确
选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=-1,不能使方程左右相等,所以也是错误的。正确选项为
C。
另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免。
2.(吉林省)一元二次方程的根是__________。
评析:思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可。
3.(辽宁省)方程的根为( )
(A)0 (B)–1 (C)0,–1 (D)0,1
评析:思路:因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、
B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4.(河南省)已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________。
评析:k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解。
5.(西安市)用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( )
(A)x=3+2 (B)x=3-2
(C)x1=3+2 ,x2=3-2 (D)x1=3+2,x2=3-2
评析:用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方
根,即可选出答案。 配方法求解~~,因式分解~~~
1.x平方=16
x=+ -4
2.(5x)平方=6平方
5x=+ -6
x=+ -五分之六
3.x平方+2x+1=1
(x+1)平方=1
x+1=+ -1
x1=0,x2=-2
4.依次类推
5. x平方-2倍根号三x+3=0
(x- 根号三 )平方=0
x=根号三
6. x平方-三分之二x+九分之一=九分之十
( x-三分之一)平方=九分之十
x1=三分之根号十+三分之一,x2=-三分之根号十+三分之一
妈呀,累死我了,你应该看得懂吧~-~ 1、2不用配方,直接移项求解
1、正负4
2、正负6/5
3、x方+2x+1=1
(x+1)方=1
x+1=正负1
x=0或-2
4、x方+5x-1+(5/2)方-(5/2)方=0
(x+5/2)方=29/4
x+5/2=正负根号29/2
得解
5、x方-2倍根号3x+(根号3)方=0
(x-根号3)方=0
x=正负根号3
6、x方-2x/3+(1/3)方=1+(1/3)方
(x-1/3)方=10/9
x-1/3=正负根号10/3
得解
题:10 x + 90 = 290
10 x = 290-90
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 91 = 291
10 x = 291-91
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 92 = 292
10 x = 292-92
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 93 = 293
10 x = 293-93
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 94 = 294
10 x = 294-94
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 95 = 295
10 x = 295-95
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 96 = 296
10 x = 296-96
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 97 = 297
10 x = 297-97
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 98 = 298
10 x = 298-98
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 99 = 299
10 x = 299-99
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 90 = 300
10 x = 300-90
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 91 = 301
10 x = 301-91
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 92 = 302
10 x = 302-92
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 93 = 303
10 x = 303-93
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 94 = 304
10 x = 304-94
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 95 = 305
10 x = 305-95
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 96 = 306
10 x = 306-96
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 97 = 307
10 x = 307-97
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 98 = 308
10 x = 308-98
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 99 = 309
10 x = 309-99
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 90 = 310
10 x = 310-90
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 91 = 311
10 x = 311-91
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 92 = 312
10 x = 312-92
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 93 = 313
10 x = 313-93
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 94 = 314
10 x = 314-94
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 95 = 315
10 x = 315-95
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 96 = 316
10 x = 316-96
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 97 = 317
10 x = 317-97
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 98 = 318
10 x = 318-98
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 99 = 319
10 x = 319-99
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 90 = 320
10 x = 320-90
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 91 = 321
10 x = 321-91
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 92 = 322
10 x = 322-92
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 93 = 323
10 x = 323-93
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 94 = 324
10 x = 324-94
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 95 = 325
10 x = 325-95
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 96 = 326
10 x = 326-96
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 97 = 327
10 x = 327-97
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 98 = 328
10 x = 328-98
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 99 = 329
10 x = 329-99
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 90 = 330
10 x = 330-90
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 91 = 331
10 x = 331-91
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 92 = 332
10 x = 332-92
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 93 = 333
10 x = 333-93
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 94 = 334
10 x = 334-94
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 95 = 335
10 x = 335-95
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 96 = 336
10 x = 336-96
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 97 = 337
10 x = 337-97
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 98 = 338
10 x = 338-98
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 99 = 339
10 x = 339-99
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 90 = 340
10 x = 340-90
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 91 = 341
10 x = 341-91
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 92 = 342
10 x = 342-92
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 93 = 343
10 x = 343-93
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 94 = 344
10 x = 344-94
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 95 = 345
10 x = 345-95
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 96 = 346
10 x = 346-96
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 97 = 347
10 x = 347-97
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 98 = 348
10 x = 348-98
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 99 = 349
10 x = 349-99
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 90 = 350
10 x = 350-90
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 91 = 351
10 x = 351-91
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 92 = 352
10 x = 352-92
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 93 = 353
10 x = 353-93
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 94 = 354
10 x = 354-94
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 95 = 355
10 x = 355-95
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 96 = 356
10 x = 356-96
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 97 = 357
10 x = 357-97
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 98 = 358
10 x = 358-98
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 99 = 359
10 x = 359-99
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 90 = 360
10 x = 360-90
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 91 = 361
10 x = 361-91
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 92 = 362
10 x = 362-92
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 93 = 363
10 x = 363-93
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 94 = 364
10 x = 364-94
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 95 = 365
10 x = 365-95
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 96 = 366
10 x = 366-96
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 97 = 367
10 x = 367-97
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 98 = 368
10 x = 368-98
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 99 = 369
10 x = 369-99
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 90 = 370
10 x = 370-90
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 91 = 371
10 x = 371-91
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 92 = 372
10 x = 372-92
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 93 = 373
10 x = 373-93
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 94 = 374
10 x = 374-94
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 95 = 375
10 x = 375-95
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 96 = 376
10 x = 376-96
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 97 = 377
10 x = 377-97
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 98 = 378
10 x = 378-98
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 99 = 379
10 x = 379-99
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 90 = 380
10 x = 380-90
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 91 = 381
10 x = 381-91
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 92 = 382
10 x = 382-92
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 93 = 383
10 x = 383-93
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 94 = 384
10 x = 384-94
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 95 = 385
10 x = 385-95
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 96 = 386
10 x = 386-96
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 97 = 387
10 x = 387-97
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 98 = 388
10 x = 388-98
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 99 = 389
10 x = 389-99
x= 290/10
x= 29
题:11 x + 90 = 310
11 x = 310-90
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 91 = 311
11 x = 311-91
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 92 = 312
11 x = 312-92
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 93 = 313
11 x = 313-93
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 94 = 314
11 x = 314-94
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 95 = 315
11 x = 315-95
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 96 = 316
11 x = 316-96
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 97 = 317
11 x = 317-97
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 98 = 318
11 x = 318-98
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 99 = 319
11 x = 319-99
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 90 = 321
11 x = 321-90
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 91 = 322
11 x = 322-91
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 92 = 323
11 x = 323-92
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 93 = 324
11 x = 324-93
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 94 = 325
11 x = 325-94
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 95 = 326
11 x = 326-95
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 96 = 327
11 x = 327-96
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 97 = 328
11 x = 328-97
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 98 = 329
11 x = 329-98
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 99 = 330
11 x = 330-99
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 90 = 332
11 x = 332-90
x= 242/11
x= 22
题:11 x + 91 = 333
11 x = 333-91
x= 242/11
x= 22
题:11 x + 92 = 334
11 x = 334-92
x= 242/11
x= 22
题:11 x + 93 = 335
11 x = 335-93
x= 242/11
x= 22
题:11 x + 94 = 336
11 x = 336-94
x= 242/11
x= 22
题:11 x + 95 = 337
11 x = 337-95
x= 242/11
x= 22
题:11 x + 96 = 338
11 x = 338-96
x= 242/11
x= 22
题:12 x + 99 = 375
12 x = 375-99
x= 276/12
x= 23
题:13 x + 90 = 454
13 x = 454-90
x= 364/13
x= 28
题:13 x + 91 = 455
13 x = 455-91
x= 364/13
x= 28
题:13 x + 92 = 456
13 x = 456-92
x= 364/13
x= 28
题:16 x + 99 = 467
16 x = 467-99
x= 368/16
x= 23
题:16 x + 90 = 474
16 x = 474-90
x= 384/16
x= 24
题:16 x + 91 = 475
16 x = 475-91
x= 384/16
x= 24
题:16 x + 92 = 476
16 x = 476-92
x= 384/16
x= 24
题:18 x + 93 = 471
18 x = 471-93
x= 378/18
x= 21
题:18 x + 94 = 472
18 x = 472-94
x= 378/18
x= 21
题:18 x + 95 = 473
18 x = 473-95
x= 378/18
x= 21
题:18 x + 99 = 585
18 x = 585-99
x= 486/18
x= 27
题:18 x + 90 = 594
18 x = 594-90
x= 504/18
x= 28
题:19 x + 95 = 532
19 x = 532-95
x= 437/19
x= 23
题:19 x + 96 = 533
19 x = 533-96
x= 437/19
x= 23
题:19 x + 92 = 643
19 x = 643-92
x= 551/19
x= 29
题:19 x + 93 = 644
19 x = 644-93
x= 551/19
x= 29
题:19 x + 94 = 645
19 x = 645-94
x= 551/19
x= 29
题:19 x + 95 = 646
19 x = 646-95
x= 551/19
x= 29
题:19 x + 96 = 647
19 x = 647-96
x= 551/19
x= 29
题:19 x + 97 = 648
19 x = 648-97
x= 551/19
x= 29
题:19 x + 98 = 649
19 x = 649-98
x= 551/19
x= 29
题:19 x + 99 = 650
19 x = 650-99
x= 551/19
x= 29
一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式,所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^(-1)。
目录
反比例函数定义
反比例函数表达式
自变量的取值范围
反比例函数图象
k的意义及应用
反比例函数性质单调性
相交性
面积
图像
对称性
与正比例函数交点
反比例函数的应用举例
画法
典型题目反比例函数定义
反比例函数表达式
自变量的取值范围
反比例函数图象
k的意义及应用
反比例函数性质 单调性
相交性
面积
图像
对称性
与正比例函数交点
反比例函数的应用举例
画法
典型题目展开 编辑本段反比例函数定义
函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数,其中k叫做比例系数,x是自变量,y是自变量x的函数,x的取值范围是不等于0的一切实数。
编辑本段反比例函数表达式
X是自变量,Y是X的函数 y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^(-1) (即:y等于x的负一次方,此处X必须为一次方) y=k\x(k为常数且k≠0,x≠0) 若y=k/nx此时比例系数为:k/n
编辑本段自变量的取值范围
① k ≠ 0; ②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数;③函数 y 的取值范围也是任意非零实数。 解析式 y=k/x 其中X是自变量,Y是X的函数,其定义域是不等于0的一切实数 y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^(-1) y=k\x(k为常数(k≠0),x不等于0)
编辑本段反比例函数图象
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola),
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。
编辑本段k的意义及应用
过反比例函数y=k/x(k≠0),图像上一点P(x,y),作两坐标轴的垂线,两垂足、原点、P点组成一个矩形,矩形的面积 S=x的绝对值*y的绝对值=(x*y)的绝对值=|k| 研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中,比例系数k有一个很重要的几何意义,那就是:过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。 所以,对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时,若能灵活运用反比例函数中k的几何意义,会给解题带来很多方便。
编辑本段反比例函数性质
单调性
当k>0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y随x的增大而增大。 k>0时,函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
相交性
因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交,只能无限接近x轴,y轴。
面积
在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K| 反比例上一点m向x、y分别做垂线,交于q、w,则矩形mwqo(o为原点)的面积为|k|
图像
反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。 反比例函数图像不与x轴和y轴相交。y=k/x的渐近线:x轴与y轴。 k值相等的反比例函数重合,k值不相等的反比例函数永不相交。 k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
对称性
反比例函数图象是中心对称图形,对称中心是原点;反比例函数的图像也是轴对称图形,它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。 图像关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号),那么A B两点关于原点对称。 反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。
与正比例函数交点
设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,则n^2+4k·m≥(不小于)0。
编辑本段反比例函数的应用举例
【例1】反比例函数 的图象上有一点P(m, n)其坐标是关于t的一元二次方程t^2+3t+k=0的两根,且P到原点的距离为根号13,求该反比例函数的解析式. 分析: 要求反比例函数解析式,就是要求出k,为此我们就需要列出一个关于k的方程. 解:∵ m, n是关于t的方程t^2+3t+k=0的两根 ∴ m+n=-3,mn=k, 又 PO=根号13, 反比例函数图象
∴m^2+n^2=13, ∴(m+n^2-2mn=13, ∴ 9-2k=13. ∴ k=-2 当 k=-2时,△=9+2>0, ∴ k=-2符合条件, 【例2】直线与位于第二象限的双曲线 相交于A、A1两点,过其中一点A向x、y轴作垂线,垂足分别为B、C,矩形ABOC的面积为6,求: (1)求双曲线的解析式 分析:矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段, 设A点坐标为(m,n),则AB=|n|, AC=|m|, 根据矩形的面积公式知|m·n|=6.
编辑本段画法
1)列表 如 x ... -3 -2 -1 1 2 3 4 ...
y ... -4 -6 -12 12 6 4 3 ...
2)在平面直角坐标系中标出点 3)用平滑的曲线描出点 常见画法
1.当双曲线在一三象限,K>0,在每个象限内,Y随X的增大而减小。与X及Y轴无交点。 2.当双曲线在二四象限,K<0,在每个象限内,Y随X的增大而增大。与X及Y轴无交点。 当两个数相等时那么呈弯月型。
编辑本段典型题目
1、已知一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x(k≠0) (1)k满足什么条件时,这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点? (2)当图像有两个交点时(设为A和B),判断∠AOB是锐角、钝角还是直角?说明理由。 解(1)一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x(k不等于零)有两个交点,即 -x+6=k/x 化简的x^2-6x+k=0 有两个交点 则方程有两个不同的解 即6^2-4k>0 所以k<9且k不等于0 (2)当0 当K小于0时,X越大,Y越大,当K大于0时,X越小,Y越大 反比例函数是相对于正比例函数来说的,正比例函数y=kx,反比例函数y=k/x 在复习“第11章 一次函数”内容的基础上,引进本章内容。应该有意识地加强反比例函数y=k/x (k为常数,)与正比例函数y=kx(k为常数,)之间的对比,对比可以从如下几方面进行: 1.两种函数的解析式有何相同与不同?两种函数的图象的特征有何区别? 2.在常数 相同的情况下,当自变量 变化时两种函数的函数值 的变化趋势有什么区别? 3.两种函数中 的取值范围有何不同?常数 的符号改变对两种函数图象所处象限的影响如何? 回答是这样的: 1.两种函数的解析式的相同点是,自变量只有一个,即x,都有一个常数k,且;不同点是自变量 在解析式中的位置不同,正比例函数的解析式 的右边是一个整式,不为0的常数k是自变量x的系数,而反比例函数的解析式的右边是一个分式,自变量x处在分母的位置,不为0的常数k处在分子的位置。 两种函数的图象都分布在两个象限内,这是相同之处;不同点在于正比例函数的图象是一条直线,而反比例函数的图象是两支曲线。正比例函数的图象经过原点,而反比例函数的图象不经过原点。 2.在常数相同的情况下,当自变量x增大(减小)时,正比例函数的y值增大(减小),而反比例函数的y值减小(增大);在常数相同的情况下,当自变量x增大(减小)时,正比例函数的y减小(增大),而反比例函数的 t值增大(减小)。 3.当常数 的符号改变时,两类函数图象所处的象限都会随之改变。当时,两类函数的图象都分布在一、三象限;当时,两类函数的图象都分布在二、四象限。 1.x+2=3 x=1 2.x+32=33 x=1 3.x+6=18 x=12 4.4+x=47 x=43 5.19-x=8 x=11 6.98-x=13 x=85 7.66-x=10 x=56 8.5x=10 x=2 9.3x=27 x=9 10.7x=7 x=1 11.8x=8 x=1 12.9x=9 x=1 13.10x=100 x=10 14.66x=660 x=10 15.7x=49 x=7 16.2x=4 x=2 17.3x=9 x=3 18.4x=16 x=4 19.5x=25 x=5 20.6x=36 x=6 21.8x=64 x=8 22.9x=81 x=9 23.10x=100 x=10 24.11x=121 x=11 25.12x=144 x=12 26.13x=169 x=13 27.14x=196 x=14 28.15x=225 x=15 29.16x=256 x=16 30.17x=289 x=17 1: 4x+2=x+7 3x=5 x=5/3 2: 3-6x-4=2/3 -6x=5/3 x=-5/18 3: (4x+2)/6-(5x-1)/6 -x+3=6x=-3 4: 4x/(2x+6)+1=7/(2x+6) 7-4x=2x+6 x=1/6 0.4(x-0.2)+1.5=0.7x-0.38 x=6 30x-10(10-x)=100 x=5 4(x+2)=5(x-2) x=18 120-4(x+5)=25 x=18.75 15x+863-65x=54 x=16.18 3(x-2)+1=x-(2x-1) x=3/2 11x+64-2x=100-9x x=2 3X+18=52 x=34/3 4Y+11=22 y=11/4 3X*9=5 x=5/27 8Z/6=48 z=36 3X+7=59 x=52/3 4Y-69=81 y=75/4 8X*6=5 x=5/48 7Z/9=4 y=63/7 15X+8-5X=54 x=4.6 5Y*5=27 y=27/40 8x+2=10 x=1 x*8=88 x=11 y-90=1 y=91 2x-98=2 x=50 6x*6=12 x=1/3 5-6=5x x=-1/5 6*x=42 x=7 55-y=33 y=22 11*3x=60 x=20/11 3X+5X=48 X=6 14X-8X=12 X=2 6*5+2X=44 X=7 20X-50=50 X=5 28+6X=88 X=10 32-22X=10 X=1 24-3X=3 X=7 10X*(5+1)=60 X=1 99X=100-X X=1 X+3=18 X=15 X-6=12 X=18 56-2X=20 X=18 4y+2=6 Y=1 x+32=76 Y=44 3x+6=18 Y=4 16+8x=40 Y=4 2x-8=8 Y=8 4x-3*9=29 X=0.5 8x-3x=105 Y=21 x-6*5=42 Y=72 x+5=7 X=2 2x+3=10 X=3.5 12x-9x=9 X=3 6x+18=48 X=5 56x-50x=30 X=5 5x=15 X=3 78-5x=28 X=4 32y-29=3 X=1 5x+5=15 X=2 89x-9=80 X=1 100-20x=20 X=4 55x-25x=60 X=2 76y-75=1 Y=1 23y-23=23 Y=2 4x-20=0 X=5 80y+20=100 U=1 53x-90=16 X=2 2x+9x=11 X=1 12y-12=24 Y=3 80+5x=100 X=4 7x-8=6 X=2 65x+35=100 X=1 19y+y=40 Y=2 25-5x=15 X=2 79y+y=80 Y=1 42x+28x=140 X=2 3x-1=8 X=3 90y-90=90 Y=2 80y-90=70 Y=2 8y+2y=160 Y=16 88-x=80 X=8 9-4x=1 X=2 20x=40 X=2 65y-30=100 X=2 51y-y=100 Y=2 85y-1=-86 Y=-1 45x-50=40 X=2 0.4(x-0.2)+1.5=0.7x-0.38 x=6 30x-10(10-x)=100 x=5 4(x+2)=5(x-2) x=18 120-4(x+5)=25 x=18.75 15x+863-65x=54 x=16.18 3(x-2)+1=x-(2x-1) x=3/2 11x+64-2x=100-9x x=2 1.7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1 2.(5y+1)+ (1-y)= (9y+1)+ (1-3y) 3.[ (- 2)-4 ]=x+2 4.20%+(1-20%)(320-x)=320×40% 5.2(x-2)+2=x+1 6.2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 7.11x+64-2x=100-9x 8.15-(8-5x)=7x+(4-3x) 9.3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22 10.3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2 11.5x+1-2x=3x-2 12.3y-4=2y+1 13.87X*13=5 14.7Z/93=41 15.15X+863-65X=54 16.58Y*55=27489 17.2(x+2)+4=9 18.2(x+4)=10 19.3(x-5)=18 20.4x+8=2(x-1) 21.3(x+3)=9+x 22.6(x/2+1)=12 23.9(x+6)=63 24.2+x=2(x-1/2) 25.8x+3(1-x)=-2 26.7+x-2(x-1)=1 27.x/3 -5 = (5-x)/2 28.2(x+1) /3=5(x+1) /6 -1 29.(1/5)x +1 =(2x+1)/4 30.(5-2)/2 - (4+x)/3 =1 最后来套综合题 一、填空题.(每小题3分,共24分) 1.已知4x2n-5+5=0是关于x的一元一次方程,则n=_______. 2.若x=-1是方程2x-3a=7的解,则a=_______. 3.当x=______时,代数式 x-1和 的值互为相反数. 4.已知x的 与x的3倍的和比x的2倍少6,列出方程为________. 5.在方程4x+3y=1中,用x的代数式表示y,则y=________. 6.某商品的进价为300元,按标价的六折销售时,利润率为5%,则商品的标价为____元. 7.已知三个连续的偶数的和为60,则这三个数是________. 8.一件工作,甲单独做需6天完成,乙单独做需12天完成,若甲、乙一起做,则需________天完成. 二、选择题.(每小题3分,共30分) 9.方程2m+x=1和3x-1=2x+1有相同的解,则m的值为( ). A.0 B.1 C.-2 D.- 10.方程│3x│=18的解的情况是( ). A.有一个解是6 B.有两个解,是±6 C.无解 D.有无数个解 11.若方程2ax-3=5x+b无解,则a,b应满足( ). A.a≠ ,b≠3 B.a= ,b=-3 C.a≠ ,b=-3 D.a= ,b≠-3 12.把方程 的分母化为整数后的方程是( ). 13.在800米跑道上有两人练中长跑,甲每分钟跑300米,乙每分钟跑260米,两人同地、同时、同向起跑,t分钟后第一次相遇,t等于( ). A.10分 B.15分 C.20分 D.30分 14.某商场在统计今年第一季度的销售额时发现,二月份比一月份增加了10%,三月份比二月份减少了10%,则三月份的销售额比一月份的销售额( ). A.增加10% B.减少10% C.不增也不减 D.减少1% 15.在梯形面积公式S= (a+b)h中,已知h=6厘米,a=3厘米,S=24平方厘米,则b=( )厘米. A.1 B.5 C.3 D.4 16.已知甲组有28人,乙组有20人,则下列调配方法中,能使一组人数为另一组人数的一半的是( ). A.从甲组调12人去乙组 B.从乙组调4人去甲组 C.从乙组调12人去甲组 D.从甲组调12人去乙组,或从乙组调4人去甲组 17.足球比赛的规则为胜一场得3分,平一场得1分,负一场是0分,一个队打了14场比赛,负了5场,共得19分,那么这个队胜了( )场. A.3 B.4 C.5 D.6 18.如图所示,在甲图中的左盘上将2个物品取下一个,则在乙图中右盘上取下几个砝码才能使天平仍然平衡?( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 三、解答题.(19,20题每题6分,21,22题每题7分,23,24题每题10分,共46分) 19.解方程: -9.5. 20.解方程: (x-1)- (3x+2)= - (x-1). 21.如图所示,在一块展示牌上整齐地贴着许多资料卡片,这些卡片的大小相同,卡片之间露出了三块正方形的空白,在图中用斜线标明.已知卡片的短边长度为10厘米,想要配三张图片来填补空白,需要配多大尺寸的图片. 22.一个三位数,百位上的数字比十位上的数大1,个位上的数字比十位上数字的3倍少2.若将三个数字顺序颠倒后,所得的三位数与原三位数的和是1171,求这个三位数. 23.据了解,火车票价按“ ”的方法来确定.已知A站至H站总里程数为1500千米,全程参考价为180元.下表是沿途各站至H站的里程数: 车站名 A B C D E F G H 各站至H站 里程数(米) 1500 1130 910 622 402 219 72 0 例如:要确定从B站至E站火车票价,其票价为 =87.36≈87(元). (1)求A站至F站的火车票价(结果精确到1元). (2)旅客王大妈乘火车去女儿家,上车过两站后拿着车票问乘务员:“我快到站了吗?”乘务员看到王大妈手中的票价是66元,马上说下一站就到了.请问王大妈是在哪一站下的车(要求写出解答过程). 24.某公园的门票价格规定如下表: 购票人数 1~50人 51~100人 100人以上 票 价 5元 4.5元 4元 某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游该公园,如果两班都以班为单位分别购票,则一共需付486元. (1)如果两班联合起来,作为一个团体购票,则可以节约多少钱? (2)两班各有多少名学生?(提示:本题应分情况讨论) 答案: 一、1.3 2.-3 (点拨:将x=-1代入方程2x-3a=7,得-2-3a=7,得a=-3) 3. (点拨:解方程 x-1=- ,得x= ) 4. x+3x=2x-6 5.y= - x 6.525 (点拨:设标价为x元,则 =5%,解得x=525元) 7.18,20,22 8.4 [点拨:设需x天完成,则x( + )=1,解得x=4] 二、9.D 10.B (点拨:用分类讨论法: 当x≥0时,3x=18,∴x=6 当x100 ∴每张门票按4元收费的总票额为103×4=412(元) 可节省486-412=74(元) (2)∵甲、乙两班共103人,甲班人数>乙班人数 ∴甲班多于50人,乙班有两种情形: ①若乙班少于或等于50人,设乙班有x人,则甲班有(103-x)人,依题意,得 5x+4.5(103-x)=486 解得x=45,∴103-45=58(人) 即甲班有58人,乙班有45人. ②若乙班超过50人,设乙班x人,则甲班有(103-x)人, 根据题意,得 4.5x+4.5(103-x)=486 ∵此等式不成立,∴这种情况不存在. 故甲班为58人,乙班为45人.九年级上册数学方程题20道
一元二次方程的解法有如下几种:
第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).(3)提取公因式
例1:X^2-4X+3=0
本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。
例2:X^2-8X+16=0
本题运用因式分解法中的完全平方公式,原方程分解为(X-4)^2=0 可以得出X1=4 X2=4(注意:碰到此类问题,一定要写X1=X2=某个数,不能只写X=某个数,因为一元二次方程一定有两个根,两个根可以相同,也可以不同)
例3:X^2-9=0
本题运用因式分解法中的平方差公式,原方程分解为(X-3)(X+3)=0 ,可以得出X1=3,X2=-3。
例4:X^2-5X=0
本题运用因式分解法中的提取公因式法来解,原方程分解为X(X-5)=0 ,可以得出X1=0 ,X2=5
第二种方法是配方法,比较复杂,下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程:
X^2+2X-3=0
第一步:先在X^2+2X后加一项常数项,使之能成为一项完全平方式,那么根据题目,我们可以得知应该加一个1这样就变成了(X+1)^2。
第二步:原式是X^2+2X-3,而(X+1)^2=X^2+2X+1,两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4,才会等于原式,所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程。
还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11。
最后如果用了上面所有的方法都无法解方程,那就只能像楼上所说的用求根公式了。
定理就是韦达定理,还有根的判别式,韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a
举例:X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4,两根之积就是3/1=3,(你可以自己解一下,看看是否正确)。
因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 •2 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般
形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式
法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
例5.用适当的方法解下列方程。(选学)
(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0
(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差
公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。
(2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。
(3)化成一般形式后利用公式法解。
(4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
(2)解: x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3,x2=1
(3)解:x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学)
分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方
法)
解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
解:x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论)
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p2-4q<0时,<0此时原方程无实根。
说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求,必要时进行分类讨论。
练习:
(一)用适当的方法解下列方程:
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
(二)解下列关于x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案:
(一)1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式)
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
(二)1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x2-(+ )ax+ a• a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
测试
选择题
1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( )
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为( )。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个
根是( )。
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4. 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为( )。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5. 方程x2-3x=10的两个根是( )。
A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5
6. 方程x2-3x+3=0的解是( )。
A、 B、 C、 D、无实根
7. 方程2x2-0.15=0的解是( )。
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8. 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )。
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不对
9. 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是( )。
A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
答案与解析
答案:1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析:
1.分析:移项得:(x-5)2=0,则x1=x2=5,
注意:方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个。
2.分析:依题意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1
时,方程成立,则必有根为x=1。
4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零,
则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0.
另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单!
5.分析:原方程变为 x2-3x-10=0,
则(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6.分析:Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根。
7.分析:2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根。
8.分析:两边乘以3得:x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2,
整理为:(x-)2=
方程可以利用等式性质变形,并且 x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9.分析:x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1
则(x-1)2=m+1.
中考解析
考题评析
1.(甘肃省)方程的根是( )
(A) (B) (C) 或 (D) 或
评析:因一元二次方程有两个根,所以用排除法,排除A、B选项,再用验证法在C、D选项中选出正确
选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
二次方程是两个根,所以是错误的,而选项D中x=-1,不能使方程左右相等,所以也是错误的。正确选项为
C。
另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式,使得方程丢根,这种错误要避免。
2.(吉林省)一元二次方程的根是__________。
评析:思路,根据方程的特点运用因式分解法,或公式法求解即可。
3.(辽宁省)方程的根为( )
(A)0 (B)–1 (C)0,–1 (D)0,1
评析:思路:因方程为一元二次方程,所以有两个实根,用排除法和验证法可选出正确选项为C,而A、
B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4.(河南省)已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________。
评析:k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解。
5.(西安市)用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( )
(A)x=3+2 (B)x=3-2
(C)x1=3+2 ,x2=3-2 (D)x1=3+2,x2=3-2
评析:用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方
根,即可选出答案。 配方法求解~~,因式分解~~~
1.x平方=16
x=+ -4
2.(5x)平方=6平方
5x=+ -6
x=+ -五分之六
3.x平方+2x+1=1
(x+1)平方=1
x+1=+ -1
x1=0,x2=-2
4.依次类推
5. x平方-2倍根号三x+3=0
(x- 根号三 )平方=0
x=根号三
6. x平方-三分之二x+九分之一=九分之十
( x-三分之一)平方=九分之十
x1=三分之根号十+三分之一,x2=-三分之根号十+三分之一
妈呀,累死我了,你应该看得懂吧~-~ 1、2不用配方,直接移项求解
1、正负4
2、正负6/5
3、x方+2x+1=1
(x+1)方=1
x+1=正负1
x=0或-2
4、x方+5x-1+(5/2)方-(5/2)方=0
(x+5/2)方=29/4
x+5/2=正负根号29/2
得解
5、x方-2倍根号3x+(根号3)方=0
(x-根号3)方=0
x=正负根号3
6、x方-2x/3+(1/3)方=1+(1/3)方
(x-1/3)方=10/9
x-1/3=正负根号10/3
得解
题:10 x + 90 = 290
10 x = 290-90
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 91 = 291
10 x = 291-91
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 92 = 292
10 x = 292-92
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 93 = 293
10 x = 293-93
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 94 = 294
10 x = 294-94
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 95 = 295
10 x = 295-95
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 96 = 296
10 x = 296-96
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 97 = 297
10 x = 297-97
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 98 = 298
10 x = 298-98
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 99 = 299
10 x = 299-99
x= 200/10
x= 20
题:10 x + 90 = 300
10 x = 300-90
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 91 = 301
10 x = 301-91
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 92 = 302
10 x = 302-92
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 93 = 303
10 x = 303-93
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 94 = 304
10 x = 304-94
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 95 = 305
10 x = 305-95
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 96 = 306
10 x = 306-96
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 97 = 307
10 x = 307-97
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 98 = 308
10 x = 308-98
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 99 = 309
10 x = 309-99
x= 210/10
x= 21
题:10 x + 90 = 310
10 x = 310-90
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 91 = 311
10 x = 311-91
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 92 = 312
10 x = 312-92
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 93 = 313
10 x = 313-93
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 94 = 314
10 x = 314-94
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 95 = 315
10 x = 315-95
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 96 = 316
10 x = 316-96
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 97 = 317
10 x = 317-97
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 98 = 318
10 x = 318-98
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 99 = 319
10 x = 319-99
x= 220/10
x= 22
题:10 x + 90 = 320
10 x = 320-90
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 91 = 321
10 x = 321-91
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 92 = 322
10 x = 322-92
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 93 = 323
10 x = 323-93
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 94 = 324
10 x = 324-94
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 95 = 325
10 x = 325-95
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 96 = 326
10 x = 326-96
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 97 = 327
10 x = 327-97
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 98 = 328
10 x = 328-98
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 99 = 329
10 x = 329-99
x= 230/10
x= 23
题:10 x + 90 = 330
10 x = 330-90
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 91 = 331
10 x = 331-91
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 92 = 332
10 x = 332-92
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 93 = 333
10 x = 333-93
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 94 = 334
10 x = 334-94
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 95 = 335
10 x = 335-95
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 96 = 336
10 x = 336-96
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 97 = 337
10 x = 337-97
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 98 = 338
10 x = 338-98
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 99 = 339
10 x = 339-99
x= 240/10
x= 24
题:10 x + 90 = 340
10 x = 340-90
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 91 = 341
10 x = 341-91
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 92 = 342
10 x = 342-92
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 93 = 343
10 x = 343-93
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 94 = 344
10 x = 344-94
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 95 = 345
10 x = 345-95
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 96 = 346
10 x = 346-96
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 97 = 347
10 x = 347-97
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 98 = 348
10 x = 348-98
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 99 = 349
10 x = 349-99
x= 250/10
x= 25
题:10 x + 90 = 350
10 x = 350-90
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 91 = 351
10 x = 351-91
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 92 = 352
10 x = 352-92
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 93 = 353
10 x = 353-93
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 94 = 354
10 x = 354-94
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 95 = 355
10 x = 355-95
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 96 = 356
10 x = 356-96
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 97 = 357
10 x = 357-97
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 98 = 358
10 x = 358-98
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 99 = 359
10 x = 359-99
x= 260/10
x= 26
题:10 x + 90 = 360
10 x = 360-90
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 91 = 361
10 x = 361-91
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 92 = 362
10 x = 362-92
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 93 = 363
10 x = 363-93
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 94 = 364
10 x = 364-94
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 95 = 365
10 x = 365-95
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 96 = 366
10 x = 366-96
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 97 = 367
10 x = 367-97
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 98 = 368
10 x = 368-98
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 99 = 369
10 x = 369-99
x= 270/10
x= 27
题:10 x + 90 = 370
10 x = 370-90
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 91 = 371
10 x = 371-91
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 92 = 372
10 x = 372-92
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 93 = 373
10 x = 373-93
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 94 = 374
10 x = 374-94
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 95 = 375
10 x = 375-95
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 96 = 376
10 x = 376-96
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 97 = 377
10 x = 377-97
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 98 = 378
10 x = 378-98
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 99 = 379
10 x = 379-99
x= 280/10
x= 28
题:10 x + 90 = 380
10 x = 380-90
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 91 = 381
10 x = 381-91
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 92 = 382
10 x = 382-92
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 93 = 383
10 x = 383-93
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 94 = 384
10 x = 384-94
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 95 = 385
10 x = 385-95
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 96 = 386
10 x = 386-96
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 97 = 387
10 x = 387-97
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 98 = 388
10 x = 388-98
x= 290/10
x= 29
题:10 x + 99 = 389
10 x = 389-99
x= 290/10
x= 29
题:11 x + 90 = 310
11 x = 310-90
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 91 = 311
11 x = 311-91
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 92 = 312
11 x = 312-92
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 93 = 313
11 x = 313-93
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 94 = 314
11 x = 314-94
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 95 = 315
11 x = 315-95
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 96 = 316
11 x = 316-96
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 97 = 317
11 x = 317-97
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 98 = 318
11 x = 318-98
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 99 = 319
11 x = 319-99
x= 220/11
x= 20
题:11 x + 90 = 321
11 x = 321-90
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 91 = 322
11 x = 322-91
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 92 = 323
11 x = 323-92
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 93 = 324
11 x = 324-93
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 94 = 325
11 x = 325-94
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 95 = 326
11 x = 326-95
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 96 = 327
11 x = 327-96
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 97 = 328
11 x = 328-97
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 98 = 329
11 x = 329-98
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 99 = 330
11 x = 330-99
x= 231/11
x= 21
题:11 x + 90 = 332
11 x = 332-90
x= 242/11
x= 22
题:11 x + 91 = 333
11 x = 333-91
x= 242/11
x= 22
题:11 x + 92 = 334
11 x = 334-92
x= 242/11
x= 22
题:11 x + 93 = 335
11 x = 335-93
x= 242/11
x= 22
题:11 x + 94 = 336
11 x = 336-94
x= 242/11
x= 22
题:11 x + 95 = 337
11 x = 337-95
x= 242/11
x= 22
题:11 x + 96 = 338
11 x = 338-96
x= 242/11
x= 22
题:12 x + 99 = 375
12 x = 375-99
x= 276/12
x= 23
题:13 x + 90 = 454
13 x = 454-90
x= 364/13
x= 28
题:13 x + 91 = 455
13 x = 455-91
x= 364/13
x= 28
题:13 x + 92 = 456
13 x = 456-92
x= 364/13
x= 28
题:16 x + 99 = 467
16 x = 467-99
x= 368/16
x= 23
题:16 x + 90 = 474
16 x = 474-90
x= 384/16
x= 24
题:16 x + 91 = 475
16 x = 475-91
x= 384/16
x= 24
题:16 x + 92 = 476
16 x = 476-92
x= 384/16
x= 24
题:18 x + 93 = 471
18 x = 471-93
x= 378/18
x= 21
题:18 x + 94 = 472
18 x = 472-94
x= 378/18
x= 21
题:18 x + 95 = 473
18 x = 473-95
x= 378/18
x= 21
题:18 x + 99 = 585
18 x = 585-99
x= 486/18
x= 27
题:18 x + 90 = 594
18 x = 594-90
x= 504/18
x= 28
题:19 x + 95 = 532
19 x = 532-95
x= 437/19
x= 23
题:19 x + 96 = 533
19 x = 533-96
x= 437/19
x= 23
题:19 x + 92 = 643
19 x = 643-92
x= 551/19
x= 29
题:19 x + 93 = 644
19 x = 644-93
x= 551/19
x= 29
题:19 x + 94 = 645
19 x = 645-94
x= 551/19
x= 29
题:19 x + 95 = 646
19 x = 646-95
x= 551/19
x= 29
题:19 x + 96 = 647
19 x = 647-96
x= 551/19
x= 29
题:19 x + 97 = 648
19 x = 648-97
x= 551/19
x= 29
题:19 x + 98 = 649
19 x = 649-98
x= 551/19
x= 29
题:19 x + 99 = 650
19 x = 650-99
x= 551/19
x= 29
一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式,所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^(-1)。
目录
反比例函数定义
反比例函数表达式
自变量的取值范围
反比例函数图象
k的意义及应用
反比例函数性质单调性
相交性
面积
图像
对称性
与正比例函数交点
反比例函数的应用举例
画法
典型题目反比例函数定义
反比例函数表达式
自变量的取值范围
反比例函数图象
k的意义及应用
反比例函数性质 单调性
相交性
面积
图像
对称性
与正比例函数交点
反比例函数的应用举例
画法
典型题目展开 编辑本段反比例函数定义
函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数,其中k叫做比例系数,x是自变量,y是自变量x的函数,x的取值范围是不等于0的一切实数。
编辑本段反比例函数表达式
X是自变量,Y是X的函数 y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^(-1) (即:y等于x的负一次方,此处X必须为一次方) y=k\x(k为常数且k≠0,x≠0) 若y=k/nx此时比例系数为:k/n
编辑本段自变量的取值范围
① k ≠ 0; ②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数;③函数 y 的取值范围也是任意非零实数。 解析式 y=k/x 其中X是自变量,Y是X的函数,其定义域是不等于0的一切实数 y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^(-1) y=k\x(k为常数(k≠0),x不等于0)
编辑本段反比例函数图象
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola),
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。
编辑本段k的意义及应用
过反比例函数y=k/x(k≠0),图像上一点P(x,y),作两坐标轴的垂线,两垂足、原点、P点组成一个矩形,矩形的面积 S=x的绝对值*y的绝对值=(x*y)的绝对值=|k| 研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中,比例系数k有一个很重要的几何意义,那就是:过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。 所以,对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时,若能灵活运用反比例函数中k的几何意义,会给解题带来很多方便。
编辑本段反比例函数性质
单调性
当k>0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y随x的增大而增大。 k>0时,函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
相交性
因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交,只能无限接近x轴,y轴。
面积
在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K| 反比例上一点m向x、y分别做垂线,交于q、w,则矩形mwqo(o为原点)的面积为|k|
图像
反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。 反比例函数图像不与x轴和y轴相交。y=k/x的渐近线:x轴与y轴。 k值相等的反比例函数重合,k值不相等的反比例函数永不相交。 k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
对称性
反比例函数图象是中心对称图形,对称中心是原点;反比例函数的图像也是轴对称图形,它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。 图像关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号),那么A B两点关于原点对称。 反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。
与正比例函数交点
设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,则n^2+4k·m≥(不小于)0。
编辑本段反比例函数的应用举例
【例1】反比例函数 的图象上有一点P(m, n)其坐标是关于t的一元二次方程t^2+3t+k=0的两根,且P到原点的距离为根号13,求该反比例函数的解析式. 分析: 要求反比例函数解析式,就是要求出k,为此我们就需要列出一个关于k的方程. 解:∵ m, n是关于t的方程t^2+3t+k=0的两根 ∴ m+n=-3,mn=k, 又 PO=根号13, 反比例函数图象
∴m^2+n^2=13, ∴(m+n^2-2mn=13, ∴ 9-2k=13. ∴ k=-2 当 k=-2时,△=9+2>0, ∴ k=-2符合条件, 【例2】直线与位于第二象限的双曲线 相交于A、A1两点,过其中一点A向x、y轴作垂线,垂足分别为B、C,矩形ABOC的面积为6,求: (1)求双曲线的解析式 分析:矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段, 设A点坐标为(m,n),则AB=|n|, AC=|m|, 根据矩形的面积公式知|m·n|=6.
编辑本段画法
1)列表 如 x ... -3 -2 -1 1 2 3 4 ...
y ... -4 -6 -12 12 6 4 3 ...
2)在平面直角坐标系中标出点 3)用平滑的曲线描出点 常见画法
1.当双曲线在一三象限,K>0,在每个象限内,Y随X的增大而减小。与X及Y轴无交点。 2.当双曲线在二四象限,K<0,在每个象限内,Y随X的增大而增大。与X及Y轴无交点。 当两个数相等时那么呈弯月型。
编辑本段典型题目
1、已知一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x(k≠0) (1)k满足什么条件时,这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点? (2)当图像有两个交点时(设为A和B),判断∠AOB是锐角、钝角还是直角?说明理由。 解(1)一次函数y=-x+6和反比例函数y=k/x(k不等于零)有两个交点,即 -x+6=k/x 化简的x^2-6x+k=0 有两个交点 则方程有两个不同的解 即6^2-4k>0 所以k<9且k不等于0 (2)当0 当K小于0时,X越大,Y越大,当K大于0时,X越小,Y越大 反比例函数是相对于正比例函数来说的,正比例函数y=kx,反比例函数y=k/x 在复习“第11章 一次函数”内容的基础上,引进本章内容。应该有意识地加强反比例函数y=k/x (k为常数,)与正比例函数y=kx(k为常数,)之间的对比,对比可以从如下几方面进行: 1.两种函数的解析式有何相同与不同?两种函数的图象的特征有何区别? 2.在常数 相同的情况下,当自变量 变化时两种函数的函数值 的变化趋势有什么区别? 3.两种函数中 的取值范围有何不同?常数 的符号改变对两种函数图象所处象限的影响如何? 回答是这样的: 1.两种函数的解析式的相同点是,自变量只有一个,即x,都有一个常数k,且;不同点是自变量 在解析式中的位置不同,正比例函数的解析式 的右边是一个整式,不为0的常数k是自变量x的系数,而反比例函数的解析式的右边是一个分式,自变量x处在分母的位置,不为0的常数k处在分子的位置。 两种函数的图象都分布在两个象限内,这是相同之处;不同点在于正比例函数的图象是一条直线,而反比例函数的图象是两支曲线。正比例函数的图象经过原点,而反比例函数的图象不经过原点。 2.在常数相同的情况下,当自变量x增大(减小)时,正比例函数的y值增大(减小),而反比例函数的y值减小(增大);在常数相同的情况下,当自变量x增大(减小)时,正比例函数的y减小(增大),而反比例函数的 t值增大(减小)。 3.当常数 的符号改变时,两类函数图象所处的象限都会随之改变。当时,两类函数的图象都分布在一、三象限;当时,两类函数的图象都分布在二、四象限。 1.x+2=3 x=1 2.x+32=33 x=1 3.x+6=18 x=12 4.4+x=47 x=43 5.19-x=8 x=11 6.98-x=13 x=85 7.66-x=10 x=56 8.5x=10 x=2 9.3x=27 x=9 10.7x=7 x=1 11.8x=8 x=1 12.9x=9 x=1 13.10x=100 x=10 14.66x=660 x=10 15.7x=49 x=7 16.2x=4 x=2 17.3x=9 x=3 18.4x=16 x=4 19.5x=25 x=5 20.6x=36 x=6 21.8x=64 x=8 22.9x=81 x=9 23.10x=100 x=10 24.11x=121 x=11 25.12x=144 x=12 26.13x=169 x=13 27.14x=196 x=14 28.15x=225 x=15 29.16x=256 x=16 30.17x=289 x=17 1: 4x+2=x+7 3x=5 x=5/3 2: 3-6x-4=2/3 -6x=5/3 x=-5/18 3: (4x+2)/6-(5x-1)/6 -x+3=6x=-3 4: 4x/(2x+6)+1=7/(2x+6) 7-4x=2x+6 x=1/6 0.4(x-0.2)+1.5=0.7x-0.38 x=6 30x-10(10-x)=100 x=5 4(x+2)=5(x-2) x=18 120-4(x+5)=25 x=18.75 15x+863-65x=54 x=16.18 3(x-2)+1=x-(2x-1) x=3/2 11x+64-2x=100-9x x=2 3X+18=52 x=34/3 4Y+11=22 y=11/4 3X*9=5 x=5/27 8Z/6=48 z=36 3X+7=59 x=52/3 4Y-69=81 y=75/4 8X*6=5 x=5/48 7Z/9=4 y=63/7 15X+8-5X=54 x=4.6 5Y*5=27 y=27/40 8x+2=10 x=1 x*8=88 x=11 y-90=1 y=91 2x-98=2 x=50 6x*6=12 x=1/3 5-6=5x x=-1/5 6*x=42 x=7 55-y=33 y=22 11*3x=60 x=20/11 3X+5X=48 X=6 14X-8X=12 X=2 6*5+2X=44 X=7 20X-50=50 X=5 28+6X=88 X=10 32-22X=10 X=1 24-3X=3 X=7 10X*(5+1)=60 X=1 99X=100-X X=1 X+3=18 X=15 X-6=12 X=18 56-2X=20 X=18 4y+2=6 Y=1 x+32=76 Y=44 3x+6=18 Y=4 16+8x=40 Y=4 2x-8=8 Y=8 4x-3*9=29 X=0.5 8x-3x=105 Y=21 x-6*5=42 Y=72 x+5=7 X=2 2x+3=10 X=3.5 12x-9x=9 X=3 6x+18=48 X=5 56x-50x=30 X=5 5x=15 X=3 78-5x=28 X=4 32y-29=3 X=1 5x+5=15 X=2 89x-9=80 X=1 100-20x=20 X=4 55x-25x=60 X=2 76y-75=1 Y=1 23y-23=23 Y=2 4x-20=0 X=5 80y+20=100 U=1 53x-90=16 X=2 2x+9x=11 X=1 12y-12=24 Y=3 80+5x=100 X=4 7x-8=6 X=2 65x+35=100 X=1 19y+y=40 Y=2 25-5x=15 X=2 79y+y=80 Y=1 42x+28x=140 X=2 3x-1=8 X=3 90y-90=90 Y=2 80y-90=70 Y=2 8y+2y=160 Y=16 88-x=80 X=8 9-4x=1 X=2 20x=40 X=2 65y-30=100 X=2 51y-y=100 Y=2 85y-1=-86 Y=-1 45x-50=40 X=2 0.4(x-0.2)+1.5=0.7x-0.38 x=6 30x-10(10-x)=100 x=5 4(x+2)=5(x-2) x=18 120-4(x+5)=25 x=18.75 15x+863-65x=54 x=16.18 3(x-2)+1=x-(2x-1) x=3/2 11x+64-2x=100-9x x=2 1.7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1 2.(5y+1)+ (1-y)= (9y+1)+ (1-3y) 3.[ (- 2)-4 ]=x+2 4.20%+(1-20%)(320-x)=320×40% 5.2(x-2)+2=x+1 6.2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 7.11x+64-2x=100-9x 8.15-(8-5x)=7x+(4-3x) 9.3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22 10.3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2 11.5x+1-2x=3x-2 12.3y-4=2y+1 13.87X*13=5 14.7Z/93=41 15.15X+863-65X=54 16.58Y*55=27489 17.2(x+2)+4=9 18.2(x+4)=10 19.3(x-5)=18 20.4x+8=2(x-1) 21.3(x+3)=9+x 22.6(x/2+1)=12 23.9(x+6)=63 24.2+x=2(x-1/2) 25.8x+3(1-x)=-2 26.7+x-2(x-1)=1 27.x/3 -5 = (5-x)/2 28.2(x+1) /3=5(x+1) /6 -1 29.(1/5)x +1 =(2x+1)/4 30.(5-2)/2 - (4+x)/3 =1 最后来套综合题 一、填空题.(每小题3分,共24分) 1.已知4x2n-5+5=0是关于x的一元一次方程,则n=_______. 2.若x=-1是方程2x-3a=7的解,则a=_______. 3.当x=______时,代数式 x-1和 的值互为相反数. 4.已知x的 与x的3倍的和比x的2倍少6,列出方程为________. 5.在方程4x+3y=1中,用x的代数式表示y,则y=________. 6.某商品的进价为300元,按标价的六折销售时,利润率为5%,则商品的标价为____元. 7.已知三个连续的偶数的和为60,则这三个数是________. 8.一件工作,甲单独做需6天完成,乙单独做需12天完成,若甲、乙一起做,则需________天完成. 二、选择题.(每小题3分,共30分) 9.方程2m+x=1和3x-1=2x+1有相同的解,则m的值为( ). A.0 B.1 C.-2 D.- 10.方程│3x│=18的解的情况是( ). A.有一个解是6 B.有两个解,是±6 C.无解 D.有无数个解 11.若方程2ax-3=5x+b无解,则a,b应满足( ). A.a≠ ,b≠3 B.a= ,b=-3 C.a≠ ,b=-3 D.a= ,b≠-3 12.把方程 的分母化为整数后的方程是( ). 13.在800米跑道上有两人练中长跑,甲每分钟跑300米,乙每分钟跑260米,两人同地、同时、同向起跑,t分钟后第一次相遇,t等于( ). A.10分 B.15分 C.20分 D.30分 14.某商场在统计今年第一季度的销售额时发现,二月份比一月份增加了10%,三月份比二月份减少了10%,则三月份的销售额比一月份的销售额( ). A.增加10% B.减少10% C.不增也不减 D.减少1% 15.在梯形面积公式S= (a+b)h中,已知h=6厘米,a=3厘米,S=24平方厘米,则b=( )厘米. A.1 B.5 C.3 D.4 16.已知甲组有28人,乙组有20人,则下列调配方法中,能使一组人数为另一组人数的一半的是( ). A.从甲组调12人去乙组 B.从乙组调4人去甲组 C.从乙组调12人去甲组 D.从甲组调12人去乙组,或从乙组调4人去甲组 17.足球比赛的规则为胜一场得3分,平一场得1分,负一场是0分,一个队打了14场比赛,负了5场,共得19分,那么这个队胜了( )场. A.3 B.4 C.5 D.6 18.如图所示,在甲图中的左盘上将2个物品取下一个,则在乙图中右盘上取下几个砝码才能使天平仍然平衡?( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 三、解答题.(19,20题每题6分,21,22题每题7分,23,24题每题10分,共46分) 19.解方程: -9.5. 20.解方程: (x-1)- (3x+2)= - (x-1). 21.如图所示,在一块展示牌上整齐地贴着许多资料卡片,这些卡片的大小相同,卡片之间露出了三块正方形的空白,在图中用斜线标明.已知卡片的短边长度为10厘米,想要配三张图片来填补空白,需要配多大尺寸的图片. 22.一个三位数,百位上的数字比十位上的数大1,个位上的数字比十位上数字的3倍少2.若将三个数字顺序颠倒后,所得的三位数与原三位数的和是1171,求这个三位数. 23.据了解,火车票价按“ ”的方法来确定.已知A站至H站总里程数为1500千米,全程参考价为180元.下表是沿途各站至H站的里程数: 车站名 A B C D E F G H 各站至H站 里程数(米) 1500 1130 910 622 402 219 72 0 例如:要确定从B站至E站火车票价,其票价为 =87.36≈87(元). (1)求A站至F站的火车票价(结果精确到1元). (2)旅客王大妈乘火车去女儿家,上车过两站后拿着车票问乘务员:“我快到站了吗?”乘务员看到王大妈手中的票价是66元,马上说下一站就到了.请问王大妈是在哪一站下的车(要求写出解答过程). 24.某公园的门票价格规定如下表: 购票人数 1~50人 51~100人 100人以上 票 价 5元 4.5元 4元 某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游该公园,如果两班都以班为单位分别购票,则一共需付486元. (1)如果两班联合起来,作为一个团体购票,则可以节约多少钱? (2)两班各有多少名学生?(提示:本题应分情况讨论) 答案: 一、1.3 2.-3 (点拨:将x=-1代入方程2x-3a=7,得-2-3a=7,得a=-3) 3. (点拨:解方程 x-1=- ,得x= ) 4. x+3x=2x-6 5.y= - x 6.525 (点拨:设标价为x元,则 =5%,解得x=525元) 7.18,20,22 8.4 [点拨:设需x天完成,则x( + )=1,解得x=4] 二、9.D 10.B (点拨:用分类讨论法: 当x≥0时,3x=18,∴x=6 当x100 ∴每张门票按4元收费的总票额为103×4=412(元) 可节省486-412=74(元) (2)∵甲、乙两班共103人,甲班人数>乙班人数 ∴甲班多于50人,乙班有两种情形: ①若乙班少于或等于50人,设乙班有x人,则甲班有(103-x)人,依题意,得 5x+4.5(103-x)=486 解得x=45,∴103-45=58(人) 即甲班有58人,乙班有45人. ②若乙班超过50人,设乙班x人,则甲班有(103-x)人, 根据题意,得 4.5x+4.5(103-x)=486 ∵此等式不成立,∴这种情况不存在. 故甲班为58人,乙班为45人.九年级上册数学方程题20道