这是06年的,你做参考
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)
1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( ).
(A)36 (B)37 (C)55 (D)90
答:C.
2.已知 , ,且 ,则 的值等于( )
(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9
答:C.
3.Rt△ABC的三个顶点 , , 均在抛物线 上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为 ,则( )
(A) (B) (C) (D)
答:B.
★ 4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )
(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007
答:B.
解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°.于是,剪过 次后,可得( +1)个多边形,这些多边形的内角和为( +1)×360°.
因为这( +1)个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为
34×(62-2)×180°=34×60×180°,
其余多边形有( +1)-34= -33(个),而这些多边形的内角和不少于( -33)×180°.所以
( +1)×360°≥34×60×180°+( -33)×180°,
解得 ≥2005.
当我们按如下的方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形.再取出33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便得到33个六十二边形和33×58个三角形.于是共剪了
58+33+33×58=2005(刀).
5.如图,正方形 内接于⊙ ,点 在劣弧 上,连结 , 交 于点 .若 ,则 的值为( )
(A) (B)
(C) (D)
答:D.
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6.已知 , , 为整数,且 + =2006, =2005.若 < ,则 + + 的最大值为 .
答:5013.
解:由 + =2006, =2005,得
+ + = +4011.
因为 + =2006, < , 为整数,所以, 的最大值为1002.
于是, + + 的最大值为5013.
7.如图,面积为 的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c是整数,且b不能被任何质数的平方整除,则 的值等于 .
答: .
解:设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则 .由△ADG ∽ △ABC,可得
解得 .于是
由题意,a=28,b=3,c=48,所以 .
8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A,C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米∕分,乙的速度为46米∕分. 那么,出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.
答:104.
解:设甲走完x条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x米,乙走了 米.于是
且 ≤ ,
所以, ≤ < .
故x=13,此时 .
9.已知 ,且满足
( 表示不超过x的最大整数),则 的值等于 .
答:6.
解:因为 ,所以 , ,…, 等于0或者1.由题设知,其中有18个等于1,所以
= =…= =0,
= =…= =1,
所以 ,
≤ < .
故 ≤ < ,于是 ≤ < ,所以 6.
10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是 .
答:282500.
解:设原来电话号码的六位数为 ,则经过两次升位后电话号码的八位数为 .
根据题意,有81× = .
记 ,于是
解得 .
因为 ≤ ≤ ,所以
≤ < ,
故 < ≤ .
因为 为整数,所以 =2.于是
所以,小明家原来的电话号码为282500.
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)
11(A).已知 , , 为互质的正整数,且 ≤ , .
(1)试写出一个满足条件的x;
(2)求所有满足条件的 .
解:(1) 满足条件.
(2)因为 , , 为互质的正整数,且 ≤ ,所以
当a=1时, ,这样的正整数b不存在.
当a=2时, ,故b=1,此时 .
当a=3时, ,故b=2,此时 .
当a=4时, ,与 互质的正整数b不存在.
当a=5时, ,故b=3,此时 .
当a=6时, ,与 互质的正整数b不存在.
当a=7时, ,故b=3,4,5,此时 , , .
当a=8时, ,故b=5,此时 .
所以,满足条件的所有分数为 , , , , , , .
12(A).设 , , 为互不相等的实数,且满足关系式
及 , ②
求 的取值范围.
解法1:由①-2×②得
所以 .
当 时,
又当 = 时,由①,②得
, ③
, ④
将④两边平方,结合③得
化简得
故 ,
解得 ,或 .
所以, 的取值范围为 且 , .
解法2:因为 , ,所以
= = ,
所以 .
又 ,所以 , 为一元二次方程
的两个不相等实数根,故
所以 .
当 时,
另外,当 = 时,由⑤式有
,或 ,
解得 ,或 .
所以, 的取值范围为 且 , .
13(A).如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K. 求证: .
证明:因为AC‖PB,所以 .又PA是⊙O的切线,所以 .故 ,于是
△KPE∽△KAP,
所以 ,
即 .
由切割线定理得
所以, KP=KB.
因为AC‖PB,所以,△KPE∽△ACE,于是
故 ,
即 .
14(A).2006个都不等于119的正整数 排列成一行数,其中任意连续若干项之和都不等于119,求 的最小值.
解:首先证明命题:对于任意119个正整数 ,其中一定存在若干个(至少一个,也可以是全部)的和是119的倍数.
事实上,考虑如下119个正整数
, ,…, , ①
若①中有一个是119的倍数,则结论成立.
若①中没有一个是119的倍数,则它们除以119所得的余数只能为1,2,…,118这118种情况.所以,其中一定有两个除以119的余数相同,不妨设为 和 ( ≤ < ≤ ),于是
从而此命题得证.
对于 中的任意119个数,由上述结论可知,其中一定有若干个数的和是119的倍数,又由题设知,它不等于119,所以,它大于或等于2×119,又因为 ,所以
≥ . ②
取 ,其余的数都为1时,②式等号成立.
所以, 的最小值为3910.
11(B).已知△ 中, 是锐角.从顶点 向 边或其延长线作垂线,垂足为 ;从顶点 向 边或其延长线作垂线,垂足为 .当 和 均为正整数时,△ 是什么三角形?并证明你的结论.
解:设 , 均为正整数,则
所以,mn=1,2,3.
(1)当mn=1时, , ,此时 .所以 垂直平分 , 垂直平分 ,于是△ 是等边三角形.
(2)当mn=2时, , ,此时 ,或 ,所以点 与点 重合,或点 与点 重合.故 ,或 ,于是△ 是等腰直角三角形.
(3)mn=3时, , ,此时 ,或 .于是 垂直平分 ,或 垂直平分 .故 ,或 ,于是△ 是顶角为 的等腰三角形.
12(B).证明:存在无穷多对正整数 ,满足方程
证法1:原方程可以写为
于是
是完全平方数.
设 ,其中k是任意一个正整数,则 .
于是
,或 .
所以,存在无穷多对正整数 (其中k是正整数)满足题设方程.
证法2:原方程可写为
所以可设
(x是正整数), ①
取 . ②
① -②得
令 (y是任意正整数),则 .
于是
所以,存在无穷多对正整数 (其中y是任意正整数)满足题设方程.
13(B).如图,已知锐角△ABC及其外接圆⊙O,AM是BC边的中线.分别过点B,C作⊙O的切线,两条切线相交于点X,连结AX.求证: .
证明:设AX与⊙O相交于点 ,连结OB,OC, .又M为BC的中点,所以,连结OX,它过点M.
因为 ,所以
. ①
又由切割线定理得
. ②
由①,②得
于是
△XMA∽△ ,
所以
又 ,所以 ,于是
14(B).10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.证明:n的最小值为6.
证明:设10个学生为 ,n个课外小组为 .
首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生为 ,由于每两个学生都至少在某一小组内出现过,所以其它9个学生都与他在同一组出现,于是这一组就有10个人了,矛盾.
若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设 恰好参加 ,由题设,对于这两组,至少有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与 没有同过组,矛盾.
所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是n个课外小组 的人数之和不小于 =30.
另一方面,每一课外小组的人数不超过5,所以n个课外小组 的人数不超过5n,故
≥ ,
所以 ≥ .
下面构造一个例子说明 是可以的.
, , ,
, , .
容易验证,这样的6个课外小组满足题设条件.
所以,n的最小值为6. http://www.zhongkao.com/200903/49bc64a917719.shtml
已知Y-2与X+4成正比例,当X=3时,Y=5,则X与Y的关系式是?
在等腰三角形ABCD中,AB‖CD,对角线AC、BD所对的角∠AOB=60°,P、Q、R分别是OA,BC,OD的中点
求证:△PQR是等腰三角形
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 ,深为 ,如果池底每 的造价为 元,池壁每 的造价为 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?
甲、乙两地相距 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 (千米/时)的平方成正比,比例系数为 ,固定部分为 元,(1)把全程运输成本 (元)表示为速度 (千米/时)的函数,指出定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
一段长为L 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时菜园的面积最大,最大面积是多少?
已知直角三角形两条直角边的和等于 10,求面积最大时斜边的长,最大面积是多少?
某单位建造一间地面面积为12m2 的背面靠墙的矩形小房,房屋正面的造价为 1200元/m2 ,房屋侧面的造价为 800元 /m2,屋顶的造价为 5800元,如果墙高为3m ,且不计房屋背面的费用,问怎样设计房屋能使总造价最低,最低总造价是多少元
、把一个_________________________化成_______________________的形式叫因式分解。
2、我们学过的判定两个全等三角形的各公理和推论简写为:__________________________________
3、把0.002078保留两个有效数字为________________________________。
4、计算0.13+(1/10)0-10-3=______________________。
5、三角形的一个外角等于110°,它的一个内角40°,这个三角形的另外两个内角是__________________。
6、(a-b)n=_______(b-a)n(n是奇数)。
7、三角形的一条边是9,另一条边是4,那么第三边取值范围是____________,如果第三边长是一个整数,它可能是_________________。
8、多项式2πr+2πR各项都含有一个公共的因式______________,这时,我们要把因式______________叫做这个多项式的________________________。
9、如图所示,己知AB=AC、AD=AE、∠BAC=∠DAE:则∠ABD=__________。
(抱歉,缺图。望谅解!)
10、己知:有理数x、y、z,满足(x2-xy+y2)2+(z+3)2=0,那么x3+y3+z3=______________。
二、选择题(每题3分,共30分)
1、下列各式可以分解因式的是( )
A、x2-y3 B、a2+b2 C、mx-ny D、-x2+y2
2、根据定义,三角形的角平分线,中线和高线都是( )
A、直线 B、线段 C、射线 D、以上都不对
3、9×108-109等于( )
A、108 B、10-1 C、-108 D、-1
4、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( )
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定
5、把0.0169a4b6化为某单项式的平方,这个单项式为( )
A、1.3a2b3 B、0.13a2b2 C、0.13a2b3 D、0.13a2b4
6、如图所示:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于( )
A、480° B、360° C、240° D、180°
(抱歉,缺图。望谅解!)
7、如果,(m+n)(m-n)2-mn(m+n)=(m+n)N,则N是( )
A、m2+n2 B、m2-mn+n2 C、m3+mn+n2 D、m2-3mn+n2
8、下列说法中正确的是( )
A、每个命题都有逆命题 B、每个定理都有逆定理
C、真命题的逆命题是真命题 D、假命题的逆命题是假命题
9、若a、b、c是三角形的三边长,则代数式a2-2ab-c2+b2的值( )
A、大于0 B、等于0 C、小于0 D、不能确定
10、下列定理中,有逆定理的是( )
A、凡直角都相等 B、对顶角相等 C、全等三角形的对应角相等
D、在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
三、分解因式:(24分)
(1)x4y-xy4 (2)ab(c2+d2)+cd(a2+b2) (3)10x2-23xy+12y2
(4)(x2+2x)2-7(x2+2x)-8 (5)4x6-31x3-8 (6)x4+4
四、己知线段a、c(a └————————————┘a └———————————————————┘b 五、己知△ABC,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足为E、F。求证:EB=FC(5分) (抱歉,缺图。望谅解!) 六、己知:a、b、c均为正有理数,且3a3+6a2b-3a2c-6abc=0求证:a=c(4分) 七、己知:AB=AE,∠B=∠E,BC=ED.点F是CD的中点。求证:AF⊥CD(5分) (抱歉,缺图。望谅解!) 八、求证;三角形一边的两个端点到这个边上的中线的距离相等。(5分) 九、己知:a2+2a+b2-4b+5=0,求ab的值?(3分) 5个矩形,短边与长边之比都是1:2,且这5个矩形能拼成一个大矩形;记它们的短边为 a1,a2,a3,a4,a5 (a1<a2<a3<a4<a5)。 (1)已知一组矩形为(1,2,5,a4,a5),求所有的可能。 (2)在第一小题的条件下,拼成的大矩形面积最大 意思一下 活动规则 仅限于俱乐部会员,每支队伍由6名队员组成。本着自愿的原则,可以自由组 队,也可以由俱乐部会员单位分配组队。所有报名者均参加个人精英战和团队 竞技战,晋级队伍有资格参加“巅峰对决”。(注:不足6人的队伍也可选择由 俱乐部组委会分配补充,分配原则依次为从本单位,本城市,本省,其它地区 会员中匹配) 第一轮:个人精英战 + 团队竞技战 (每人挑战30关,共90分钟,每关5分,总分150分,每关不限时,可回溯,前 25关随机顺序出现) 个人精英战——每人的前25关,问题相同。 团队竞技战——每人的后5关,按报名时A、B、C、D、E、F的顺序匹配问题,6 位队员的问题各不相同,一个团队需挑战共30个问题。不同团队间问题相同。 个人精英战:以个人前25关的闯关结果总和计算。 团队竞技战:以6位队员的第一轮(个人25关+团队5关)闯关结果的总和计算。如果两队总分相同,则6位队员后5关总分更高者胜出。如果两队后5关总分也相同,则按顺序比较A-F每位队员的分数, 先出现分数更高者胜出。(各年级取各城市团队竞技战第一名参加全国排名,前十支战队代表城市晋级国 家十强) 第二轮:巅峰对决 晋级战队分别进入各自直播间,共同作答10道闯关题目,可以讨论。最终由本 队决定提交时记录答卷提交时间。每道题目10分,按每队获得的总分值排名。得分相同的战队,按照提交时间排名,用时短的战队排名靠前。 希望杯数学比赛的个人赛和团队赛的巅峰对决赛的具体规则如下: 个人赛: 1. 第一轮:个人精英战,共90分钟。每人挑战30关,每关5分,总分150分。每关不限时,可回溯。前25关随机顺序出现。 2. 个人精英战:以个人前25关的闯关结果总和计算。 团队赛: 1. 第一轮:团队竞技战,共90分钟。每人的后5关,按报名时A、B、C、D、E、F的顺序匹配问题,6位队员的问题各不相同,一个团队需挑战共30个问题。不同团队间问题相同。 2. 团队竞技战:以6位队员的第一轮个人成绩总和计算。 以上是希望杯数学比赛个人赛和团队赛的巅峰对决赛的具体规则。 AB的平均分比BC的平均分多2.5+1.5=4分 A与C相差4×2=8分,即A比C多8分 (C+8+93+C)÷3=(C+8+93)÷2-2.5 4C+202=3C+303-15 C=86 设b得了x分,A得了y分 (y+x)/2=(93+x+y)/3-1.5 (1) (93+y)/2=(93+x+y)/3+2.5 (2) 解二元一次方程,y抵消.x=85 解: 当p=2时,p2+71=75=52×3,此时共有正因数(2+1)(1+1)=6个,故p=2 满足要求.当p=3时,p2+71=80=24×5,此时共有正因数(4+1)(1+1)=10个,故p=3 满足条件. 当p>3时,p2+71=p2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数p必为3k±1型的奇数 p-1、p+1是相邻的两个偶数,且其中必有一个是3的倍数.所以,(p—1)(p+1)是24的倍数, 从而p2+71是24的倍数. 设p2+71=24×m,m≥4. 若m有不同于2、3的质因数,则,p2+71的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)>l0; 若m中含有质因数3,则,p2+71的正因数个数≥(3+1)(2+1)>10; 若m中仅含有质因数2,则p2+71的正因数个数≥(5+1) (1+1)>10; 所以,p>3不满足条件.综上所述,所求得的质数p是2或3.新希望杯数学竞赛
六年级希望杯数学竞赛真题
高二数学竞赛试题及答案
这是06年的,你做参考
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分)
1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( ).
(A)36 (B)37 (C)55 (D)90
答:C.
2.已知 , ,且 ,则 的值等于( )
(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9
答:C.
3.Rt△ABC的三个顶点 , , 均在抛物线 上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为 ,则( )
(A) (B) (C) (D)
答:B.
★ 4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )
(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007
答:B.
解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°.于是,剪过 次后,可得( +1)个多边形,这些多边形的内角和为( +1)×360°.
因为这( +1)个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为
34×(62-2)×180°=34×60×180°,
其余多边形有( +1)-34= -33(个),而这些多边形的内角和不少于( -33)×180°.所以
( +1)×360°≥34×60×180°+( -33)×180°,
解得 ≥2005.
当我们按如下的方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形.再取出33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便得到33个六十二边形和33×58个三角形.于是共剪了
58+33+33×58=2005(刀).
5.如图,正方形 内接于⊙ ,点 在劣弧 上,连结 , 交 于点 .若 ,则 的值为( )
(A) (B)
(C) (D)
答:D.
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6.已知 , , 为整数,且 + =2006, =2005.若 < ,则 + + 的最大值为 .
答:5013.
解:由 + =2006, =2005,得
+ + = +4011.
因为 + =2006, < , 为整数,所以, 的最大值为1002.
于是, + + 的最大值为5013.
7.如图,面积为 的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c是整数,且b不能被任何质数的平方整除,则 的值等于 .
答: .
解:设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则 .由△ADG ∽ △ABC,可得
解得 .于是
由题意,a=28,b=3,c=48,所以 .
8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A,C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米∕分,乙的速度为46米∕分. 那么,出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.
答:104.
解:设甲走完x条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x米,乙走了 米.于是
且 ≤ ,
所以, ≤ < .
故x=13,此时 .
9.已知 ,且满足
( 表示不超过x的最大整数),则 的值等于 .
答:6.
解:因为 ,所以 , ,…, 等于0或者1.由题设知,其中有18个等于1,所以
= =…= =0,
= =…= =1,
所以 ,
≤ < .
故 ≤ < ,于是 ≤ < ,所以 6.
10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是 .
答:282500.
解:设原来电话号码的六位数为 ,则经过两次升位后电话号码的八位数为 .
根据题意,有81× = .
记 ,于是
解得 .
因为 ≤ ≤ ,所以
≤ < ,
故 < ≤ .
因为 为整数,所以 =2.于是
所以,小明家原来的电话号码为282500.
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)
11(A).已知 , , 为互质的正整数,且 ≤ , .
(1)试写出一个满足条件的x;
(2)求所有满足条件的 .
解:(1) 满足条件.
(2)因为 , , 为互质的正整数,且 ≤ ,所以
当a=1时, ,这样的正整数b不存在.
当a=2时, ,故b=1,此时 .
当a=3时, ,故b=2,此时 .
当a=4时, ,与 互质的正整数b不存在.
当a=5时, ,故b=3,此时 .
当a=6时, ,与 互质的正整数b不存在.
当a=7时, ,故b=3,4,5,此时 , , .
当a=8时, ,故b=5,此时 .
所以,满足条件的所有分数为 , , , , , , .
12(A).设 , , 为互不相等的实数,且满足关系式
及 , ②
求 的取值范围.
解法1:由①-2×②得
所以 .
当 时,
又当 = 时,由①,②得
, ③
, ④
将④两边平方,结合③得
化简得
故 ,
解得 ,或 .
所以, 的取值范围为 且 , .
解法2:因为 , ,所以
= = ,
所以 .
又 ,所以 , 为一元二次方程
的两个不相等实数根,故
所以 .
当 时,
另外,当 = 时,由⑤式有
,或 ,
解得 ,或 .
所以, 的取值范围为 且 , .
13(A).如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K. 求证: .
证明:因为AC‖PB,所以 .又PA是⊙O的切线,所以 .故 ,于是
△KPE∽△KAP,
所以 ,
即 .
由切割线定理得
所以, KP=KB.
因为AC‖PB,所以,△KPE∽△ACE,于是
故 ,
即 .
14(A).2006个都不等于119的正整数 排列成一行数,其中任意连续若干项之和都不等于119,求 的最小值.
解:首先证明命题:对于任意119个正整数 ,其中一定存在若干个(至少一个,也可以是全部)的和是119的倍数.
事实上,考虑如下119个正整数
, ,…, , ①
若①中有一个是119的倍数,则结论成立.
若①中没有一个是119的倍数,则它们除以119所得的余数只能为1,2,…,118这118种情况.所以,其中一定有两个除以119的余数相同,不妨设为 和 ( ≤ < ≤ ),于是
从而此命题得证.
对于 中的任意119个数,由上述结论可知,其中一定有若干个数的和是119的倍数,又由题设知,它不等于119,所以,它大于或等于2×119,又因为 ,所以
≥ . ②
取 ,其余的数都为1时,②式等号成立.
所以, 的最小值为3910.
11(B).已知△ 中, 是锐角.从顶点 向 边或其延长线作垂线,垂足为 ;从顶点 向 边或其延长线作垂线,垂足为 .当 和 均为正整数时,△ 是什么三角形?并证明你的结论.
解:设 , 均为正整数,则
所以,mn=1,2,3.
(1)当mn=1时, , ,此时 .所以 垂直平分 , 垂直平分 ,于是△ 是等边三角形.
(2)当mn=2时, , ,此时 ,或 ,所以点 与点 重合,或点 与点 重合.故 ,或 ,于是△ 是等腰直角三角形.
(3)mn=3时, , ,此时 ,或 .于是 垂直平分 ,或 垂直平分 .故 ,或 ,于是△ 是顶角为 的等腰三角形.
12(B).证明:存在无穷多对正整数 ,满足方程
证法1:原方程可以写为
于是
是完全平方数.
设 ,其中k是任意一个正整数,则 .
于是
,或 .
所以,存在无穷多对正整数 (其中k是正整数)满足题设方程.
证法2:原方程可写为
所以可设
(x是正整数), ①
取 . ②
① -②得
令 (y是任意正整数),则 .
于是
所以,存在无穷多对正整数 (其中y是任意正整数)满足题设方程.
13(B).如图,已知锐角△ABC及其外接圆⊙O,AM是BC边的中线.分别过点B,C作⊙O的切线,两条切线相交于点X,连结AX.求证: .
证明:设AX与⊙O相交于点 ,连结OB,OC, .又M为BC的中点,所以,连结OX,它过点M.
因为 ,所以
. ①
又由切割线定理得
. ②
由①,②得
于是
△XMA∽△ ,
所以
又 ,所以 ,于是
14(B).10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.证明:n的最小值为6.
证明:设10个学生为 ,n个课外小组为 .
首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生为 ,由于每两个学生都至少在某一小组内出现过,所以其它9个学生都与他在同一组出现,于是这一组就有10个人了,矛盾.
若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设 恰好参加 ,由题设,对于这两组,至少有两个学生,他们没有参加这两组,于是他们与 没有同过组,矛盾.
所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是n个课外小组 的人数之和不小于 =30.
另一方面,每一课外小组的人数不超过5,所以n个课外小组 的人数不超过5n,故
≥ ,
所以 ≥ .
下面构造一个例子说明 是可以的.
, , ,
, , .
容易验证,这样的6个课外小组满足题设条件.
所以,n的最小值为6. http://www.zhongkao.com/200903/49bc64a917719.shtml
已知Y-2与X+4成正比例,当X=3时,Y=5,则X与Y的关系式是?
在等腰三角形ABCD中,AB‖CD,对角线AC、BD所对的角∠AOB=60°,P、Q、R分别是OA,BC,OD的中点
求证:△PQR是等腰三角形
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 ,深为 ,如果池底每 的造价为 元,池壁每 的造价为 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?
甲、乙两地相距 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 (千米/时)的平方成正比,比例系数为 ,固定部分为 元,(1)把全程运输成本 (元)表示为速度 (千米/时)的函数,指出定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
一段长为L 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时菜园的面积最大,最大面积是多少?
已知直角三角形两条直角边的和等于 10,求面积最大时斜边的长,最大面积是多少?
某单位建造一间地面面积为12m2 的背面靠墙的矩形小房,房屋正面的造价为 1200元/m2 ,房屋侧面的造价为 800元 /m2,屋顶的造价为 5800元,如果墙高为3m ,且不计房屋背面的费用,问怎样设计房屋能使总造价最低,最低总造价是多少元
、把一个_________________________化成_______________________的形式叫因式分解。
2、我们学过的判定两个全等三角形的各公理和推论简写为:__________________________________
3、把0.002078保留两个有效数字为________________________________。
4、计算0.13+(1/10)0-10-3=______________________。
5、三角形的一个外角等于110°,它的一个内角40°,这个三角形的另外两个内角是__________________。
6、(a-b)n=_______(b-a)n(n是奇数)。
7、三角形的一条边是9,另一条边是4,那么第三边取值范围是____________,如果第三边长是一个整数,它可能是_________________。
8、多项式2πr+2πR各项都含有一个公共的因式______________,这时,我们要把因式______________叫做这个多项式的________________________。
9、如图所示,己知AB=AC、AD=AE、∠BAC=∠DAE:则∠ABD=__________。
(抱歉,缺图。望谅解!)
10、己知:有理数x、y、z,满足(x2-xy+y2)2+(z+3)2=0,那么x3+y3+z3=______________。
二、选择题(每题3分,共30分)
1、下列各式可以分解因式的是( )
A、x2-y3 B、a2+b2 C、mx-ny D、-x2+y2
2、根据定义,三角形的角平分线,中线和高线都是( )
A、直线 B、线段 C、射线 D、以上都不对
3、9×108-109等于( )
A、108 B、10-1 C、-108 D、-1
4、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( )
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定
5、把0.0169a4b6化为某单项式的平方,这个单项式为( )
A、1.3a2b3 B、0.13a2b2 C、0.13a2b3 D、0.13a2b4
6、如图所示:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于( )
A、480° B、360° C、240° D、180°
(抱歉,缺图。望谅解!)
7、如果,(m+n)(m-n)2-mn(m+n)=(m+n)N,则N是( )
A、m2+n2 B、m2-mn+n2 C、m3+mn+n2 D、m2-3mn+n2
8、下列说法中正确的是( )
A、每个命题都有逆命题 B、每个定理都有逆定理
C、真命题的逆命题是真命题 D、假命题的逆命题是假命题
9、若a、b、c是三角形的三边长,则代数式a2-2ab-c2+b2的值( )
A、大于0 B、等于0 C、小于0 D、不能确定
10、下列定理中,有逆定理的是( )
A、凡直角都相等 B、对顶角相等 C、全等三角形的对应角相等
D、在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
三、分解因式:(24分)
(1)x4y-xy4 (2)ab(c2+d2)+cd(a2+b2) (3)10x2-23xy+12y2
(4)(x2+2x)2-7(x2+2x)-8 (5)4x6-31x3-8 (6)x4+4
四、己知线段a、c(a └————————————┘a └———————————————————┘b 五、己知△ABC,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足为E、F。求证:EB=FC(5分) (抱歉,缺图。望谅解!) 六、己知:a、b、c均为正有理数,且3a3+6a2b-3a2c-6abc=0求证:a=c(4分) 七、己知:AB=AE,∠B=∠E,BC=ED.点F是CD的中点。求证:AF⊥CD(5分) (抱歉,缺图。望谅解!) 八、求证;三角形一边的两个端点到这个边上的中线的距离相等。(5分) 九、己知:a2+2a+b2-4b+5=0,求ab的值?(3分) 5个矩形,短边与长边之比都是1:2,且这5个矩形能拼成一个大矩形;记它们的短边为 a1,a2,a3,a4,a5 (a1<a2<a3<a4<a5)。 (1)已知一组矩形为(1,2,5,a4,a5),求所有的可能。 (2)在第一小题的条件下,拼成的大矩形面积最大 意思一下 活动规则 仅限于俱乐部会员,每支队伍由6名队员组成。本着自愿的原则,可以自由组 队,也可以由俱乐部会员单位分配组队。所有报名者均参加个人精英战和团队 竞技战,晋级队伍有资格参加“巅峰对决”。(注:不足6人的队伍也可选择由 俱乐部组委会分配补充,分配原则依次为从本单位,本城市,本省,其它地区 会员中匹配) 第一轮:个人精英战 + 团队竞技战 (每人挑战30关,共90分钟,每关5分,总分150分,每关不限时,可回溯,前 25关随机顺序出现) 个人精英战——每人的前25关,问题相同。 团队竞技战——每人的后5关,按报名时A、B、C、D、E、F的顺序匹配问题,6 位队员的问题各不相同,一个团队需挑战共30个问题。不同团队间问题相同。 个人精英战:以个人前25关的闯关结果总和计算。 团队竞技战:以6位队员的第一轮(个人25关+团队5关)闯关结果的总和计算。如果两队总分相同,则6位队员后5关总分更高者胜出。如果两队后5关总分也相同,则按顺序比较A-F每位队员的分数, 先出现分数更高者胜出。(各年级取各城市团队竞技战第一名参加全国排名,前十支战队代表城市晋级国 家十强) 第二轮:巅峰对决 晋级战队分别进入各自直播间,共同作答10道闯关题目,可以讨论。最终由本 队决定提交时记录答卷提交时间。每道题目10分,按每队获得的总分值排名。得分相同的战队,按照提交时间排名,用时短的战队排名靠前。 希望杯数学比赛的个人赛和团队赛的巅峰对决赛的具体规则如下: 个人赛: 1. 第一轮:个人精英战,共90分钟。每人挑战30关,每关5分,总分150分。每关不限时,可回溯。前25关随机顺序出现。 2. 个人精英战:以个人前25关的闯关结果总和计算。 团队赛: 1. 第一轮:团队竞技战,共90分钟。每人的后5关,按报名时A、B、C、D、E、F的顺序匹配问题,6位队员的问题各不相同,一个团队需挑战共30个问题。不同团队间问题相同。 2. 团队竞技战:以6位队员的第一轮个人成绩总和计算。 以上是希望杯数学比赛个人赛和团队赛的巅峰对决赛的具体规则。 AB的平均分比BC的平均分多2.5+1.5=4分 A与C相差4×2=8分,即A比C多8分 (C+8+93+C)÷3=(C+8+93)÷2-2.5 4C+202=3C+303-15 C=86 设b得了x分,A得了y分 (y+x)/2=(93+x+y)/3-1.5 (1) (93+y)/2=(93+x+y)/3+2.5 (2) 解二元一次方程,y抵消.x=85 解: 当p=2时,p2+71=75=52×3,此时共有正因数(2+1)(1+1)=6个,故p=2 满足要求.当p=3时,p2+71=80=24×5,此时共有正因数(4+1)(1+1)=10个,故p=3 满足条件. 当p>3时,p2+71=p2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数p必为3k±1型的奇数 p-1、p+1是相邻的两个偶数,且其中必有一个是3的倍数.所以,(p—1)(p+1)是24的倍数, 从而p2+71是24的倍数. 设p2+71=24×m,m≥4. 若m有不同于2、3的质因数,则,p2+71的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)>l0; 若m中含有质因数3,则,p2+71的正因数个数≥(3+1)(2+1)>10; 若m中仅含有质因数2,则p2+71的正因数个数≥(5+1) (1+1)>10; 所以,p>3不满足条件.综上所述,所求得的质数p是2或3.新希望杯数学竞赛
六年级希望杯数学竞赛真题
高二数学竞赛试题及答案