精确解法有:
(1)公式法:
ax^2+bx+c=0 (a≠0)
Δ=b^2-4ac≥0时,
x=(-b+√Δ)/(2a) 或 (-b-√Δ)/(2a)
Δ<0时,无实数根,虚根是(-b+i√(-Δ))/(2a) 或 (-b-i√(-Δ))/(2a),其中i是虚数单位,i^2=-1
(2)因式分解:
把ax^2+bx+c=0 (a≠0)通过各种方法因此分解得:a(x-x1)(x-x2)=0,从而,x1与x2是方程的根
常见的有:
(i) 配方法
ax^2+bx+c=0
a[x-b/(2a)]^2+(4ac-b^2)/(4a)=0
如果,a与(4ac-b^2)/(4a)同号,则无实根,异号,则可以用平方差公式进一步因式分解,或者把(4ac-b^2)/(4a)移到方程右边,两边同时开平方。
如:x^2+2x-3=0
<法一>
(x+1)^2-4=0
(x+1+2)(x+1-2)=0
<法二>
(x+1)^2-4=0
(x+1)^2=4
两边开平方:x+1=2或x+1=-2
(ii)十字相乘因式分解
这个方法对一些简单的能快速解出,
其本质就是观察找出方程的两根 (-x1)+(-x2)=b/a,(-x1)*(-x2)=c/a
如:x^2+2x-3=0
因为 3+(-1)=2,3*(-1)=-3
所以,(x+3)(x-1)=0
(3)观察找出方程的一根,用韦达定理,求出另一根:
韦达定理:
方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)两根为x1,x2,则有 x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a
证明:因为a(x-x1)(x-x2)=0,展开得:ax^2-a(x1+x2)x+ax1*x2=0对比原方程即可得。
例:x^2+2x-3=0
可以观察出方程一根是 x1=1
再由韦达定理,x1+x2=-2
所以,x2=-2-x1=-3
另外,数值解法(用计算机程序)有二分法、牛顿法等。 形如x^2=a(a>0)的,用直接开平方来解;
形如ax^2+bx+c=0(a≠0)的,可以首先使用因式分解法,然后是配方法、求根公式法。
用公式法解一元二次方程的公式如下:
1、公式法。在一元二次方程y=ax?+bx+c(a、b、c是常数)中,当△=b?-4ac>0时,方程有两个解,根据求根公式x=(-b±√(b?-4ac))/2a即刻求出结果;△=b?-4ac=0时,方程只有一个解x=-b/2a;△=b?-4ac<0时,方程无解。
2、配方法。将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a(x-h)?+k(a≠0),再移项化简为(x-h)?=-k/a,开方后可得方程的解。
3、因式分解法。通过因式分解,把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式,即交点式的表达式y=a(x-x1)(x-x2),再分别令这两个因式等于0,它们的解就是原方程的解。 一元二次方程的一般形式为:
ax^2+bx+c=0
其中a、b、c为常数。a不为0。
上图就是一元二次方程的公式
一元二次方程的解法
一、知识要点:
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基
础,应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0,
(a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
二、方法、例题精讲:
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n
(n≥0)的
方程,其解为x=m±
例1.解方程(1)(3x+1)2=7
(2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以
此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解:
9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0
(a≠0)
先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+(
)2=-
+(
)2
方程左边成为一个完全平方式:(x+
)2=
当b2-4ac≥0时,x+
=±
∴x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程
3x2-4x-2=0
解:将常数项移到方程右边
3x2-4x=2
将二次项系数化为1:x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+(
)2=
+(
)2
配方:(x-)2=
直接开平方得:x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项
系数a,
b,
c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程
2x2-8x=-5
解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0
∴a=2,
b=-8,
c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1)
(x+3)(x-6)=-8
(2)
2x2+3x=0
(3)
6x2+5x-50=0
(选学)
(4)x2-2(
)x+4=0
(选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8
化简整理得
x2-3x-10=0
(方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0
(方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0
(转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0
(用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0
(转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0
(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=,
x2=-
是原方程的解。
(4)解:x2-2(+
)x+4
=0
(∵4
可分解为2
·2
,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2
)=0
∴x1=2
,x2=2是原方程的解。
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般
形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式
法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
一元二次方程解法:
一、直接开平方法
形如(x+a)^2=b,当b大于或等于0时,x+a=正负根号b,x=-a加减根号b;当b小于0时。方程无实数根。
二、配方法
1、二次项系数化为1。
2、移项,左边为二次项和一次项,右边为常数项。
3、配方,两边都加上一次项系数一半的平方,化成(x=a)^2=b的形式。
4、利用直接开平方法求出方程的解。
三、公式法
现将方程整理成:ax^2+bx+c=0的一般形式。再将abc代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a,(b^2-4ac大于或等于0)即可。
四、因式分解法
如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解,那么优先选用因式分解法。
一元二次方程成立必须同时满足三个条件:
1、是整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果有分母;且未知数在分母上,那么这个方程就是分式方程,不是一元二次方程,方程中如果有根号,且未知数在根号内,那么这个方程也不是一元二次方程(是无理方程)。
2、只含有一个未知数。
解一元二次方程公式如下:
一元二次方程的一般形式为:ax² + bx + c = 0,其中a、b、c为常数,且a≠0。
解一元二次方程的公式为:x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
其中,±表示两个根,即正根和负根;√表示平方根;b² - 4ac被称为“判别式”,根据判别式的值可以判断方程有一个根、两个不相等的根或者无实根。
如果判别式b² - 4ac>0,则方程有两个不相等的实根,即x1=(-b+√(b²-4ac))/(2a),x2=(-b-√(b²-4ac))/(2a)。
如果判别式b² - 4ac=0,则方程有一个实根,即x=-b/(2a)。
如果判别式b² - 4ac<0,则方程无实根,但可以用复数表示,即x1=(-b+i√|b²-4ac|)/(2a),x2=(-b-i√|b²-4ac|)/(2a),其中i为虚数单位。
精确解法有:
(1)公式法:
ax^2+bx+c=0 (a≠0)
Δ=b^2-4ac≥0时,
x=(-b+√Δ)/(2a) 或 (-b-√Δ)/(2a)
Δ<0时,无实数根,虚根是(-b+i√(-Δ))/(2a) 或 (-b-i√(-Δ))/(2a),其中i是虚数单位,i^2=-1
(2)因式分解:
把ax^2+bx+c=0 (a≠0)通过各种方法因此分解得:a(x-x1)(x-x2)=0,从而,x1与x2是方程的根
常见的有:
(i) 配方法
ax^2+bx+c=0
a[x-b/(2a)]^2+(4ac-b^2)/(4a)=0
如果,a与(4ac-b^2)/(4a)同号,则无实根,异号,则可以用平方差公式进一步因式分解,或者把(4ac-b^2)/(4a)移到方程右边,两边同时开平方。
如:x^2+2x-3=0
<法一>
(x+1)^2-4=0
(x+1+2)(x+1-2)=0
<法二>
(x+1)^2-4=0
(x+1)^2=4
两边开平方:x+1=2或x+1=-2
(ii)十字相乘因式分解
这个方法对一些简单的能快速解出,
其本质就是观察找出方程的两根 (-x1)+(-x2)=b/a,(-x1)*(-x2)=c/a
如:x^2+2x-3=0
因为 3+(-1)=2,3*(-1)=-3
所以,(x+3)(x-1)=0
(3)观察找出方程的一根,用韦达定理,求出另一根:
韦达定理:
方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)两根为x1,x2,则有 x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a
证明:因为a(x-x1)(x-x2)=0,展开得:ax^2-a(x1+x2)x+ax1*x2=0对比原方程即可得。
例:x^2+2x-3=0
可以观察出方程一根是 x1=1
再由韦达定理,x1+x2=-2
所以,x2=-2-x1=-3
另外,数值解法(用计算机程序)有二分法、牛顿法等。 形如x^2=a(a>0)的,用直接开平方来解;
形如ax^2+bx+c=0(a≠0)的,可以首先使用因式分解法,然后是配方法、求根公式法。
用公式法解一元二次方程的公式如下:
1、公式法。在一元二次方程y=ax?+bx+c(a、b、c是常数)中,当△=b?-4ac>0时,方程有两个解,根据求根公式x=(-b±√(b?-4ac))/2a即刻求出结果;△=b?-4ac=0时,方程只有一个解x=-b/2a;△=b?-4ac<0时,方程无解。
2、配方法。将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a(x-h)?+k(a≠0),再移项化简为(x-h)?=-k/a,开方后可得方程的解。
3、因式分解法。通过因式分解,把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式,即交点式的表达式y=a(x-x1)(x-x2),再分别令这两个因式等于0,它们的解就是原方程的解。 一元二次方程的一般形式为:
ax^2+bx+c=0
其中a、b、c为常数。a不为0。
上图就是一元二次方程的公式
一元二次方程的解法
一、知识要点:
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基
础,应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0,
(a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
二、方法、例题精讲:
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n
(n≥0)的
方程,其解为x=m±
例1.解方程(1)(3x+1)2=7
(2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以
此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解:
9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0
(a≠0)
先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+(
)2=-
+(
)2
方程左边成为一个完全平方式:(x+
)2=
当b2-4ac≥0时,x+
=±
∴x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程
3x2-4x-2=0
解:将常数项移到方程右边
3x2-4x=2
将二次项系数化为1:x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+(
)2=
+(
)2
配方:(x-)2=
直接开平方得:x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项
系数a,
b,
c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程
2x2-8x=-5
解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0
∴a=2,
b=-8,
c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让
两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1)
(x+3)(x-6)=-8
(2)
2x2+3x=0
(3)
6x2+5x-50=0
(选学)
(4)x2-2(
)x+4=0
(选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8
化简整理得
x2-3x-10=0
(方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0
(方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0
(转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0
(用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0
(转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0
(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=,
x2=-
是原方程的解。
(4)解:x2-2(+
)x+4
=0
(∵4
可分解为2
·2
,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2
)=0
∴x1=2
,x2=2是原方程的解。
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般
形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式
法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
一元二次方程解法:
一、直接开平方法
形如(x+a)^2=b,当b大于或等于0时,x+a=正负根号b,x=-a加减根号b;当b小于0时。方程无实数根。
二、配方法
1、二次项系数化为1。
2、移项,左边为二次项和一次项,右边为常数项。
3、配方,两边都加上一次项系数一半的平方,化成(x=a)^2=b的形式。
4、利用直接开平方法求出方程的解。
三、公式法
现将方程整理成:ax^2+bx+c=0的一般形式。再将abc代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a,(b^2-4ac大于或等于0)即可。
四、因式分解法
如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解,那么优先选用因式分解法。
一元二次方程成立必须同时满足三个条件:
1、是整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果有分母;且未知数在分母上,那么这个方程就是分式方程,不是一元二次方程,方程中如果有根号,且未知数在根号内,那么这个方程也不是一元二次方程(是无理方程)。
2、只含有一个未知数。
解一元二次方程公式如下:
一元二次方程的一般形式为:ax² + bx + c = 0,其中a、b、c为常数,且a≠0。
解一元二次方程的公式为:x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
其中,±表示两个根,即正根和负根;√表示平方根;b² - 4ac被称为“判别式”,根据判别式的值可以判断方程有一个根、两个不相等的根或者无实根。
如果判别式b² - 4ac>0,则方程有两个不相等的实根,即x1=(-b+√(b²-4ac))/(2a),x2=(-b-√(b²-4ac))/(2a)。
如果判别式b² - 4ac=0,则方程有一个实根,即x=-b/(2a)。
如果判别式b² - 4ac<0,则方程无实根,但可以用复数表示,即x1=(-b+i√|b²-4ac|)/(2a),x2=(-b-i√|b²-4ac|)/(2a),其中i为虚数单位。