二二项式定理知识点目录
二项式定理,也称为二项式展开式,是一个在数学中常用的公式,主要用于展开二项式 (a+b)n 的形式。其基本公式如下:
(a+b)n = C(n,0)an + C(n,1)a(n-1)b + C(n,2)a(n-2)b2 + ... + C(n,n)bn
其中,C(n,k) 表示组合数,即从 n 个不同项中选取 k 个的不同方式的数目。
这个公式中的每一项都是由系数(C(n,k))和变量(a 和 b)的幂次相乘得到的。系数是组合数,表示的是从 n 个不同项中选取 k 个的不同方式的数目。
这个定理的基本概念包括二项式展开式、项数和二项式系数。二项式展开式就是等式右边的形式,共有 n+1 项。二项式系数是 C(n,k),也就是从 n 个不同项中选取 k 个的不同方式的数目。
①项数:展开式中总共有(n+1)项。
②顺序:注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(a+b)”与(b+a)"是不同的
③指数:a的指数从n逐项减到0,是降幂排列。
b的指数从0逐项减到n,是升幂排列。
各项的次数和等于n
④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数
二项式定理的由来
二项式定理(BinomialThcorem)是指(a+b)"在n为正整数时的展开式。
古时候的中国、埃及、巴比伦、印度的劳动人民,通过了几何图形,认识了这个公式(a+b)2=a+2ab+b。
它是公式(a+b)"的特殊情形。
这公式在科学上很有用。
二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和,以及差分法中有广泛的应用,是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具,对于微积分的充分发展更是必不可少的一步。
二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等.
通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成.
二项式定理本身是教学重点,因为它是后面一切结果的基础.通项公式,杨辉三角,特殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点.
二项式定理展开的特点
项数:共有n+1项;
系数:依次为组合数Cn,Cn,Cn,Cn,…,Cn;
每一项的次数都是一样的,即为n次,展开式以a的降次幂排列,b的升次幂排列展开。
二项式定理的性质
二项式定理的系数具有对称性。
在二项式展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等;将它们绘成图像f(x),图像关于x=n/2对称,即x=n/2为图像f(x)的对称轴;
二项式展开的中间项是二项式系数的最大值。
当n为偶数时,中间项是第n/2+1项最大;当n为奇数时,中间项为两项,即为第(n+1)/2项和第(n+1)/2+1项的系数最大;
Cn+Cn+Cn+…+Cn=2,这也是(1+1)^2用二项式展开所得,同时偶次幂系数相加等于奇次幂系数相加=2^(n-1);
二项式定理系数项的增减性
令(n-k+1)/k>1得出k<(n+1)/2,也就是说当k为二项式前半部分时,二项式的系数是递增的,反过来当k为二项式后面的数时二项式的系数是增减的,这也是二项式系数取中间项为最大项的原因。
二项式定理的拓展
(a+b+c)^n也可以运用二项式定理来计算其中的某个项的系数。
先将a+b看成一个整体,然后根据二项式定理展开,在将(a+b)的几次幂用二项式展开,也就是运用了两次二项式展开的过程。
二项式定理是由(a+b)^2,(a+b)^3,(a+b)^4等展开式归纳猜想而来,并由排列组合的方法证明了这一归纳。
二二项式定理知识点目录
二项式定理,也称为二项式展开式,是一个在数学中常用的公式,主要用于展开二项式 (a+b)n 的形式。其基本公式如下:
(a+b)n = C(n,0)an + C(n,1)a(n-1)b + C(n,2)a(n-2)b2 + ... + C(n,n)bn
其中,C(n,k) 表示组合数,即从 n 个不同项中选取 k 个的不同方式的数目。
这个公式中的每一项都是由系数(C(n,k))和变量(a 和 b)的幂次相乘得到的。系数是组合数,表示的是从 n 个不同项中选取 k 个的不同方式的数目。
这个定理的基本概念包括二项式展开式、项数和二项式系数。二项式展开式就是等式右边的形式,共有 n+1 项。二项式系数是 C(n,k),也就是从 n 个不同项中选取 k 个的不同方式的数目。
①项数:展开式中总共有(n+1)项。
②顺序:注意正确选择a,b,其顺序不能更改。
(a+b)”与(b+a)"是不同的
③指数:a的指数从n逐项减到0,是降幂排列。
b的指数从0逐项减到n,是升幂排列。
各项的次数和等于n
④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数
二项式定理的由来
二项式定理(BinomialThcorem)是指(a+b)"在n为正整数时的展开式。
古时候的中国、埃及、巴比伦、印度的劳动人民,通过了几何图形,认识了这个公式(a+b)2=a+2ab+b。
它是公式(a+b)"的特殊情形。
这公式在科学上很有用。
二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和,以及差分法中有广泛的应用,是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具,对于微积分的充分发展更是必不可少的一步。
二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等.
通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成.
二项式定理本身是教学重点,因为它是后面一切结果的基础.通项公式,杨辉三角,特殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点.
二项式定理展开的特点
项数:共有n+1项;
系数:依次为组合数Cn,Cn,Cn,Cn,…,Cn;
每一项的次数都是一样的,即为n次,展开式以a的降次幂排列,b的升次幂排列展开。
二项式定理的性质
二项式定理的系数具有对称性。
在二项式展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等;将它们绘成图像f(x),图像关于x=n/2对称,即x=n/2为图像f(x)的对称轴;
二项式展开的中间项是二项式系数的最大值。
当n为偶数时,中间项是第n/2+1项最大;当n为奇数时,中间项为两项,即为第(n+1)/2项和第(n+1)/2+1项的系数最大;
Cn+Cn+Cn+…+Cn=2,这也是(1+1)^2用二项式展开所得,同时偶次幂系数相加等于奇次幂系数相加=2^(n-1);
二项式定理系数项的增减性
令(n-k+1)/k>1得出k<(n+1)/2,也就是说当k为二项式前半部分时,二项式的系数是递增的,反过来当k为二项式后面的数时二项式的系数是增减的,这也是二项式系数取中间项为最大项的原因。
二项式定理的拓展
(a+b+c)^n也可以运用二项式定理来计算其中的某个项的系数。
先将a+b看成一个整体,然后根据二项式定理展开,在将(a+b)的几次幂用二项式展开,也就是运用了两次二项式展开的过程。
二项式定理是由(a+b)^2,(a+b)^3,(a+b)^4等展开式归纳猜想而来,并由排列组合的方法证明了这一归纳。