高中数学立体几何知识点总结目录
一、几何学与现实生活
1. 几何是研究空间结构及性质的学科。它广泛应用于各个领域,包括建筑学、工程学、计算机图形学等。
二、空间几何的基本概念
1. 空间点:表示空间位置的点,由三维坐标确定。
2. 空间直线:在空间中,两点确定一条直线。直线可以无限延伸,但不可度量。
3. 空间平面:由三条不在同一直线上的点确定一个平面。平面可无限延展,同样不可度量。
三、几何体
1. 柱体:包括圆柱、棱柱等。柱体的表面积和体积的计算公式各不相同,需根据具体情况而定。
2. 椎体:包括圆锥、棱锥等。椎体的表面积和体积计算公式也因形状而异。
3. 球体:球体表面积公式为4πr2,体积公式为(4/3)πr3。其中r为球半径。
四、几何变换
1. 平移:在空间中,一个图形沿某一方向移动一定的距离,这种移动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。
2. 旋转:图形绕某一定点旋转一定的角度。旋转同样不改变图形的形状和大小。
3. 镜像:图形关于某一平面进行对称。镜像变换会改变图形方向,但不改变其形状和大小。
五、空间向量的基本概念与运算
1. 向量表示:表示向量大小的数值称为模,向量方向由箭头表示。
2. 向量加法:平行且等长的线段表示同方向向量,相反方向向量相加等于零向量。
3. 向量数乘:标量与向量的乘积称为数乘。结果仍为向量。
4. 向量的点乘和叉乘:两向量的点乘结果为标量,向量的叉乘结果仍为向量。但垂直于原向量所在平面。
5. 向量的模:向量的大小或长度称为模,计算公式为|a| = √(x2 + y2 + z2)。
六、空间几何的公理与定理
1. 欧几里得公理:包括平行公理、同平面内的三角形两边之和大于第三边等。这些公理是几何学的基础。
首先是要习惯从立体的角度看待问题,把立体问题平面化,然后再运用平面几何知识解题。
关键是要掌握立体几何定理,比如说空间直线、直线和平面的关系、平面和平面的关系、简单的几何体,下面是我抄来的定理,是我们书上所有的定理了,掌握了它们,做题就容易多了。
要点:
二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)
一些几何体:
棱柱
1)侧棱都相等,侧面是平行四边形
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形
(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形
棱锥
(1) 侧棱交于一点。
侧面都是三角形
(2) 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。
且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方
正棱锥
(1)各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形。
各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高。
(3) 多个特殊的直角三角形
esp: a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥,由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
b、四面体中有三对异面直线,若有两对互相垂直,则可得第三对也互相垂直。
且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
Attention:
1、 注意建立空间直角坐标系
2、 空间向量也可在无坐标系的情况下应用
多面体欧拉公式:V(角)+F(面)-E(棱)=2
正多面体只有五种:正四、六、八、十二、二十面体。
球
attention:
1、 球与球面积的区别
2、 经度(面面角)与纬度(线面角)
3、 球的表面积及体积公式
4、 球内两平行平面间距离的多解性
就是这些了,专心研究,多做题多练习,就一定能把它拿下!
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
(1)判定直线在平面内的依据
(2)判定点在平面内的方法
公理2:如果两个平面有一个公共点,那它还有其它公共点,这些公共点的集合是一条直线 。
(1)判定两个平面相交的依据
(2)判定若干个点在两个相交平面的交线上
公理3:经过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
(1)确定一个平面的依据
(2)判定若干个点共面的依据
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且仅有一个平面。
(1)判定若干条直线共面的依据
(2)判断若干个平面重合的依据
(3)判断几何图形是平面图形的依据
推论2:经过两条相交直线,有且仅有一个平面。
推论3:经过两条平行线,有且仅有一个平面。
立体几何 直线与平面
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空 间 二 直 线 平行直线 公理4:平行于同一直线的两条直线互相平
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等。
异面直线
空 间 直 线 和 平 面 位
置
关
系
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线和平面平行——没有公共点
直
线
和
平
面
平
行
判定定理
性质定理
直
线
与
平
面
垂
直
判 定 定 理
性 质 定 理
立体几何 直线与平面
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直线与平面所成的角 (1)平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线与平面所成的角
(2)一条直线垂直于平面,定义这直线与平面所成的角是直角
(3)一条直线和平面平行,或在平面内,定义它和平面所成的角是00的角
三垂线定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直
三垂线逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直
空间两个平面 两个平面平行 判定
性质
(1)如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行
(2)垂直于同一直线的两个平面平行
(1)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
(3)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面
相交的两平面 二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的线,这两个半平面叫二面角的面
二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分另作垂直棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角
两平面垂直 判定
性质
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直 (1)若二平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
(2)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内
立体几何 多面体、棱柱、棱锥
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多面体
定义 由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。
棱柱 斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱。
直棱柱:侧棱与底面垂直的棱柱。
正棱柱:底面是正多边形的直棱柱。
棱锥 正棱锥:如果棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫正棱锥。
球
到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。
欧拉定理
简单多面体的顶点数V,棱数E及面数F间有关系:V+F-E=2
多面 体
侧面积公式
体积公式
球
上海立体几何考点4-5个,点线面位置关系,异面直线所成角的大小,.斜线与平面所成角的大小.二面角的大小,球面距离以及体积,侧面积的求法
高中数学立体几何知识点总结目录
一、几何学与现实生活
1. 几何是研究空间结构及性质的学科。它广泛应用于各个领域,包括建筑学、工程学、计算机图形学等。
二、空间几何的基本概念
1. 空间点:表示空间位置的点,由三维坐标确定。
2. 空间直线:在空间中,两点确定一条直线。直线可以无限延伸,但不可度量。
3. 空间平面:由三条不在同一直线上的点确定一个平面。平面可无限延展,同样不可度量。
三、几何体
1. 柱体:包括圆柱、棱柱等。柱体的表面积和体积的计算公式各不相同,需根据具体情况而定。
2. 椎体:包括圆锥、棱锥等。椎体的表面积和体积计算公式也因形状而异。
3. 球体:球体表面积公式为4πr2,体积公式为(4/3)πr3。其中r为球半径。
四、几何变换
1. 平移:在空间中,一个图形沿某一方向移动一定的距离,这种移动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。
2. 旋转:图形绕某一定点旋转一定的角度。旋转同样不改变图形的形状和大小。
3. 镜像:图形关于某一平面进行对称。镜像变换会改变图形方向,但不改变其形状和大小。
五、空间向量的基本概念与运算
1. 向量表示:表示向量大小的数值称为模,向量方向由箭头表示。
2. 向量加法:平行且等长的线段表示同方向向量,相反方向向量相加等于零向量。
3. 向量数乘:标量与向量的乘积称为数乘。结果仍为向量。
4. 向量的点乘和叉乘:两向量的点乘结果为标量,向量的叉乘结果仍为向量。但垂直于原向量所在平面。
5. 向量的模:向量的大小或长度称为模,计算公式为|a| = √(x2 + y2 + z2)。
六、空间几何的公理与定理
1. 欧几里得公理:包括平行公理、同平面内的三角形两边之和大于第三边等。这些公理是几何学的基础。
首先是要习惯从立体的角度看待问题,把立体问题平面化,然后再运用平面几何知识解题。
关键是要掌握立体几何定理,比如说空间直线、直线和平面的关系、平面和平面的关系、简单的几何体,下面是我抄来的定理,是我们书上所有的定理了,掌握了它们,做题就容易多了。
要点:
二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)
一些几何体:
棱柱
1)侧棱都相等,侧面是平行四边形
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形
(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形
棱锥
(1) 侧棱交于一点。
侧面都是三角形
(2) 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。
且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方
正棱锥
(1)各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形。
各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高。
(3) 多个特殊的直角三角形
esp: a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥,由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
b、四面体中有三对异面直线,若有两对互相垂直,则可得第三对也互相垂直。
且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
Attention:
1、 注意建立空间直角坐标系
2、 空间向量也可在无坐标系的情况下应用
多面体欧拉公式:V(角)+F(面)-E(棱)=2
正多面体只有五种:正四、六、八、十二、二十面体。
球
attention:
1、 球与球面积的区别
2、 经度(面面角)与纬度(线面角)
3、 球的表面积及体积公式
4、 球内两平行平面间距离的多解性
就是这些了,专心研究,多做题多练习,就一定能把它拿下!
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
(1)判定直线在平面内的依据
(2)判定点在平面内的方法
公理2:如果两个平面有一个公共点,那它还有其它公共点,这些公共点的集合是一条直线 。
(1)判定两个平面相交的依据
(2)判定若干个点在两个相交平面的交线上
公理3:经过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
(1)确定一个平面的依据
(2)判定若干个点共面的依据
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且仅有一个平面。
(1)判定若干条直线共面的依据
(2)判断若干个平面重合的依据
(3)判断几何图形是平面图形的依据
推论2:经过两条相交直线,有且仅有一个平面。
推论3:经过两条平行线,有且仅有一个平面。
立体几何 直线与平面
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空 间 二 直 线 平行直线 公理4:平行于同一直线的两条直线互相平
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等。
异面直线
空 间 直 线 和 平 面 位
置
关
系
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线和平面平行——没有公共点
直
线
和
平
面
平
行
判定定理
性质定理
直
线
与
平
面
垂
直
判 定 定 理
性 质 定 理
立体几何 直线与平面
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直线与平面所成的角 (1)平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线与平面所成的角
(2)一条直线垂直于平面,定义这直线与平面所成的角是直角
(3)一条直线和平面平行,或在平面内,定义它和平面所成的角是00的角
三垂线定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直
三垂线逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直
空间两个平面 两个平面平行 判定
性质
(1)如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行
(2)垂直于同一直线的两个平面平行
(1)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
(3)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面
相交的两平面 二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的线,这两个半平面叫二面角的面
二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分另作垂直棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角
两平面垂直 判定
性质
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直 (1)若二平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
(2)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内
立体几何 多面体、棱柱、棱锥
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多面体
定义 由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。
棱柱 斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱。
直棱柱:侧棱与底面垂直的棱柱。
正棱柱:底面是正多边形的直棱柱。
棱锥 正棱锥:如果棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫正棱锥。
球
到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。
欧拉定理
简单多面体的顶点数V,棱数E及面数F间有关系:V+F-E=2
多面 体
侧面积公式
体积公式
球
上海立体几何考点4-5个,点线面位置关系,异面直线所成角的大小,.斜线与平面所成角的大小.二面角的大小,球面距离以及体积,侧面积的求法