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高中数学合集百度网盘下载
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简介:高中数学优质资料下载,包括:试题试卷、课件、教材、视频、各大名师网校合集。 2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理工类)
本试卷共4页,三大题21小题,全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。并将准考证号条形码横贴在答题卡的指定位置。在用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答:用0.5毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 为虚数单位,则=
A.- B.-1 C. D.1
2.已知,则=
A. B. C. D.
3.已知函数,若,则x的取值范围为
A. B.
C. D.
4.将两个顶点在抛物线上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则
A. n=0 B. n=1 C. n=2 D. n 3
试卷类型:A
5.已知随机变量服从正态分布,且P(<4)=,则P(0<<2)=
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足(>0,且).若,则=
A.2 B. C. D.
7.如图,用K、、三类不同的元件连接成一个系统。当正常工作且、至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K、、正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为
A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
8.已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且a⊥ b.若x,y满足不等式,则z的取值范围为
A..[-2,2] B.[-2,3] C.[-3,2] D.[-3,3]
9.若实数a,b满足且,则称a与b互补,记,那么是a与b互补的
A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要的条件
10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:,其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时,铯137含量的变化率是-10In2(太贝克/年),则M(60)=
A.5太贝克 B.75In2太贝克
C.150In2太贝克 D.150太贝克
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其中答案按先后次序填写。答错位置,书写不清,模棱俩可均不给分。
11. 的展开式中含的项的系数为
12.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到一瓶已过保质期的概率为 。(结果用最简分数表示)
13.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升。
试卷类型A
14.如图,直角坐标系所在平面为,直角坐标系(其中与轴重合)所在的平面为,。
(Ⅰ)已知平面内有一点,则点在平面内的射影的坐标为 ;
(Ⅱ)已知平面内的曲线的方程是,则曲线在平面内的射影的方程是 。
15. 给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相连的着色方案如下图所示:
由此推断,当时,黑色正方形互不相连的着色方案共有 种,至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有 种,(结果用数值表示)
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分10分)
设的内角所对的边分别为,已知
(Ⅰ)求的周长
(Ⅱ)求的值
17. (本小题满分12分)
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流速度x 的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明;当时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(Ⅰ)当时,求函数的表达式;
(Ⅱ)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/每小时)可以达到最大,并求最大值(精确到1辆/每小时)
18. (本小题满分12分)
如图,已知正三棱柱的各棱长都是4,是的中点,动点在侧棱上,且不与点重合.
(Ⅰ)当=1时,求证:⊥;
(Ⅱ)设二面角的大小为,求的最小值.
19.(本小题满分13分)
已知数列的前项和为,且满足:, N*,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若存在 N*,使得,,成等差数列,是判断:对于任意的N*,且,,,是否成等差数列,并证明你的结论.
20. (本小题满分14分)
平面内与两定点,连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹,加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程,并讨论的形状与值得关系;
(Ⅱ)当时,对应的曲线为;对给定的,对应的曲线为,设、是的两个焦点。试问:在撒谎个,是否存在点,使得△的面积。若存在,求的值;若不存在,请说明理由。
21.(本小题满分14分)
(Ⅰ)已知函数,,求函数的最大值;
(Ⅱ)设…,均为正数,证明:
(1)若……,则…;
(2)若…=1,则……。
基础巩固
1.用分数指数幂表示 为( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:因为 .
2.有下列四个命题:
(1)正数的偶次方根是一个正数;(2)正数的奇次方根是一个正数;(3)负数的'偶次方根是一个负数;(4)负数的奇次方根是一个负数.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:C
解析:其中(1)(3)错误,(2)(4)正确.
3.化简 (x )的结果是( )
A.1-2x B.0
C.2x-1 D.(1-2x)2
答案:C
解析: =|2x-1|,而x ,
=2x-1.
4.计算7 +3 -7 -5 的结果是( )
A.0 B.54 C.-6 D.40
答案:A
解析:原式=73 +32 -7 -54 =27 -27 =0.
5. =___________________.
答案:
解析:原式=
= .
6.已知2x-2-x=3,则4x+4-x=__________________.
答案:11
解析:(2x-2-x)2=9,即4x+4-x-2=9,则4x+4-x=11.
7.计算下列各式:
(1) (- )0+80.25 +()6- ;
(2) (1-2 ) .
解:(1)原式= =21+427=110.
(2)原式= =a.
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8.化简(-3 )( )( )得( )
A.6a B.-a C.-9a D.9a
答案:C
解析:原式= =-9a.
9.式子 的化简结果为( )
A.1 B.10 C.100 D.
答案:D
解析:( + )2=3+ +2 +3-
=6+2 =10.
+ = .
10.设a= ,b= ,c= ,则a、b、c的大小关系是________________.
答案:ac
解析:化为同根指数幂再比较.
11.若10x=3,10y=4,则10x-y=_________________.
答案:
解析:10x-y= = .
12.已知 =3,求 的值.
解:∵ =3,
( )2=9.
x+2+x-1=9,
即x+x-1=7.
(x+x-1)2=49.
x2+2+x-2=49,
即x2+x-2=47.
13.已知 =4,x=a+3 ,y=b+3 ,求证 为定值.
证明:因为x+y=a+3 +b=( )3,
所以(x+y =( )2= + .
类似可得(x-y =( )2= ,
所以原式=2( )=24=8(定值).
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14.a、bR,下列各式总能成立的是( )
A.( )6=a-b B. =a2+b2
C. =a-b D. =a+b
答案:B
解析:A中( )6
B中 =a2+b2;
C中 =|a|-|b|;
D中 =|a+b|.
选B.
15.已知a2x= +1,则 的值为_________________.
答案:2 -1
解析: =a2x-1+a-2x.
由已知a2x= +1得a-2x= -1.
-1.
16.已知f(x)=ax-a-x,g(x)=ax+a-x(a0且a1).
(1)求[f(x)]2-[g(x)]2的值.
(2)设f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求 的值.
解:(1)∵f(x)=ax-a-x,g(x)=ax+a-x,
[f(x)]2-[g(x)]2=(ax-a-x)2-(ax+a-x)2
=a2x-2axa-x+a-2x-(a2x+2axa-x+a-2x)
=-4.
(2)∵f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,
选修2-2 1.6 微积分基本定理
一、选择题
1.下列积分正确的是( )
[答案] A
A.214 B.54
C.338 D.218
[答案] A
[解析] 2-2x2+1x4dx=2-2x2dx+2-21x4dx
=13x32-2+-13x-32-2
=13(x3-x-3)2-2
=138-18-13-8+18=214.
故应选A.
3.1-1|x|dx等于( )
A.1-1xdx B.1-1dx
C.0-1(-x)dx+01xdx D.0-1xdx+01(-x)dx
[答案] C
[解析] ∵|x|=x (x≥0)-x (x<0)
∴1-1|x|dx=0-1|x|dx+01|x|dx
=0-1(-x)dx+01xdx,故应选C.
4.设f(x)=x2 (0≤x<1)2-x (1≤x≤2),则02f(x)dx等于( )
A.34 B.45
C.56 D.不存在
[答案] C
[解析] 02f(x)dx=01x2dx+12(2-x)dx
取F1(x)=13x3,F2(x)=2x-12x2,
则F′1(x)=x2,F′2(x)=2-x
∴02f(x)dx=F1(1)-F1(0)+F2(2)-F2(1)
=13-0+2×2-12×22-2×1-12×12=56.故应选C.
5.abf′(3x)dx=( )
A.f(b)-f(a) B.f(3b)-f(3a)
C.13[f(3b)-f(3a)] D.3[f(3b)-f(3a)]
[答案] C
[解析] ∵13f(3x)′=f′(3x)
∴取F(x)=13f(3x),则
abf′(3x)dx=F(b)-F(a)=13[f(3b)-f(3a)].故应选C.
6.03|x2-4|dx=( )
A.213 B.223
C.233 D.253
[答案] C
[解析] 03|x2-4|dx=02(4-x2)dx+23(x2-4)dx
=4x-13x320+13x3-4x32=233.
A.-32 B.-12
C.12 D.32
[答案] D
[解析] ∵1-2sin2θ2=cosθ
8.函数F(x)=0xcostdt的导数是( )
A.cosx B.sinx
C.-cosx D.-sinx
[答案] A
[解析] F(x)=0xcostdt=sintx0=sinx-sin0=sinx.
所以F′(x)=cosx,故应选A.
9.若0k(2x-3x2)dx=0,则k=( )
A.0 B.1
C.0或1 D.以上都不对
[答案] C
[解析] 0k(2x-3x2)dx=(x2-x3)k0=k2-k3=0,
∴k=0或1.
10.函数F(x)=0xt(t-4)dt在[-1,5]上( )
A.有最大值0,无最小值
B.有最大值0和最小值-323
C.有最小值-323,无最大值
D.既无最大值也无最小值
[答案] B
[解析] F(x)=0x(t2-4t)dt=13t3-2t2x0=13x3-2x2(-1≤x≤5).
F′(x)=x2-4x,由F′(x)=0得x=0或x=4,列表如下:
x (-1,0) 0 (0,4) 4 (4,5)
F′(x) + 0 - 0 +
F(x) 极大值 极小值
可见极大值F(0)=0,极小值F(4)=-323.
又F(-1)=-73,F(5)=-253
∴最大值为0,最小值为-323.
二、填空题
11.计算定积分:
①1-1x2dx=________
②233x-2x2dx=________
③02|x2-1|dx=________
④0-π2|sinx|dx=________
[答案] 23;436;2;1
[解析] ①1-1x2dx=13x31-1=23.
②233x-2x2dx=32x2+2x32=436.
③02|x2-1|dx=01(1-x2)dx+12(x2-1)dx
=x-13x310+13x3-x21=2.
[答案] 1+π2
13.(2010•陕西理,13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为________.
[答案] 13
[解析] 长方形的面积为S1=3,S阴=013x2dx=x310=1,则P=S1S阴=13.
14.已知f(x)=3x2+2x+1,若1-1f(x)dx=2f(a)成立,则a=________.
[答案] -1或13
[解析] 由已知F(x)=x3+x2+x,F(1)=3,F(-1)=-1,
∴1-1f(x)dx=F(1)-F(-1)=4,
∴2f(a)=4,∴f(a)=2.
即3a2+2a+1=2.解得a=-1或13.
三、解答题
15.计算下列定积分:
(1)052xdx;(2)01(x2-2x)dx;
(3)02(4-2x)(4-x2)dx;(4)12x2+2x-3xdx.
[解析] (1)052xdx=x250=25-0=25.
(2)01(x2-2x)dx=01x2dx-012xdx
=13x310-x210=13-1=-23.
(3)02(4-2x)(4-x2)dx=02(16-8x-4x2+2x3)dx
=16x-4x2-43x3+12x420
=32-16-323+8=403.
(4)12x2+2x-3xdx=12x+2-3xdx
=12x2+2x-3lnx21=72-3ln2.
16.计算下列定积分:
[解析] (1)取F(x)=12sin2x,则F′(x)=cos2x
=121-32=14(2-3).
(2)取F(x)=x22+lnx+2x,则
F′(x)=x+1x+2.
∴23x+1x2dx=23x+1x+2dx
=F(3)-F(2)
=92+ln3+6-12×4+ln2+4
=92+ln32.
(3)取F(x)=32x2-cosx,则F′(x)=3x+sinx
17.计算下列定积分:
(1)0-4|x+2|dx;
(2)已知f(x)= ,求3-1f(x)dx的值.
[解析] (1)∵f(x)=|x+2|=
∴0-4|x+2|dx=--4-2(x+2)dx+0-2(x+2)dx
=-12x2+2x-2-4+12x2+2x0-2
=2+2=4.
(2)∵f(x)=
∴3-1f(x)dx=0-1f(x)dx+01f(x)dx+12f(x)dx+23f(x)dx=01(1-x)dx+12(x-1)dx
=x-x2210+x22-x21
=12+12=1.
18.(1)已知f(a)=01(2ax2-a2x)dx,求f(a)的最大值;
(2)已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f′(0)=0,01f(x)dx=-2,求a,b,c的值.
[解析] (1)取F(x)=23ax3-12a2x2
则F′(x)=2ax2-a2x
∴f(a)=01(2ax2-a2x)dx
=F(1)-F(0)=23a-12a2
=-12a-232+29
∴当a=23时,f(a)有最大值29.
(2)∵f(-1)=2,∴a-b+c=2①
又∵f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0②
而01f(x)dx=01(ax2+bx+c)dx
取F(x)=13ax3+12bx2+cx
则F′(x)=ax2+bx+c
∴01f(x)dx=F(1)-F(0)=13a+12b+c=-2③
解①②③得a=6,b=0,c=-4.
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数学(理工类)
本试卷共4页,三大题21小题,全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。并将准考证号条形码横贴在答题卡的指定位置。在用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答:用0.5毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 为虚数单位,则=
A.- B.-1 C. D.1
2.已知,则=
A. B. C. D.
3.已知函数,若,则x的取值范围为
A. B.
C. D.
4.将两个顶点在抛物线上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则
A. n=0 B. n=1 C. n=2 D. n 3
试卷类型:A
5.已知随机变量服从正态分布,且P(<4)=,则P(0<<2)=
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足(>0,且).若,则=
A.2 B. C. D.
7.如图,用K、、三类不同的元件连接成一个系统。当正常工作且、至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K、、正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为
A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
8.已知向量a=(x+z,3),b=(2,y-z),且a⊥ b.若x,y满足不等式,则z的取值范围为
A..[-2,2] B.[-2,3] C.[-3,2] D.[-3,3]
9.若实数a,b满足且,则称a与b互补,记,那么是a与b互补的
A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要的条件
10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:,其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时,铯137含量的变化率是-10In2(太贝克/年),则M(60)=
A.5太贝克 B.75In2太贝克
C.150In2太贝克 D.150太贝克
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其中答案按先后次序填写。答错位置,书写不清,模棱俩可均不给分。
11. 的展开式中含的项的系数为
12.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到一瓶已过保质期的概率为 。(结果用最简分数表示)
13.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升。
试卷类型A
14.如图,直角坐标系所在平面为,直角坐标系(其中与轴重合)所在的平面为,。
(Ⅰ)已知平面内有一点,则点在平面内的射影的坐标为 ;
(Ⅱ)已知平面内的曲线的方程是,则曲线在平面内的射影的方程是 。
15. 给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相连的着色方案如下图所示:
由此推断,当时,黑色正方形互不相连的着色方案共有 种,至少有两个黑色正方形相连的着色方案共有 种,(结果用数值表示)
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分10分)
设的内角所对的边分别为,已知
(Ⅰ)求的周长
(Ⅱ)求的值
17. (本小题满分12分)
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流速度x 的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明;当时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(Ⅰ)当时,求函数的表达式;
(Ⅱ)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/每小时)可以达到最大,并求最大值(精确到1辆/每小时)
18. (本小题满分12分)
如图,已知正三棱柱的各棱长都是4,是的中点,动点在侧棱上,且不与点重合.
(Ⅰ)当=1时,求证:⊥;
(Ⅱ)设二面角的大小为,求的最小值.
19.(本小题满分13分)
已知数列的前项和为,且满足:, N*,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若存在 N*,使得,,成等差数列,是判断:对于任意的N*,且,,,是否成等差数列,并证明你的结论.
20. (本小题满分14分)
平面内与两定点,连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹,加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程,并讨论的形状与值得关系;
(Ⅱ)当时,对应的曲线为;对给定的,对应的曲线为,设、是的两个焦点。试问:在撒谎个,是否存在点,使得△的面积。若存在,求的值;若不存在,请说明理由。
21.(本小题满分14分)
(Ⅰ)已知函数,,求函数的最大值;
(Ⅱ)设…,均为正数,证明:
(1)若……,则…;
(2)若…=1,则……。
基础巩固
1.用分数指数幂表示 为( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:因为 .
2.有下列四个命题:
(1)正数的偶次方根是一个正数;(2)正数的奇次方根是一个正数;(3)负数的'偶次方根是一个负数;(4)负数的奇次方根是一个负数.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:C
解析:其中(1)(3)错误,(2)(4)正确.
3.化简 (x )的结果是( )
A.1-2x B.0
C.2x-1 D.(1-2x)2
答案:C
解析: =|2x-1|,而x ,
=2x-1.
4.计算7 +3 -7 -5 的结果是( )
A.0 B.54 C.-6 D.40
答案:A
解析:原式=73 +32 -7 -54 =27 -27 =0.
5. =___________________.
答案:
解析:原式=
= .
6.已知2x-2-x=3,则4x+4-x=__________________.
答案:11
解析:(2x-2-x)2=9,即4x+4-x-2=9,则4x+4-x=11.
7.计算下列各式:
(1) (- )0+80.25 +()6- ;
(2) (1-2 ) .
解:(1)原式= =21+427=110.
(2)原式= =a.
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8.化简(-3 )( )( )得( )
A.6a B.-a C.-9a D.9a
答案:C
解析:原式= =-9a.
9.式子 的化简结果为( )
A.1 B.10 C.100 D.
答案:D
解析:( + )2=3+ +2 +3-
=6+2 =10.
+ = .
10.设a= ,b= ,c= ,则a、b、c的大小关系是________________.
答案:ac
解析:化为同根指数幂再比较.
11.若10x=3,10y=4,则10x-y=_________________.
答案:
解析:10x-y= = .
12.已知 =3,求 的值.
解:∵ =3,
( )2=9.
x+2+x-1=9,
即x+x-1=7.
(x+x-1)2=49.
x2+2+x-2=49,
即x2+x-2=47.
13.已知 =4,x=a+3 ,y=b+3 ,求证 为定值.
证明:因为x+y=a+3 +b=( )3,
所以(x+y =( )2= + .
类似可得(x-y =( )2= ,
所以原式=2( )=24=8(定值).
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14.a、bR,下列各式总能成立的是( )
A.( )6=a-b B. =a2+b2
C. =a-b D. =a+b
答案:B
解析:A中( )6
B中 =a2+b2;
C中 =|a|-|b|;
D中 =|a+b|.
选B.
15.已知a2x= +1,则 的值为_________________.
答案:2 -1
解析: =a2x-1+a-2x.
由已知a2x= +1得a-2x= -1.
-1.
16.已知f(x)=ax-a-x,g(x)=ax+a-x(a0且a1).
(1)求[f(x)]2-[g(x)]2的值.
(2)设f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求 的值.
解:(1)∵f(x)=ax-a-x,g(x)=ax+a-x,
[f(x)]2-[g(x)]2=(ax-a-x)2-(ax+a-x)2
=a2x-2axa-x+a-2x-(a2x+2axa-x+a-2x)
=-4.
(2)∵f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,
选修2-2 1.6 微积分基本定理
一、选择题
1.下列积分正确的是( )
[答案] A
A.214 B.54
C.338 D.218
[答案] A
[解析] 2-2x2+1x4dx=2-2x2dx+2-21x4dx
=13x32-2+-13x-32-2
=13(x3-x-3)2-2
=138-18-13-8+18=214.
故应选A.
3.1-1|x|dx等于( )
A.1-1xdx B.1-1dx
C.0-1(-x)dx+01xdx D.0-1xdx+01(-x)dx
[答案] C
[解析] ∵|x|=x (x≥0)-x (x<0)
∴1-1|x|dx=0-1|x|dx+01|x|dx
=0-1(-x)dx+01xdx,故应选C.
4.设f(x)=x2 (0≤x<1)2-x (1≤x≤2),则02f(x)dx等于( )
A.34 B.45
C.56 D.不存在
[答案] C
[解析] 02f(x)dx=01x2dx+12(2-x)dx
取F1(x)=13x3,F2(x)=2x-12x2,
则F′1(x)=x2,F′2(x)=2-x
∴02f(x)dx=F1(1)-F1(0)+F2(2)-F2(1)
=13-0+2×2-12×22-2×1-12×12=56.故应选C.
5.abf′(3x)dx=( )
A.f(b)-f(a) B.f(3b)-f(3a)
C.13[f(3b)-f(3a)] D.3[f(3b)-f(3a)]
[答案] C
[解析] ∵13f(3x)′=f′(3x)
∴取F(x)=13f(3x),则
abf′(3x)dx=F(b)-F(a)=13[f(3b)-f(3a)].故应选C.
6.03|x2-4|dx=( )
A.213 B.223
C.233 D.253
[答案] C
[解析] 03|x2-4|dx=02(4-x2)dx+23(x2-4)dx
=4x-13x320+13x3-4x32=233.
A.-32 B.-12
C.12 D.32
[答案] D
[解析] ∵1-2sin2θ2=cosθ
8.函数F(x)=0xcostdt的导数是( )
A.cosx B.sinx
C.-cosx D.-sinx
[答案] A
[解析] F(x)=0xcostdt=sintx0=sinx-sin0=sinx.
所以F′(x)=cosx,故应选A.
9.若0k(2x-3x2)dx=0,则k=( )
A.0 B.1
C.0或1 D.以上都不对
[答案] C
[解析] 0k(2x-3x2)dx=(x2-x3)k0=k2-k3=0,
∴k=0或1.
10.函数F(x)=0xt(t-4)dt在[-1,5]上( )
A.有最大值0,无最小值
B.有最大值0和最小值-323
C.有最小值-323,无最大值
D.既无最大值也无最小值
[答案] B
[解析] F(x)=0x(t2-4t)dt=13t3-2t2x0=13x3-2x2(-1≤x≤5).
F′(x)=x2-4x,由F′(x)=0得x=0或x=4,列表如下:
x (-1,0) 0 (0,4) 4 (4,5)
F′(x) + 0 - 0 +
F(x) 极大值 极小值
可见极大值F(0)=0,极小值F(4)=-323.
又F(-1)=-73,F(5)=-253
∴最大值为0,最小值为-323.
二、填空题
11.计算定积分:
①1-1x2dx=________
②233x-2x2dx=________
③02|x2-1|dx=________
④0-π2|sinx|dx=________
[答案] 23;436;2;1
[解析] ①1-1x2dx=13x31-1=23.
②233x-2x2dx=32x2+2x32=436.
③02|x2-1|dx=01(1-x2)dx+12(x2-1)dx
=x-13x310+13x3-x21=2.
[答案] 1+π2
13.(2010•陕西理,13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为________.
[答案] 13
[解析] 长方形的面积为S1=3,S阴=013x2dx=x310=1,则P=S1S阴=13.
14.已知f(x)=3x2+2x+1,若1-1f(x)dx=2f(a)成立,则a=________.
[答案] -1或13
[解析] 由已知F(x)=x3+x2+x,F(1)=3,F(-1)=-1,
∴1-1f(x)dx=F(1)-F(-1)=4,
∴2f(a)=4,∴f(a)=2.
即3a2+2a+1=2.解得a=-1或13.
三、解答题
15.计算下列定积分:
(1)052xdx;(2)01(x2-2x)dx;
(3)02(4-2x)(4-x2)dx;(4)12x2+2x-3xdx.
[解析] (1)052xdx=x250=25-0=25.
(2)01(x2-2x)dx=01x2dx-012xdx
=13x310-x210=13-1=-23.
(3)02(4-2x)(4-x2)dx=02(16-8x-4x2+2x3)dx
=16x-4x2-43x3+12x420
=32-16-323+8=403.
(4)12x2+2x-3xdx=12x+2-3xdx
=12x2+2x-3lnx21=72-3ln2.
16.计算下列定积分:
[解析] (1)取F(x)=12sin2x,则F′(x)=cos2x
=121-32=14(2-3).
(2)取F(x)=x22+lnx+2x,则
F′(x)=x+1x+2.
∴23x+1x2dx=23x+1x+2dx
=F(3)-F(2)
=92+ln3+6-12×4+ln2+4
=92+ln32.
(3)取F(x)=32x2-cosx,则F′(x)=3x+sinx
17.计算下列定积分:
(1)0-4|x+2|dx;
(2)已知f(x)= ,求3-1f(x)dx的值.
[解析] (1)∵f(x)=|x+2|=
∴0-4|x+2|dx=--4-2(x+2)dx+0-2(x+2)dx
=-12x2+2x-2-4+12x2+2x0-2
=2+2=4.
(2)∵f(x)=
∴3-1f(x)dx=0-1f(x)dx+01f(x)dx+12f(x)dx+23f(x)dx=01(1-x)dx+12(x-1)dx
=x-x2210+x22-x21
=12+12=1.
18.(1)已知f(a)=01(2ax2-a2x)dx,求f(a)的最大值;
(2)已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f′(0)=0,01f(x)dx=-2,求a,b,c的值.
[解析] (1)取F(x)=23ax3-12a2x2
则F′(x)=2ax2-a2x
∴f(a)=01(2ax2-a2x)dx
=F(1)-F(0)=23a-12a2
=-12a-232+29
∴当a=23时,f(a)有最大值29.
(2)∵f(-1)=2,∴a-b+c=2①
又∵f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0②
而01f(x)dx=01(ax2+bx+c)dx
取F(x)=13ax3+12bx2+cx
则F′(x)=ax2+bx+c
∴01f(x)dx=F(1)-F(0)=13a+12b+c=-2③
解①②③得a=6,b=0,c=-4.