一次函数是初中数学的重要知识点,下面将为您详细介绍,仅供大家参考。
一次函数定义
一般地,形如(k,b是常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数,其中x是自变量。当b=0时,一次函数y=kx,又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式。
⑵当b=0,k≠0时,y=kx仍是一次函数。
⑶当k=0,b≠0时,它不是一次函数。
学好一次函数需掌握一定的学习方法,例如理解一次函数和其它知识的联系、掌握一次函数的解析式的特征、应用一次函数解决实际问题、数形结合等,下面是详解。
(一)、理解一次函数和其它知识的联系
一次函数和代数式以及方程有着密不可分的联系。如一次函数和正比例函数仍然是函数,同时,等号的两边又都是代数式。需要注意的是,与一般代数式有很大区别。首先,一次函数和正比例函数都只能存在两个变量,而代数式可以是多个变量;其次,一次函数中的变量指数只能是1,而代数式中变量指数还可以是1以外的数。另外,一次函数解析式也可以理解为二元一次方程。
(二)、掌握一次函数的解析式的特征
一次函数解析式的结构特征:kx+b是关于x的一次二项式,其中常数b可以是任意实数,一次项系数k必须是非零数,k≠0,因为当k = 0时,y = b(b是常数),由于没有一次项,这样的函数不是一次函数;而当b = 0,k≠0,y = kx既是正比例函数,也是一次函数。
(三)、应用一次函数解决实际问题
1、分清哪些是已知量,哪些是未知量,尤其要弄清哪两种量是相关联的量,且其中一种量因另一种量的变化而变化;
2、找出具有相关联的两种量的等量关系之后,明确哪种量是另一种量的函数;
3、在实际问题中,一般存在着三种量,如距离、时间、速度等等,在这三种量中,当且仅当其中一种量时间(或速度)不变时,距离与速度(或时间)才成正比例,也就是说,距离(s)是时间(t)或速度( )的正比例函数;
4、求一次函数与正比例函数的关系式,一般采取待定系数法。
(四)数形结合 一次函数只是你学函数的开始,所以不必担心学不好。
学一次函数主要要掌握以下几点:
1.
一次函数(linear function),也作线性函数,在x,y坐标轴中可以用一条直线表示,当一次函数中的一个变量的值确定时,可以用一元一次方程确定另一个变量的值。
2.
【解释】函数的基本概念:在某一个变化过程中,设有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值,在y中都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。
定义了函数的概念,接下来我们来介绍函数的一种特殊情况——一次函数。
表达式为y=kx+b(k≠0,k、b均为常数)的函数,叫做y是x的一次函数。当b=0时称y为x的正比例函数,正比例函数是一次函数中的特殊情况。当常数项为零时的一次函数,可表示为y=kx(k≠0),这时的常数k也叫比例系数。(也叫正比例函数)
y关于自变量x的一次函数有如下关系:
1.y=kx+b (k为任意不为0的常数,b为任意实数)
当x取一个值时,y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时,就不是一次函数。
x为自变量,y为函数值,k为常数,y是x的一次函数。
特别的,当b=0时,y是x的正比例函数。即:y=kx (k为常量,但k≠0)正比例函数图像经过原点。
定义域:自变量x的取值范围。自变量的取值一要使函数有意义;二要与实际相符合。
常用的表示方法:解析法、图像法、列表法。
3.函数性质 1.当k>0时,y的变化值随x的变化值增大而增大,反之,y的变化值随x的变化值减小而减小,当k<0时,y的变化值随x的变化值增大而减小,反之,y的变化值随x的变化值减小而增大。
在y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,当x增大m时,函数值y则增大 km,反之,当x减少m时,函数值y则减少 km。
2.当x=0时,b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标,该点的坐标为(0,b)。
3.当b=0时,一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。
4.在两个一次函数表达式中:
当两个一次函数表达式中的k相同,b也相同时,则这两个一次函数的图像重合;
当两个一次函数表达式中的k相同,b不相同时,则这两个一次函数的图像平行;
当两个一次函数表达式中的k不相同,b不相同时,则这两个一次函数的图像相交;
当两个一次函数表达式中的k不相同,b相同时,则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b)。
4.
图像性质 1.作法:通过如下3个步骤:
(1)列表;取满足一次函数表达式的两个点的坐标。
(2)描点;一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理,也可叫“两点法”。
一般地,y=kx+b(k≠0)的图象过(0,b)和(-b/k,0)两点即可画出。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线,一般取(0,0)和(1,k)两点画出即可。
(3)连线。一次函数的图象是一条直线,因此,作一次函数的图象只需知道两个点,并作出直线即可。(通常取函数图象与x轴、y轴的两交点(0,b)和(-b/k,0))。
2.性质:
(1)在一次函数图像上的任取一点P(x,y),则都满足等式:y=kx+b(k≠0)。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总交于(-b/k,0)。正比例函数的图像都经过原点。
3.k,b决定函数图像的位置:
y=kx时,y与x成正比例:
当k>0时,直线必通过第一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过第二、四象限,y随x的增大而减小。
y=kx+b时:
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限;
当 k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限;
当 k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限;
当 k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
当b>0时,直线必通过第一、二象限;
当b<0时,直线必通过第三、四象限。
特别地,当b=0时,直线经过原点O(0,0)。
这时,当k>0时,直线只通过第一、三象限,不会通过第二、四象限。当k<0时,直线只通过第二、四象限,不会通过第一、三象限。
4、特殊位置关系:
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中k的值(即一次项系数)相等;
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中k的值互为负倒数(即两个k值的乘积为-1)。
5、一次函数的解析式:
①点斜式:y-y1=k(x-x1)(k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点);
②两点式:(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(已知直线上(x1,y1)与(x2,y2)两点),
③截距式:x/a+y/b=1 (a、b分别为直线在x、y轴上的截距)。
解析式表达的局限性:
①所需条件较多(2个点,因为使用待定系数法需要列一个二元一次方程组);
②、③不能表达没有斜率的直线(即垂直于x轴的直线;注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准,因为x=0与y轴重合);
④不能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。
5.
一、一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;
从函数图像的角度看,就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合。
二、用画函数图象的方法解不等式
对应一次函数y=kx+b,它与x轴交点为(-b/k,0)。
当k>0时,不等式kx+b>0的解为:x>- bk,不等式kx+b<0的解为:x<- bk;
当k0的解为:x<- bk,不等式kx+b- bk。
6.一次函数的应用 一、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符
合实际。
二、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻
求可以反映实际问题的函数
三、概括整合
(1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
7.常用公式 1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点:(x1+x2)/2
3.求与y轴平行线段的中点:(y1+y2)/2
4.求任意线段的长:√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 ]
5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(X-x1)/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (若分母为0,则分子为0)
x y
+, +(正,正)在第一象限
- ,+ (负,正)在第二象限
- ,- (负,负)在第三象限
+ ,- (正,负)在第四象限
8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2,则k1=k2,b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,则k1×k2=-1
10.
y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
口诀:右减左加(对于y=kx+b来说,只改变n)
y=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=kx+b-n就是向下平移n个单位
口诀:上加下减(对于y=kx+b来说,只改变b)
11.直线y=kx+b与x轴的交点:(-b/k,0) 与y轴的交点:(0,b)
生活中的应用
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)
数学问题
一、确定字母系数的取值范围
例1 已知正比例函数 ,则当k——0时,y随x的增大而减小。
解:根据正比例函数的定义和性质,得 k<0。
二、比较x值或y值的大小
例2. 已知点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是一次函数y=3x+4的图象上的两个点,且y1>y2,则x1与x2的大小关系是( )
A. x1>x2 B. x1 解:根据题意,知k=3>0,且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时,y随x的增大而增大”,得x1>x2。 故选A。 三、判断函数图象的位置 例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解:由kb>0,知k、b同号。因为y随x的增大而减小,所以k<0,从而b<0。 故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限。故选A 函数分为: 1.三角函数 2.一次函数(y=kx+b)(k.b不等于0) 3.正比例函数(y=kx)(k不等于0)(包括在一次函数里) 4.反比例函数(y=x分之k)(x不等于0) 5.二次函数 (1.y=ax^2+bx+c一般式 2.y=a(x-h)^2+k顶点式 3.y=a(X-x1)(X-x2)双根式) 看图 一次函数的性质和图像的画法如下: 一、一次函数的性质 1、一次函数是指形如y=kx+b的函数,其中k为常数,b为任意实数。一次函数的性质有:一次函数的图像是一条直线;一次函数的图像经过原点;一次函数的图像斜率为k,截距为b;一次函数的图像在y轴上的截距为b,在x轴上的截距为-b/k。 2、递增性,当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小。例如,对于y=2x+4,当x增大时,y也增大;对于y=-3x+1,当x增大时,y减小。 3、经过的点,对于y=kx+b,它一定过两个定点,即(0,b)和(-b/k,0)。例如,对于y=2x+4,当x=0时,y=4,因此它过点(0,4);当y=0时,x=-2,因此它也过点(-2,0)。 二、一次函数的图像的画法 1、一次函数的图像是一条直线,可以通过以下步骤进行绘制:首先,列出与函数相关的数据;然后,找出图像与x轴和y轴的交点,这两个点是确定一条直线所必需的;最后,通过这两个点画出一条直线。 一次函数的性质和图像是我们在数学中经常遇到的概念,其相关内容如下: 一、一次函数的性质如下 1、斜率性质:一次函数的斜率是由k值决定的。k值大于0,则函数图像呈上升趋势;k值小于0,则函数图像呈下降趋势。斜率的变化直接反映了函数图像的走势。 2、截距性质:b值决定了函数图像与y轴的交点。当b等于0时,函数图像经过原点;当b大于0时,函数图像与y轴交于正半轴;当b小于0时,函数图像与y轴交于负半轴。截距的变化影响了函数图像在y轴上的位置。 3、单调性:一次函数在定义域内是单调的。当k大于0时,函数在定义域内单调递增;当k小于0时,函数在定义域内单调递减。单调性反映了函数值随自变量变化的趋势。 一次函数的应用知识点有以下这些: 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y是x的函数。 判断Y是否为X的函数,只要看X取值确定的时候,Y是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;一次函数的知识结构图
一次函数的知识梳理图解
一次函数的知识点整理
一次函数是初中数学的重要知识点,下面将为您详细介绍,仅供大家参考。
一次函数定义
一般地,形如(k,b是常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数,其中x是自变量。当b=0时,一次函数y=kx,又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式。
⑵当b=0,k≠0时,y=kx仍是一次函数。
⑶当k=0,b≠0时,它不是一次函数。
学好一次函数需掌握一定的学习方法,例如理解一次函数和其它知识的联系、掌握一次函数的解析式的特征、应用一次函数解决实际问题、数形结合等,下面是详解。
(一)、理解一次函数和其它知识的联系
一次函数和代数式以及方程有着密不可分的联系。如一次函数和正比例函数仍然是函数,同时,等号的两边又都是代数式。需要注意的是,与一般代数式有很大区别。首先,一次函数和正比例函数都只能存在两个变量,而代数式可以是多个变量;其次,一次函数中的变量指数只能是1,而代数式中变量指数还可以是1以外的数。另外,一次函数解析式也可以理解为二元一次方程。
(二)、掌握一次函数的解析式的特征
一次函数解析式的结构特征:kx+b是关于x的一次二项式,其中常数b可以是任意实数,一次项系数k必须是非零数,k≠0,因为当k = 0时,y = b(b是常数),由于没有一次项,这样的函数不是一次函数;而当b = 0,k≠0,y = kx既是正比例函数,也是一次函数。
(三)、应用一次函数解决实际问题
1、分清哪些是已知量,哪些是未知量,尤其要弄清哪两种量是相关联的量,且其中一种量因另一种量的变化而变化;
2、找出具有相关联的两种量的等量关系之后,明确哪种量是另一种量的函数;
3、在实际问题中,一般存在着三种量,如距离、时间、速度等等,在这三种量中,当且仅当其中一种量时间(或速度)不变时,距离与速度(或时间)才成正比例,也就是说,距离(s)是时间(t)或速度( )的正比例函数;
4、求一次函数与正比例函数的关系式,一般采取待定系数法。
(四)数形结合 一次函数只是你学函数的开始,所以不必担心学不好。
学一次函数主要要掌握以下几点:
1.
一次函数(linear function),也作线性函数,在x,y坐标轴中可以用一条直线表示,当一次函数中的一个变量的值确定时,可以用一元一次方程确定另一个变量的值。
2.
【解释】函数的基本概念:在某一个变化过程中,设有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值,在y中都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。
定义了函数的概念,接下来我们来介绍函数的一种特殊情况——一次函数。
表达式为y=kx+b(k≠0,k、b均为常数)的函数,叫做y是x的一次函数。当b=0时称y为x的正比例函数,正比例函数是一次函数中的特殊情况。当常数项为零时的一次函数,可表示为y=kx(k≠0),这时的常数k也叫比例系数。(也叫正比例函数)
y关于自变量x的一次函数有如下关系:
1.y=kx+b (k为任意不为0的常数,b为任意实数)
当x取一个值时,y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时,就不是一次函数。
x为自变量,y为函数值,k为常数,y是x的一次函数。
特别的,当b=0时,y是x的正比例函数。即:y=kx (k为常量,但k≠0)正比例函数图像经过原点。
定义域:自变量x的取值范围。自变量的取值一要使函数有意义;二要与实际相符合。
常用的表示方法:解析法、图像法、列表法。
3.函数性质 1.当k>0时,y的变化值随x的变化值增大而增大,反之,y的变化值随x的变化值减小而减小,当k<0时,y的变化值随x的变化值增大而减小,反之,y的变化值随x的变化值减小而增大。
在y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,当x增大m时,函数值y则增大 km,反之,当x减少m时,函数值y则减少 km。
2.当x=0时,b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标,该点的坐标为(0,b)。
3.当b=0时,一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。
4.在两个一次函数表达式中:
当两个一次函数表达式中的k相同,b也相同时,则这两个一次函数的图像重合;
当两个一次函数表达式中的k相同,b不相同时,则这两个一次函数的图像平行;
当两个一次函数表达式中的k不相同,b不相同时,则这两个一次函数的图像相交;
当两个一次函数表达式中的k不相同,b相同时,则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b)。
4.
图像性质 1.作法:通过如下3个步骤:
(1)列表;取满足一次函数表达式的两个点的坐标。
(2)描点;一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理,也可叫“两点法”。
一般地,y=kx+b(k≠0)的图象过(0,b)和(-b/k,0)两点即可画出。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线,一般取(0,0)和(1,k)两点画出即可。
(3)连线。一次函数的图象是一条直线,因此,作一次函数的图象只需知道两个点,并作出直线即可。(通常取函数图象与x轴、y轴的两交点(0,b)和(-b/k,0))。
2.性质:
(1)在一次函数图像上的任取一点P(x,y),则都满足等式:y=kx+b(k≠0)。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总交于(-b/k,0)。正比例函数的图像都经过原点。
3.k,b决定函数图像的位置:
y=kx时,y与x成正比例:
当k>0时,直线必通过第一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过第二、四象限,y随x的增大而减小。
y=kx+b时:
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限;
当 k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限;
当 k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限;
当 k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
当b>0时,直线必通过第一、二象限;
当b<0时,直线必通过第三、四象限。
特别地,当b=0时,直线经过原点O(0,0)。
这时,当k>0时,直线只通过第一、三象限,不会通过第二、四象限。当k<0时,直线只通过第二、四象限,不会通过第一、三象限。
4、特殊位置关系:
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中k的值(即一次项系数)相等;
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中k的值互为负倒数(即两个k值的乘积为-1)。
5、一次函数的解析式:
①点斜式:y-y1=k(x-x1)(k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点);
②两点式:(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(已知直线上(x1,y1)与(x2,y2)两点),
③截距式:x/a+y/b=1 (a、b分别为直线在x、y轴上的截距)。
解析式表达的局限性:
①所需条件较多(2个点,因为使用待定系数法需要列一个二元一次方程组);
②、③不能表达没有斜率的直线(即垂直于x轴的直线;注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准,因为x=0与y轴重合);
④不能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。
5.
一、一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;
从函数图像的角度看,就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合。
二、用画函数图象的方法解不等式
对应一次函数y=kx+b,它与x轴交点为(-b/k,0)。
当k>0时,不等式kx+b>0的解为:x>- bk,不等式kx+b<0的解为:x<- bk;
当k0的解为:x<- bk,不等式kx+b- bk。
6.一次函数的应用 一、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符
合实际。
二、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻
求可以反映实际问题的函数
三、概括整合
(1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
7.常用公式 1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点:(x1+x2)/2
3.求与y轴平行线段的中点:(y1+y2)/2
4.求任意线段的长:√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 ]
5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(X-x1)/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (若分母为0,则分子为0)
x y
+, +(正,正)在第一象限
- ,+ (负,正)在第二象限
- ,- (负,负)在第三象限
+ ,- (正,负)在第四象限
8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2,则k1=k2,b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,则k1×k2=-1
10.
y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
口诀:右减左加(对于y=kx+b来说,只改变n)
y=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=kx+b-n就是向下平移n个单位
口诀:上加下减(对于y=kx+b来说,只改变b)
11.直线y=kx+b与x轴的交点:(-b/k,0) 与y轴的交点:(0,b)
生活中的应用
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)
数学问题
一、确定字母系数的取值范围
例1 已知正比例函数 ,则当k——0时,y随x的增大而减小。
解:根据正比例函数的定义和性质,得 k<0。
二、比较x值或y值的大小
例2. 已知点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是一次函数y=3x+4的图象上的两个点,且y1>y2,则x1与x2的大小关系是( )
A. x1>x2 B. x1 解:根据题意,知k=3>0,且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时,y随x的增大而增大”,得x1>x2。 故选A。 三、判断函数图象的位置 例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解:由kb>0,知k、b同号。因为y随x的增大而减小,所以k<0,从而b<0。 故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限。故选A 函数分为: 1.三角函数 2.一次函数(y=kx+b)(k.b不等于0) 3.正比例函数(y=kx)(k不等于0)(包括在一次函数里) 4.反比例函数(y=x分之k)(x不等于0) 5.二次函数 (1.y=ax^2+bx+c一般式 2.y=a(x-h)^2+k顶点式 3.y=a(X-x1)(X-x2)双根式) 看图 一次函数的性质和图像的画法如下: 一、一次函数的性质 1、一次函数是指形如y=kx+b的函数,其中k为常数,b为任意实数。一次函数的性质有:一次函数的图像是一条直线;一次函数的图像经过原点;一次函数的图像斜率为k,截距为b;一次函数的图像在y轴上的截距为b,在x轴上的截距为-b/k。 2、递增性,当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小。例如,对于y=2x+4,当x增大时,y也增大;对于y=-3x+1,当x增大时,y减小。 3、经过的点,对于y=kx+b,它一定过两个定点,即(0,b)和(-b/k,0)。例如,对于y=2x+4,当x=0时,y=4,因此它过点(0,4);当y=0时,x=-2,因此它也过点(-2,0)。 二、一次函数的图像的画法 1、一次函数的图像是一条直线,可以通过以下步骤进行绘制:首先,列出与函数相关的数据;然后,找出图像与x轴和y轴的交点,这两个点是确定一条直线所必需的;最后,通过这两个点画出一条直线。 一次函数的性质和图像是我们在数学中经常遇到的概念,其相关内容如下: 一、一次函数的性质如下 1、斜率性质:一次函数的斜率是由k值决定的。k值大于0,则函数图像呈上升趋势;k值小于0,则函数图像呈下降趋势。斜率的变化直接反映了函数图像的走势。 2、截距性质:b值决定了函数图像与y轴的交点。当b等于0时,函数图像经过原点;当b大于0时,函数图像与y轴交于正半轴;当b小于0时,函数图像与y轴交于负半轴。截距的变化影响了函数图像在y轴上的位置。 3、单调性:一次函数在定义域内是单调的。当k大于0时,函数在定义域内单调递增;当k小于0时,函数在定义域内单调递减。单调性反映了函数值随自变量变化的趋势。 一次函数的应用知识点有以下这些: 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y是x的函数。 判断Y是否为X的函数,只要看X取值确定的时候,Y是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;一次函数的知识结构图
一次函数的知识梳理图解
一次函数的知识点整理