二、填空题
1、(2008山西太原)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知,AB=2.5,则AC的长为 。
2、(2008湖北孝感)四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个"赵爽弦图"(如图)。如果小正方形面积为1,大正方形面积为25,直角三角形中较小锐角为θ,那么= 。
3、(2008江苏盐城)将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开,可以拼成不同形状的四边形,试写出其中一种四边形的名称 .
4、(2008四川内江)如图,在的矩形方格图中,不包含阴影部分的矩形个数是 个.
无答案
5、(2008佛山)如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP = BC,则∠ACP度数是 .
6、(2008佳木斯市)下列各图中, 不是正方体的展开图(填序号)
7、(2008泰安) 若等腰梯形的上、下底之和为4,并且两条对角线所夹锐角为,则该等腰梯形的面积为 .
8、(2008年陕西省)如图,梯形中,,,且,分别以为边向梯形外作正方形,其面积分别为,则之间的关系是 .
9、(2008年陕西省)如图,菱形的边长为2,,则点的坐标为 .
10、(2008年山东省青岛市)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若∠AOB=60°,AB=4cm,则AC的长为________cm.
11、(2008四川凉山州)菱形中,垂直平分,垂足为,.那么,菱形的面积是 ,对角线的长是 .
12、(08海南)如图,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AE‖DC,AB=6cm,则AE= cm.
13、(2008 青海)已知菱形的面积是,对角线cm,则菱形的边长是 cm;等腰梯形中,,cm,cm,,则梯形的腰长是 cm.
14、(2008 山东 临沂)如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC
于点E、F,连接CE,则CE的长________.
15、(2008齐齐哈尔)如图,菱形的边长为1,;作于点,以为一边,做第二个菱形,使;作于点,以为一边做第三个菱形,使;依此类推,这样做的第个菱形的边的长是 .
16、(2008江苏镇江)如图所示,两个全等菱形的边长为1厘米,一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动,行走2008厘米后停下,则这只蚂蚁停在 点.
17、 (2008黑龙江哈尔滨)己知菱形ABCD的边长是6,点E在直线AD上,DE=3,连接BE与对角线AC相交于点M,则 的值是 。
18、(2008四川凉山州)菱形中,垂直平分,垂足为,.那么,菱形的面积是 ,对角线的长是 .
19、(2008江苏盐城)梯形的中位线长为3,高为2,则该梯形的面积为 .
20、(2008山西太原)在梯形ABCD中,,AB=DC=3,沿对角线BD翻折梯形ABCD,若点A恰好落在下底BC的中点E处,则梯形的周长为 。
四、答案
一、选择题
1、5
2、0.6
3、平行四边形(或矩形或菱形)
4、(2008四川内江)如图,在的矩形方格图中,不包含阴影部分的矩形个数是 个.
5、22.5
6、③
7、(结果保留根号的形式).
8、
9、
10、8cm
11、8
12、6
13、;4
14、
15、
16、
17、 2或
18、8
19、6
20、15;
21、5
22、90°
23、6
24、答案不唯一. 可供参考的有:①它内角的度数为60°、60°、120°、120°;②它的腰长等于上底长;③它的上底等于下底长的一半.
25、 1
26、①②③④
27、
28、
29、10㎝2
30、9
31、20
32、48
33、矩形
34、
35、60
三、解答题
1、解:(1)BG=DE
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,
∴GC=CE,BC=CD,∠BCG=∠DCE=90°)
∴△BCG≌△DCE
∴BG=DE
(2)存在. △BCG和△DCE
△BCG绕点C顺时针方向旋转90°与△DCE重合
2、证明:在正方形ABCD中,取AB=2
∵N为BC的中点,
∴NC=
在中,
又∵NE=ND,
∴CE=NE-NC=,
故矩形DCEF为黄金矩形。
3、解:(1) 内.
(2) 证法一:连接CD,
∵ DE‖AC,DF‖BC,
∴ 四边形DECF为平行四边形,
又∵ 点D是△ABC的内心,
∴ CD平分∠ACB,即∠FCD=∠ECD,
又∠FDC=∠ECD,∴ ∠FCD=∠FDC
∴ FC=FD,
∴ □DECF为菱形.
证法二:
过D分别作DG⊥AB于G,DH⊥BC于H,DI⊥AC于I.
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC,
∴DI=DG,
DG=DH.
∴DH=DI.
∵DE‖AC,DF‖BC,
∴四边形DECF为平行四边形,
∴S□DECF=CE·DH =CF·DI,
∴CE=CF.
∴□DECF为菱形.
4、(1)当E为CD中点时,EB平分∠AEC。
由∠D=900 ,DE=1,AD=,推得DEA=600,同理,∠CEB=600 ,从而∠AEB=∠CEB=600 ,即EB平分∠AEC。
(2)①∵CE‖BF,∴== ∴BF=2CE。
∵AB=2CE,∴点B平分线段AF
②能
证明:∵CP=,CE=1,∠C=900 ,∴EP=。
在Rt △ADE中,AE= =2,∴AE=BF,
又∵PB=,∴PB=PE
∵∠AEP=∠BP=900 ,∴△PAS≌△PFB。
∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。
旋转度数为1200
5、(1)四边形BECF是菱形。·
证明:EF垂直平分BC,
∴BF=FC,BE=EC,∴∠1=∠2
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠4=90°
∠3+∠2=90°
∴∠3=∠4
∴EC=AE
∴BE=AE
∵CF=AE
∴BE=EC=CF=BF
∴四边形BECF是菱形
(2)当∠A=45。时,菱形BESF是正方形
证明:∵∠A=45。, ∠ACB=90。
∴∠1=45。
∴∠EBF=2∠A=90。
∴菱形BECF是正方形
6、(1)证明:四边形是矩形,
(矩形的对角线互相平分),
(矩形的对边平行).
,.
(A.A.S).
(2)当时,四边形是菱形.
证明:四边形是矩形,
(矩形的对角线互相平分).
又由(1)得,
四边形是平行四边形(对角线互相平分的
四边形是平行四边形)
又,
四边形是菱形(对角线互相垂直的平行四
边形是菱形).
7、(1)证明:∵AE‖BD, ∴∠E=∠BDC
∵DB平分∠ADC ∴∠ADC=2∠BDC
又∵∠C=2∠E
∴∠ADC=∠BCD
∴梯形ABCD是等腰梯形
(2)解:由第(1)问,得∠C=2∠E=2∠BDC=60°,且BC=AD=5
∵ 在△BCD中,∠C=60°, ∠BDC=30°
∴∠DBC=90°
∴DC=2BC=10
8、解:解:当cm时,的面积是;
当cm时,的面积是;
当cm时,的面积是.
(每种情况,图给1分,计算结果正确1分,共6分)
9、证明: 过点C作CF⊥AB,垂足为F.
∵ 在梯形ABCD中,AB‖CD,∠A=90°,
∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°.
∴四边形AFCD是矩形.
AD=CF, BF=AB-AF=1.
在Rt△BCF中,
CF2=BC2-BF2=8,
∴ CF=.
∴ AD=CF=.
∵ E是AD中点,
∴ DE=AE=AD=.
在Rt△ABE和 Rt△DEC中,
EB2=AE2+AB2=6,
EC2= DE2+CD2=3,
EB2+ EC2=9=BC2.
∴ ∠CEB=90°.
∴ EB⊥EC.
10、(1)证明:∵四边形为正方形,∴BC=CD,∠BCG=∠DCE=90° ..................2分
∵CG=CE,∴△BCG≌△DCE. ..................4分
(2)答:四边形E′BGD是平行四边形
理由:∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′
∴CE=AE′,∵CG=CE,∴CG=AE′,∵AB=CD,AB‖CD,
∴BE′=DG,BE′‖DG,..................6分
∴四边形E′BGD是平行四边形 ..................8分
11、解法一:矩形中,,,
,,.
解法二:矩形中,.
,,.
12、(1),即,又,四边形是平行四边形.
平分,,
又,,,,
四边形是菱形.
(2)证法一:是中点,.
又,,,
,)
,.
即,是直角三角形.)
证法二:连,则,且平分,
设交于.
是的中点,.
,是直角三角形. (7分)
13、解:(1)36;(2)秒;
(3)当三点构成直角三角形时,有两种情况:
①当时,设点离开点秒,
作于,.
,,.
当时,点离开点秒.
②当时,设点离开点秒,
,.
...
当时,点离开点秒.
由①②知,当三点构成直角三角形时,点离开点秒或秒.
14、证明:(1),,.
由沿折叠后与重合,知,.
四边形是矩形,且邻边相等.
四边形是正方形.
(2),且,四边形是梯形.
四边形是正方形,,.
又点为的中点,.连接.
在与中,,,,
,.
,,四边形是平行四边形.
...
四边形是等腰梯形.
注:第(2)小题也可过点作,垂足为点,证
15、解(1)证明: ∵CE平分,∴,
又∵MN‖BC,∴,∴,∴.
同理,.∴ .
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
∵,点O是AC的中点.∴四边形AECF是平行四边形.
又∵,.∴,即.∴四边形AECF是矩形.
16、(1)解法一:如图25-1
过A作AE⊥CD,垂足为E .
依题意,DE=.
在Rt△ADE中,AD=.
解法二:如图25-2
过点A作AE‖BC交CD于点E,则CE=AB=4 .
∠AED=∠C=60°.
又∵∠D=∠C=60°,
∴△AED是等边三角形 .
∴AD=DE=9-4=5 .
(2)解:如图25-1
∵CP=x,h为PD边上的高,依题意,△PDQ的面积S可表示为:
S=PD·h
=(9-x)·x·sin60°
=(9x-x2)
=-(x-)2+.
由题意,知0≤x≤5 .
当x=时(满足0≤x≤5),S最大值=.
(3)证法一:如图25-3
假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ .
于是9-x=x,x=.
此时,点P、Q的位置如图25-3所示,连QP .
△PDQ恰为等边三角形 .
过点Q作QM‖DC,交BC于M,点M即为所求.
连结MP,以下证明四边形PDQM是菱形 .
易证△MCP≌△QDP,∴∠D=∠3 . MP=PD
∴MP‖QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 .
又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 .
所以存在满足条件的点M,且BM=BC-MC=5-=.
证法二:如图25-4
假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ .
于是9-x=x,x=.
此时,点P、Q的位置如图25-4所示,△PDQ恰为等边三角形 .
过点D作DO⊥PQ于点O,延长DO交BC于点M,连结PM、QM,则DM垂直平分PQ,∴ MP=MQ .
易知∠1=∠C .
∴PQ‖BC .
又∵DO⊥PQ, ∴MC⊥MD
∴MP= CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四边形PDQM是菱形
所以存在满足条件的点M,且BM=BC-MC=5-=
17、(1)证明:,
是的中点,
又,
.)
即是的中点.
(2)解:四边形是矩形,
证明:,,
四边形是平行四边形.
,是的中点,
即.
四边形是矩形.
18、 (1)添加条件:BE=DF或∠BAE=∠DAF 或∠BAF=∠DAE等
(2)证明:∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
∠B =∠D
在△ABE和ADF中
AB=AD
∠B =∠D
BE=DF
∴△ABE≌ADF
∴AE=AF
19、解:(1)在平行四边形ABCD中,∠A=∠C,AD=CB,AB=CD.
∵E,F分别为AB,CD的中点
∴AE=CF
在和中,
(2)若AD⊥BD,则四边形BFDE是菱形.
证明:,
是,且是斜边(或)
是的中点,
由题意可知且,
四边形是平行四边形,
四边形是菱形.
20、解:∵四边形ABCD是正方形,
∴ AD=CD ,∠A=∠DCF=900
又∵DF⊥DE,
∴∠1+∠3=∠2+∠3
∴∠1=∠2
在Rt△DAE和Rt△DCE中,
∠1=∠2
AD=CD
∠A=∠DCF
∴Rt△DAERt△DCE
∴DE=DF.
21、解:(1)证明:∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60°
∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°
∵PQ‖BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB
∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP
过点E作EM⊥OP垂足为M ∴PQ=2PM
∵∠EPM=30°∴PM=PE ∴PE=PQ
∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+ PQ
(2)解:由题意知AE=BE ∴DE=BE=2AE
∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4
当点P在线段ED上时(如图1)
过点Q做QH⊥AD于点H QH=PQ=x
由(1)得PD=BE-PQ=4-x
∴y=PD·QH=
当点P在线段ED的延长线上时(如图2)过点Q作QH⊥DA交DA延长线于点H' ∴QH'=x
过点E作EM'⊥PQ于点M' 同理可得EP=EQ=PQ ∴BE=PQ-PD
∴PD=x-4 y=PD·QH'=
(3)解:连接PC交BD于点N(如图3)∵点P是线段ED中点
∴EP=PD=2 ∴PQ= ∵DC=AB=AE·tan60°=
∴PC==4 ∴cos∠DPC== ∴∠DPC=60°
∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°
∵PQ‖BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN=PD=1
QC== ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC
∴∠PCN=∠PCF...............1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG~△QPC
∴ ∴PG==
22、 解:当cm时,的面积是;当cm时,的面积是;
当cm时,的面积是.(每种情况,图给1分,计算结果正确1分,共6分)
23、(1)证明:当时,,
又,
四边形为平行四边形.
(2)证明:四边形为平行四边形,
(3)四边形可以是菱形.
理由:如图,连接,
由(2)知,得,
与互相平分.
当时,四边形为菱形.
在中,,
,又,,
绕点顺时针旋转时,四边形为菱形.
24、(1)证法一:
① ∵ 四边形ABCD是正方形,AC为对角线,
∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.
∵ PC=PC,
∴ △PBC≌△PDC (SAS).
∴ PB= PD, ∠PBC=∠PDC.
又∵ PB= PE ,
∴ PE=PD.
② (i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时,
∵ PB=PE,
∴ ∠PBE=∠PEB, 要“难题”肯定得学习高手才有!而那些学习高手现正努力钻研之中!所以--我劝LZ亲自到书店,掏钱买本难度大的练习。
(1)解:因为角C=90度
AC=BC=3倍根号2
所以三角形ACB是等腰直角三角形
所以角B=角BAC=45度
由勾股定理得:
AB^2=AC^2+BC^2
所以AB=6
因为DK垂直AB于K
所以角DKB=角DKA=90度
由勾股定理得:
BD^2=BK^2+DK^2
因为角B+角BDK+角DKB=180度
所I以角B=角BDK=45度
所以DK=BK
因为CD=根号2
BC=BD+DC
所以BD=2倍根号2
所以DK=BK=2
因为AB=AK+BK
所以AK=6-2=4
解:因为三角形PEF是等腰直角三角形
所以角FEP=90度
PE=EF=m
因为角FPE+角DKA=180度
所以PE平行DK
所以PE/DK=AE/AK
所以AE=2m
因为KF=AK-AE-EF
所以KF=4-3m
因为PE=1/2BQ=m
所以BQ=2m
因为QK=BK-BQ
所以QK=2-2m
因为QF=QK+KF
所以QF=6-5m
(2)因为DQF是直角三角形
所以点Q与点K重合
所以BK=BQ
所以2m=2
m=1 给你提示:
三角形的相似性、勾股定理的运用(或可解三角形)!
(AB-BK)/(BC-CD)=BC/AB
PE/DK=AE/AK
AB=6
AD=2√5
DK=BK=2
EF=PE=m
QF=AB-(AE+EF)-BQ
若△DQF是Rt△,则Q、K重合
PE是△ADK的中位线,m=1
苏教版九上数学哪个单元是最难的部分是函数部分这个单元。在中考中,函数往往作为压轴题,也是选拔题,落分题。往往与三角形知识相联系,形成动点题。难度系数很大,考查学生的思维能力和各章节的整合能力。数学是一门研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的学科,从某种角度看属于形式科学的一种。数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。数学的发展历史可以追溯到古埃及、美索不达米亚及古印度等古代文明,而在古希腊时期,数学得到了更为严谨的处理。
31、(辽宁沈阳卷)如图,在平面直角坐标系中,直线 分别与 轴, 轴交于点 ,点 .
(1)以 为一边在第一象限内作等边 及 的外接圆 (用尺规作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹);
(2)若 与 轴的另一个交点为点 ,求 , , , 四点的坐标;
(3)求经过 , , 三点的抛物线的解析式,并判断在抛物线上是否存在点 ,使 的面积等于 的面积?若存在,请直接写出所有符合条件的点 的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] (1)如图,正确作出图形,保留作图痕迹
(2)由直线 ,求得点 的坐标为 ,点 的坐标为
在 中, ,
是等边三角形
点 的坐标为 ,连结
是等边三角形
直线 是 的切线
点 的坐标为
(3)设经过 , , 三点的抛物线的解析式是
把 代入上式得
抛物线的解析式是
存在点 ,使 的面积等于 的面积
点 的坐标分别为 , .
[点评]本题是一道综合性很强的压轴题,主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识,第3小题是比较常规的结论存在性问题,运用方程思想和数形结合思想可解决。
32、(山东滨州卷)已知:抛物线 与 轴相交于 两点,且 .
(Ⅰ)若 ,且 为正整数,求抛物线 的解析式;
(Ⅱ)若 ,求 的取值范围;
(Ⅲ)试判断是否存在 ,使经过点 和点 的圆与 轴相切于点 ,若存在,求出 的值;若不存在,试说明理由;
(Ⅳ)若直线 过点 ,与(Ⅰ)中的抛物线 相交于 两点,且使 ,求直线 的解析式.
[解] (Ⅰ)解法一:由题意得, .
解得, .
为正整数, . .
解法二:由题意知,当 时, .
(以下同解法一)
解法三: ,
又 .
(以下同解法一.)
解法四:令 ,即 ,
(以下同解法三.)
(Ⅱ)解法一: .
,即 .
解得 .
的取值范围是 .
解法二:由题意知,当 时,
解得: .
的取值范围是 .
解法三:由(Ⅰ)的解法三、四知, .
的取值范围是 .
(Ⅲ)存在.
解法一:因为过 两点的圆与 轴相切于点 ,所以 两点在 轴的同侧,
由切割线定理知, ,
即 . ,
解法二:连接 .圆心所在直线 ,
设直线 与 轴交于点 ,圆心为 ,
则 .
在 中,
即 .
解得 .
(Ⅳ)设 ,则 .
过 分别向 轴引垂线,垂足分别为 .
则 .
所以由平行线分线段成比例定理知, .
因此, ,即 .
过 分别向 轴引垂线,垂足分别为 ,
则 .所以 . .
. .
,或 .
当 时,点 . 直线 过 ,
解得
当 时,点 . 直线 过 ,
解得
故所求直线 的解析式为: ,或 .
[点评]本题对学生有一定的能力要求,涉及了初中数学的大部分重点章节的重点知识,是一道选拔功能卓越的好题。
33、(山东济宁卷)如图,以O为原点的直角坐标系中,A点的坐标为(0,1),直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点,作直线PC⊥PO,交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴,交y轴于点M,交直线x=1于点N。
(1)当点C在第一象限时,求证:△OPM≌△PCN;
(2)当点C在第一象限时,设AP长为m,四边形POBC的面积为S,请求出S与m间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)当点P在线段AB上移动时,点C也随之在直线x=1上移动,△PBC是否可能成为等腰三角形?如果可能,求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标;如果不可能,请说明理由。
[解] (1)∵OM∥BN,MN∥OB,∠AOB=900,
∴四边形OBNM为矩形。
∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900
∵ ,AO=BO=1,
∴AM=PM。
∴OM=OA-AM=1-AM,PN=MN-PM=1-PM
∴OM=PN
∵∠OPC=900
∴∠OPM+CPN=900
又∵∠OPM+∠POM=900
∴∠CPN=∠POM
∴△OPM≌△PCN
(2)∵AM=PM=APsin450=
∴NC=PM=
∴BN=OM=PN=1-
∴BC=BN-NC=1- - =
(3)△PBC可能为等腰三角形。
①当P与A重合时,PC=BC=1,此时P(0,1)
②当点C在第四象限,且PB=CB时,
有BN=PN=1-
∴BC=PB= PN= -m
∴NC=BN+BC=1- + -m
由⑵知:NC=PM=
∴1- + -m=
∴m=1
∴PM= = ,BN=1- =1-
∴P( ,1- )
∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为(0,1)或( ,1- )
[点评]此题的设计比较精巧,将几何知识放在坐标系中进行考查,第1题运用相似形等几何知识不难得证,第2小题需利用第1小问的结论来建立函数解析式,第3小题需分类讨论,不要漏解,运用方程思想可以得到答案。 34、(山西卷)如图,已知抛物线 与坐标轴的交点依次是 , , .
(1)求抛物线 关于原点对称的抛物线 的解析式;
(2)设抛物线 的顶点为 ,抛物线 与 轴分别交于 两点(点 在点 的左侧),顶点为 ,四边形 的面积为 .若点 ,点 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;与此同时,点 ,点 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动,直到点 与点 重合为止.求出四边形 的面积 与运动时间 之间的关系式,并写出自变量 的取值范围;
(3)当 为何值时,四边形 的面积 有最大值,并求出此最大值;
(4)在运动过程中,四边形 能否形成矩形?若能,求出此时 的值;若不能,请说明理由.
[解] (1)点 ,点 ,点 关于原点的对称点分别为 , , .
设抛物线 的解析式是
解得
所以所求抛物线的解析式是 .
(2)由(1)可计算得点 .
过点 作 ,垂足为 .
当运动到时刻 时, , .
根据中心对称的性质 ,所以四边形 是平行四边形.
所以 .
所以,四边形 的面积 .
因为运动至点 与点 重合为止,据题意可知 .
所以,所求关系式是 , 的取值范围是 .
(3) ,( ).
所以 时, 有最大值 .
提示:也可用顶点坐标公式来求.
(4)在运动过程中四边形 能形成矩形.
由(2)知四边形 是平行四边形,对角线是 ,所以当 时四边形 是矩形.
所以 .所以 .
所以 .解之得 (舍).
所以在运动过程中四边形 可以形成矩形,此时 .
[点评]本题以二次函数为背景,结合动态问题、存在性问题、最值问题,是一道较传统的压轴题,能力要求较高。
35、(四川课改卷)如图,在平面直角坐标系中,已知点 , ,以 为边在 轴下方作正方形 ,点 是线段 与正方形 的外接圆除点 以外的另一个交点,连结 与 相交于点 .
(1)求证: ;
(2)设直线 是 的边 的垂直平分线,且与 相交于点 .若 是 的外心,试求经过 三点的抛物线的解析表达式;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点 ,使该点关于直线 的对称点在 轴上?若存在,求出所有这样的点的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] (1)在 和 中,
四边形 是正方形, .
又 ,
(2)由(1),有 , . 点 .
是 的外心, 点 在 的垂直平分线上.
点 也在 的垂直平分线上.
为等腰三角形, .
而 ,
设经过 三点的抛物线的解析表达式为 .
抛物线过点 , . . ①
把点 ,点 的坐标代入①中,得
即 解得
抛物线的解析表达式为 . ②
(3)假定在抛物线上存在一点 ,使点 关于直线 的对称点 在 轴上.
是 的平分线,
轴上的点 关于直线 的对称点 必在直线 上,
即点 是抛物线与直线 的交点.
设直线 的解析表达式为 ,并设直线 与 轴交于点 ,则由 是等腰直角三角形.
. .
把点 ,点 代入 中,得
直线 的解析表达式为 .
设点 ,则有 . ③
把③代入②,得 ,
,即 .
解得 或 .
当 时, ;
当 时, .
在抛物线上存在点 ,它们关于直线 的对称点都在 轴上.
[点评]本题有一定的难度,综合性也比较强,有一定的新意,第3小问有些难度,有一定的能力要求,解这种题时需冷静地分析题意,找到切入点不会很难。
36、(浙江卷)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1经过点A(-2,0)和点B(0, ),直线l2的函数表达式为 ,l1与l2相交于点P.⊙C是一个动圆,圆心C在直线l1上运动,设圆心C的横坐标是a.过点C作CM⊥x轴,垂足是点M.
(1) 填空:直线l1的函数表达式是 ,交点P的坐标是 ,∠FPB的度数是 ;
(2) 当⊙C和直线l2相切时,请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R,并写出R= 时a的值.
(3) 当⊙C和直线l2不相离时,已知⊙C的半径R= ,记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l2的交点).S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时a的值;若不存在,请说明理由.
[解] (1)
P(1, )
60�0�2
(2) 设⊙C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示,D是切点,连接CD,则CD⊥PD.
过点P作CM的垂线PG,垂足为G,则Rt△CDP≌Rt△PGC (∠PCD=∠CPG=30�0�2,CP=PC), 所以PG=CD=R.
当点C在射线PA上,⊙C和直线l2相切时,同理可证.
取R= 时,a=1+R= ,
或a=-(R-1) .
(3) 当⊙C和直线l2不相离时,由(2)知,分两种情况讨论:
① 如图乙,当0≤a≤ 时,
当 时,(满足a≤ ),S有最大值.此时
(或 ).
② 当 ≤a<0时,显然⊙C和直线l2相切即 时,S最大.此时
综合以上①和②,当 或 时,存在S的最大值,其最大面积为
[点评]此题也较为新颖,符合新课标的理念,揭示了求最值的一般方法,本题的难度设置也较为合适,使同学们都能有发挥自己能力的空间。
37、(广东课改卷)如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,BC∥OA,OA=7,AB=4,∠ COA=60°,点P为x轴上的—个动点,点P不与点0、点A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点D.
(1)求点B的坐标;
(2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;
(3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且 = ,求这时点P的坐标。
[解] (1)作BQ⊥x轴于Q.
∵ 四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠BAQ=∠COA=60°
在RtΔBQA中,BA=4,
∴BQ=AB�6�1sin∠BAO=4×sin60°=
AQ=AB�6�1cos∠BAO=4×cos60°=2,
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
∵点B在第一象限内,
∴点B的的坐标为(5, )
(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,
此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形
若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,
∴点P的坐标为(4,0)
若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4
∴点P的坐标为(-4,0)
∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)
(3)若∠CPD=∠OAB
∵∠CPA=∠OCP+∠COP
而∠OAB=∠COP=60°,
∴∠OCP=∠DPA
此时ΔOCP∽ΔADP
∴ ,
AD=AB-BD=4- =
AP=OA-OP=7-OP
得OP=1或6
∴点P坐标为(1,0)或(6,0).
[点评]本题是一道动态几何压轴题,对学生的分类思想作了重点的考查,是一道很不错区分度较好的压轴题。
38、(广东肇庆卷)已知两个关于 的二次函数 与 ;当 时, ;且二次函数 的图象的对称轴是直线 .
(1)求 的值;
(2)求函数 的表达式;
(3)在同一直角坐标系内,问函数 的图象与 的图象是否有交点?请说明理由.
[解] (1)由
得 .
又因为当 时, ,即 ,
解得 ,或 (舍去),故 的值为 .
(2)由 ,得 ,
所以函数 的图象的对称轴为 ,
于是,有 ,解得 ,
所以 .
(3)由 ,得函数 的图象为抛物线,其开口向下,顶点坐标为 ;
由 ,得函数 的图象为抛物线,其开口向上,顶点坐标为 ;
故在同一直角坐标系内,函数 的图象与 的图象没有交点.
[点评]本题是一道函数压轴题,主要考查了二次函数的性质、方程等知识,因该说难度比较恰当解第3小题时要学会画图,比较直观的看出它们是否有交点,在予以说明。
三、解答题(22~26题每题6分,27题7分,共37分)
22、如图,矩形 中,点 是 与 的交点,过点 的直线与 、 的延长线分别交于点 、 。
⑴求证: ;
⑵当 与 满足什么条件时,四边形 是菱形?并证明你的结论。
23、如图, 是 的弦, 切 于点 , , 交 于点 ,点 为弧 的中点,连结 ,在不添加辅助线的情况下,
⑴找出图中存在的全等三角形,并给出证明;
⑵图中存在你所学过的特殊四边形吗?如果存在,请你找出来并给出证明。
24、操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形 上,并使它的直角顶点 在对角线 上滑动,直角的一边始终经过点 ,另一边与射线 相交于点 。
探究:设 、 两点间的距离为 。
⑴当点 在 上时,线段 与线段 之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论(如图⑴)。
⑵当点 在边 上时,设四边形 的面积为 ,求 与 之间的函数解析式,并写出函数的定义域(如图⑵)。
⑶当点 在线段 上滑动时, 是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使 成为等腰三角形的点 的位置,并求出相应的 的值;如果不可能,试说明理由(如图⑶)。(图⑷、图⑸、图⑹的的形状、大小相同,图⑷供操作、实验用,图⑸和图⑹备用)
25、如图,已知四边形 中,点 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点,并且点 、 、 、 有在同一条直线上。
求证: 和 互相平分。
26、已知:抛物线 与 轴的一个交点为 。
⑴求抛物线与 轴的另一个交点 的坐标。
⑵点 是抛物线与 轴的交点,点 是抛物线上的一点,且以 为一底的梯形 的面积为9,求此抛物线的解析式。
⑶点 是第二象限内到 轴、 轴的距离的比为5:2的点,如果点 在⑵中的抛物线上,且它与点 在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点 ,使 的周长最小?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由。
27、在平面直角坐标系中(单位长度:1cm), 、 两点的坐标分别为 , ,点 从点 开始以2cm/s的速度沿折线 运动,同时点 从点 开始以1cm/s的速度沿折线 运动。
⑴在运动开始后的每一时刻一定存在以点 、 、 为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形吗?如果存在,那么以点 、 、 为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形相似吗?以点 、 、 为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形会同时成为等腰直角三角形吗?请分别说明理由。
⑵试判断 时,以点 为圆心, 为半径的圆与以点 为圆心、 半径的圆的位置关系;除此之外 与 还有其他位置关系吗?如果有,请求出 的取值范围。
⑶请你选定某一时刻,求出经过三点 、 、 的抛物线的解析式。
二、填空题
1、(2008山西太原)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知,AB=2.5,则AC的长为 。
2、(2008湖北孝感)四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个"赵爽弦图"(如图)。如果小正方形面积为1,大正方形面积为25,直角三角形中较小锐角为θ,那么= 。
3、(2008江苏盐城)将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开,可以拼成不同形状的四边形,试写出其中一种四边形的名称 .
4、(2008四川内江)如图,在的矩形方格图中,不包含阴影部分的矩形个数是 个.
无答案
5、(2008佛山)如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP = BC,则∠ACP度数是 .
6、(2008佳木斯市)下列各图中, 不是正方体的展开图(填序号)
7、(2008泰安) 若等腰梯形的上、下底之和为4,并且两条对角线所夹锐角为,则该等腰梯形的面积为 .
8、(2008年陕西省)如图,梯形中,,,且,分别以为边向梯形外作正方形,其面积分别为,则之间的关系是 .
9、(2008年陕西省)如图,菱形的边长为2,,则点的坐标为 .
10、(2008年山东省青岛市)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若∠AOB=60°,AB=4cm,则AC的长为________cm.
11、(2008四川凉山州)菱形中,垂直平分,垂足为,.那么,菱形的面积是 ,对角线的长是 .
12、(08海南)如图,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AE‖DC,AB=6cm,则AE= cm.
13、(2008 青海)已知菱形的面积是,对角线cm,则菱形的边长是 cm;等腰梯形中,,cm,cm,,则梯形的腰长是 cm.
14、(2008 山东 临沂)如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC
于点E、F,连接CE,则CE的长________.
15、(2008齐齐哈尔)如图,菱形的边长为1,;作于点,以为一边,做第二个菱形,使;作于点,以为一边做第三个菱形,使;依此类推,这样做的第个菱形的边的长是 .
16、(2008江苏镇江)如图所示,两个全等菱形的边长为1厘米,一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动,行走2008厘米后停下,则这只蚂蚁停在 点.
17、 (2008黑龙江哈尔滨)己知菱形ABCD的边长是6,点E在直线AD上,DE=3,连接BE与对角线AC相交于点M,则 的值是 。
18、(2008四川凉山州)菱形中,垂直平分,垂足为,.那么,菱形的面积是 ,对角线的长是 .
19、(2008江苏盐城)梯形的中位线长为3,高为2,则该梯形的面积为 .
20、(2008山西太原)在梯形ABCD中,,AB=DC=3,沿对角线BD翻折梯形ABCD,若点A恰好落在下底BC的中点E处,则梯形的周长为 。
四、答案
一、选择题
1、5
2、0.6
3、平行四边形(或矩形或菱形)
4、(2008四川内江)如图,在的矩形方格图中,不包含阴影部分的矩形个数是 个.
5、22.5
6、③
7、(结果保留根号的形式).
8、
9、
10、8cm
11、8
12、6
13、;4
14、
15、
16、
17、 2或
18、8
19、6
20、15;
21、5
22、90°
23、6
24、答案不唯一. 可供参考的有:①它内角的度数为60°、60°、120°、120°;②它的腰长等于上底长;③它的上底等于下底长的一半.
25、 1
26、①②③④
27、
28、
29、10㎝2
30、9
31、20
32、48
33、矩形
34、
35、60
三、解答题
1、解:(1)BG=DE
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,
∴GC=CE,BC=CD,∠BCG=∠DCE=90°)
∴△BCG≌△DCE
∴BG=DE
(2)存在. △BCG和△DCE
△BCG绕点C顺时针方向旋转90°与△DCE重合
2、证明:在正方形ABCD中,取AB=2
∵N为BC的中点,
∴NC=
在中,
又∵NE=ND,
∴CE=NE-NC=,
故矩形DCEF为黄金矩形。
3、解:(1) 内.
(2) 证法一:连接CD,
∵ DE‖AC,DF‖BC,
∴ 四边形DECF为平行四边形,
又∵ 点D是△ABC的内心,
∴ CD平分∠ACB,即∠FCD=∠ECD,
又∠FDC=∠ECD,∴ ∠FCD=∠FDC
∴ FC=FD,
∴ □DECF为菱形.
证法二:
过D分别作DG⊥AB于G,DH⊥BC于H,DI⊥AC于I.
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC,
∴DI=DG,
DG=DH.
∴DH=DI.
∵DE‖AC,DF‖BC,
∴四边形DECF为平行四边形,
∴S□DECF=CE·DH =CF·DI,
∴CE=CF.
∴□DECF为菱形.
4、(1)当E为CD中点时,EB平分∠AEC。
由∠D=900 ,DE=1,AD=,推得DEA=600,同理,∠CEB=600 ,从而∠AEB=∠CEB=600 ,即EB平分∠AEC。
(2)①∵CE‖BF,∴== ∴BF=2CE。
∵AB=2CE,∴点B平分线段AF
②能
证明:∵CP=,CE=1,∠C=900 ,∴EP=。
在Rt △ADE中,AE= =2,∴AE=BF,
又∵PB=,∴PB=PE
∵∠AEP=∠BP=900 ,∴△PAS≌△PFB。
∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。
旋转度数为1200
5、(1)四边形BECF是菱形。·
证明:EF垂直平分BC,
∴BF=FC,BE=EC,∴∠1=∠2
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠4=90°
∠3+∠2=90°
∴∠3=∠4
∴EC=AE
∴BE=AE
∵CF=AE
∴BE=EC=CF=BF
∴四边形BECF是菱形
(2)当∠A=45。时,菱形BESF是正方形
证明:∵∠A=45。, ∠ACB=90。
∴∠1=45。
∴∠EBF=2∠A=90。
∴菱形BECF是正方形
6、(1)证明:四边形是矩形,
(矩形的对角线互相平分),
(矩形的对边平行).
,.
(A.A.S).
(2)当时,四边形是菱形.
证明:四边形是矩形,
(矩形的对角线互相平分).
又由(1)得,
四边形是平行四边形(对角线互相平分的
四边形是平行四边形)
又,
四边形是菱形(对角线互相垂直的平行四
边形是菱形).
7、(1)证明:∵AE‖BD, ∴∠E=∠BDC
∵DB平分∠ADC ∴∠ADC=2∠BDC
又∵∠C=2∠E
∴∠ADC=∠BCD
∴梯形ABCD是等腰梯形
(2)解:由第(1)问,得∠C=2∠E=2∠BDC=60°,且BC=AD=5
∵ 在△BCD中,∠C=60°, ∠BDC=30°
∴∠DBC=90°
∴DC=2BC=10
8、解:解:当cm时,的面积是;
当cm时,的面积是;
当cm时,的面积是.
(每种情况,图给1分,计算结果正确1分,共6分)
9、证明: 过点C作CF⊥AB,垂足为F.
∵ 在梯形ABCD中,AB‖CD,∠A=90°,
∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°.
∴四边形AFCD是矩形.
AD=CF, BF=AB-AF=1.
在Rt△BCF中,
CF2=BC2-BF2=8,
∴ CF=.
∴ AD=CF=.
∵ E是AD中点,
∴ DE=AE=AD=.
在Rt△ABE和 Rt△DEC中,
EB2=AE2+AB2=6,
EC2= DE2+CD2=3,
EB2+ EC2=9=BC2.
∴ ∠CEB=90°.
∴ EB⊥EC.
10、(1)证明:∵四边形为正方形,∴BC=CD,∠BCG=∠DCE=90° ..................2分
∵CG=CE,∴△BCG≌△DCE. ..................4分
(2)答:四边形E′BGD是平行四边形
理由:∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′
∴CE=AE′,∵CG=CE,∴CG=AE′,∵AB=CD,AB‖CD,
∴BE′=DG,BE′‖DG,..................6分
∴四边形E′BGD是平行四边形 ..................8分
11、解法一:矩形中,,,
,,.
解法二:矩形中,.
,,.
12、(1),即,又,四边形是平行四边形.
平分,,
又,,,,
四边形是菱形.
(2)证法一:是中点,.
又,,,
,)
,.
即,是直角三角形.)
证法二:连,则,且平分,
设交于.
是的中点,.
,是直角三角形. (7分)
13、解:(1)36;(2)秒;
(3)当三点构成直角三角形时,有两种情况:
①当时,设点离开点秒,
作于,.
,,.
当时,点离开点秒.
②当时,设点离开点秒,
,.
...
当时,点离开点秒.
由①②知,当三点构成直角三角形时,点离开点秒或秒.
14、证明:(1),,.
由沿折叠后与重合,知,.
四边形是矩形,且邻边相等.
四边形是正方形.
(2),且,四边形是梯形.
四边形是正方形,,.
又点为的中点,.连接.
在与中,,,,
,.
,,四边形是平行四边形.
...
四边形是等腰梯形.
注:第(2)小题也可过点作,垂足为点,证
15、解(1)证明: ∵CE平分,∴,
又∵MN‖BC,∴,∴,∴.
同理,.∴ .
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
∵,点O是AC的中点.∴四边形AECF是平行四边形.
又∵,.∴,即.∴四边形AECF是矩形.
16、(1)解法一:如图25-1
过A作AE⊥CD,垂足为E .
依题意,DE=.
在Rt△ADE中,AD=.
解法二:如图25-2
过点A作AE‖BC交CD于点E,则CE=AB=4 .
∠AED=∠C=60°.
又∵∠D=∠C=60°,
∴△AED是等边三角形 .
∴AD=DE=9-4=5 .
(2)解:如图25-1
∵CP=x,h为PD边上的高,依题意,△PDQ的面积S可表示为:
S=PD·h
=(9-x)·x·sin60°
=(9x-x2)
=-(x-)2+.
由题意,知0≤x≤5 .
当x=时(满足0≤x≤5),S最大值=.
(3)证法一:如图25-3
假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ .
于是9-x=x,x=.
此时,点P、Q的位置如图25-3所示,连QP .
△PDQ恰为等边三角形 .
过点Q作QM‖DC,交BC于M,点M即为所求.
连结MP,以下证明四边形PDQM是菱形 .
易证△MCP≌△QDP,∴∠D=∠3 . MP=PD
∴MP‖QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 .
又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 .
所以存在满足条件的点M,且BM=BC-MC=5-=.
证法二:如图25-4
假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ .
于是9-x=x,x=.
此时,点P、Q的位置如图25-4所示,△PDQ恰为等边三角形 .
过点D作DO⊥PQ于点O,延长DO交BC于点M,连结PM、QM,则DM垂直平分PQ,∴ MP=MQ .
易知∠1=∠C .
∴PQ‖BC .
又∵DO⊥PQ, ∴MC⊥MD
∴MP= CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四边形PDQM是菱形
所以存在满足条件的点M,且BM=BC-MC=5-=
17、(1)证明:,
是的中点,
又,
.)
即是的中点.
(2)解:四边形是矩形,
证明:,,
四边形是平行四边形.
,是的中点,
即.
四边形是矩形.
18、 (1)添加条件:BE=DF或∠BAE=∠DAF 或∠BAF=∠DAE等
(2)证明:∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
∠B =∠D
在△ABE和ADF中
AB=AD
∠B =∠D
BE=DF
∴△ABE≌ADF
∴AE=AF
19、解:(1)在平行四边形ABCD中,∠A=∠C,AD=CB,AB=CD.
∵E,F分别为AB,CD的中点
∴AE=CF
在和中,
(2)若AD⊥BD,则四边形BFDE是菱形.
证明:,
是,且是斜边(或)
是的中点,
由题意可知且,
四边形是平行四边形,
四边形是菱形.
20、解:∵四边形ABCD是正方形,
∴ AD=CD ,∠A=∠DCF=900
又∵DF⊥DE,
∴∠1+∠3=∠2+∠3
∴∠1=∠2
在Rt△DAE和Rt△DCE中,
∠1=∠2
AD=CD
∠A=∠DCF
∴Rt△DAERt△DCE
∴DE=DF.
21、解:(1)证明:∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60°
∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°
∵PQ‖BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB
∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP
过点E作EM⊥OP垂足为M ∴PQ=2PM
∵∠EPM=30°∴PM=PE ∴PE=PQ
∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+ PQ
(2)解:由题意知AE=BE ∴DE=BE=2AE
∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4
当点P在线段ED上时(如图1)
过点Q做QH⊥AD于点H QH=PQ=x
由(1)得PD=BE-PQ=4-x
∴y=PD·QH=
当点P在线段ED的延长线上时(如图2)过点Q作QH⊥DA交DA延长线于点H' ∴QH'=x
过点E作EM'⊥PQ于点M' 同理可得EP=EQ=PQ ∴BE=PQ-PD
∴PD=x-4 y=PD·QH'=
(3)解:连接PC交BD于点N(如图3)∵点P是线段ED中点
∴EP=PD=2 ∴PQ= ∵DC=AB=AE·tan60°=
∴PC==4 ∴cos∠DPC== ∴∠DPC=60°
∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°
∵PQ‖BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN=PD=1
QC== ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC
∴∠PCN=∠PCF...............1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG~△QPC
∴ ∴PG==
22、 解:当cm时,的面积是;当cm时,的面积是;
当cm时,的面积是.(每种情况,图给1分,计算结果正确1分,共6分)
23、(1)证明:当时,,
又,
四边形为平行四边形.
(2)证明:四边形为平行四边形,
(3)四边形可以是菱形.
理由:如图,连接,
由(2)知,得,
与互相平分.
当时,四边形为菱形.
在中,,
,又,,
绕点顺时针旋转时,四边形为菱形.
24、(1)证法一:
① ∵ 四边形ABCD是正方形,AC为对角线,
∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.
∵ PC=PC,
∴ △PBC≌△PDC (SAS).
∴ PB= PD, ∠PBC=∠PDC.
又∵ PB= PE ,
∴ PE=PD.
② (i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时,
∵ PB=PE,
∴ ∠PBE=∠PEB, 要“难题”肯定得学习高手才有!而那些学习高手现正努力钻研之中!所以--我劝LZ亲自到书店,掏钱买本难度大的练习。
(1)解:因为角C=90度
AC=BC=3倍根号2
所以三角形ACB是等腰直角三角形
所以角B=角BAC=45度
由勾股定理得:
AB^2=AC^2+BC^2
所以AB=6
因为DK垂直AB于K
所以角DKB=角DKA=90度
由勾股定理得:
BD^2=BK^2+DK^2
因为角B+角BDK+角DKB=180度
所I以角B=角BDK=45度
所以DK=BK
因为CD=根号2
BC=BD+DC
所以BD=2倍根号2
所以DK=BK=2
因为AB=AK+BK
所以AK=6-2=4
解:因为三角形PEF是等腰直角三角形
所以角FEP=90度
PE=EF=m
因为角FPE+角DKA=180度
所以PE平行DK
所以PE/DK=AE/AK
所以AE=2m
因为KF=AK-AE-EF
所以KF=4-3m
因为PE=1/2BQ=m
所以BQ=2m
因为QK=BK-BQ
所以QK=2-2m
因为QF=QK+KF
所以QF=6-5m
(2)因为DQF是直角三角形
所以点Q与点K重合
所以BK=BQ
所以2m=2
m=1 给你提示:
三角形的相似性、勾股定理的运用(或可解三角形)!
(AB-BK)/(BC-CD)=BC/AB
PE/DK=AE/AK
AB=6
AD=2√5
DK=BK=2
EF=PE=m
QF=AB-(AE+EF)-BQ
若△DQF是Rt△,则Q、K重合
PE是△ADK的中位线,m=1
苏教版九上数学哪个单元是最难的部分是函数部分这个单元。在中考中,函数往往作为压轴题,也是选拔题,落分题。往往与三角形知识相联系,形成动点题。难度系数很大,考查学生的思维能力和各章节的整合能力。数学是一门研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的学科,从某种角度看属于形式科学的一种。数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。数学的发展历史可以追溯到古埃及、美索不达米亚及古印度等古代文明,而在古希腊时期,数学得到了更为严谨的处理。
31、(辽宁沈阳卷)如图,在平面直角坐标系中,直线 分别与 轴, 轴交于点 ,点 .
(1)以 为一边在第一象限内作等边 及 的外接圆 (用尺规作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹);
(2)若 与 轴的另一个交点为点 ,求 , , , 四点的坐标;
(3)求经过 , , 三点的抛物线的解析式,并判断在抛物线上是否存在点 ,使 的面积等于 的面积?若存在,请直接写出所有符合条件的点 的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] (1)如图,正确作出图形,保留作图痕迹
(2)由直线 ,求得点 的坐标为 ,点 的坐标为
在 中, ,
是等边三角形
点 的坐标为 ,连结
是等边三角形
直线 是 的切线
点 的坐标为
(3)设经过 , , 三点的抛物线的解析式是
把 代入上式得
抛物线的解析式是
存在点 ,使 的面积等于 的面积
点 的坐标分别为 , .
[点评]本题是一道综合性很强的压轴题,主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识,第3小题是比较常规的结论存在性问题,运用方程思想和数形结合思想可解决。
32、(山东滨州卷)已知:抛物线 与 轴相交于 两点,且 .
(Ⅰ)若 ,且 为正整数,求抛物线 的解析式;
(Ⅱ)若 ,求 的取值范围;
(Ⅲ)试判断是否存在 ,使经过点 和点 的圆与 轴相切于点 ,若存在,求出 的值;若不存在,试说明理由;
(Ⅳ)若直线 过点 ,与(Ⅰ)中的抛物线 相交于 两点,且使 ,求直线 的解析式.
[解] (Ⅰ)解法一:由题意得, .
解得, .
为正整数, . .
解法二:由题意知,当 时, .
(以下同解法一)
解法三: ,
又 .
(以下同解法一.)
解法四:令 ,即 ,
(以下同解法三.)
(Ⅱ)解法一: .
,即 .
解得 .
的取值范围是 .
解法二:由题意知,当 时,
解得: .
的取值范围是 .
解法三:由(Ⅰ)的解法三、四知, .
的取值范围是 .
(Ⅲ)存在.
解法一:因为过 两点的圆与 轴相切于点 ,所以 两点在 轴的同侧,
由切割线定理知, ,
即 . ,
解法二:连接 .圆心所在直线 ,
设直线 与 轴交于点 ,圆心为 ,
则 .
在 中,
即 .
解得 .
(Ⅳ)设 ,则 .
过 分别向 轴引垂线,垂足分别为 .
则 .
所以由平行线分线段成比例定理知, .
因此, ,即 .
过 分别向 轴引垂线,垂足分别为 ,
则 .所以 . .
. .
,或 .
当 时,点 . 直线 过 ,
解得
当 时,点 . 直线 过 ,
解得
故所求直线 的解析式为: ,或 .
[点评]本题对学生有一定的能力要求,涉及了初中数学的大部分重点章节的重点知识,是一道选拔功能卓越的好题。
33、(山东济宁卷)如图,以O为原点的直角坐标系中,A点的坐标为(0,1),直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点,作直线PC⊥PO,交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴,交y轴于点M,交直线x=1于点N。
(1)当点C在第一象限时,求证:△OPM≌△PCN;
(2)当点C在第一象限时,设AP长为m,四边形POBC的面积为S,请求出S与m间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)当点P在线段AB上移动时,点C也随之在直线x=1上移动,△PBC是否可能成为等腰三角形?如果可能,求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标;如果不可能,请说明理由。
[解] (1)∵OM∥BN,MN∥OB,∠AOB=900,
∴四边形OBNM为矩形。
∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900
∵ ,AO=BO=1,
∴AM=PM。
∴OM=OA-AM=1-AM,PN=MN-PM=1-PM
∴OM=PN
∵∠OPC=900
∴∠OPM+CPN=900
又∵∠OPM+∠POM=900
∴∠CPN=∠POM
∴△OPM≌△PCN
(2)∵AM=PM=APsin450=
∴NC=PM=
∴BN=OM=PN=1-
∴BC=BN-NC=1- - =
(3)△PBC可能为等腰三角形。
①当P与A重合时,PC=BC=1,此时P(0,1)
②当点C在第四象限,且PB=CB时,
有BN=PN=1-
∴BC=PB= PN= -m
∴NC=BN+BC=1- + -m
由⑵知:NC=PM=
∴1- + -m=
∴m=1
∴PM= = ,BN=1- =1-
∴P( ,1- )
∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为(0,1)或( ,1- )
[点评]此题的设计比较精巧,将几何知识放在坐标系中进行考查,第1题运用相似形等几何知识不难得证,第2小题需利用第1小问的结论来建立函数解析式,第3小题需分类讨论,不要漏解,运用方程思想可以得到答案。 34、(山西卷)如图,已知抛物线 与坐标轴的交点依次是 , , .
(1)求抛物线 关于原点对称的抛物线 的解析式;
(2)设抛物线 的顶点为 ,抛物线 与 轴分别交于 两点(点 在点 的左侧),顶点为 ,四边形 的面积为 .若点 ,点 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;与此同时,点 ,点 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动,直到点 与点 重合为止.求出四边形 的面积 与运动时间 之间的关系式,并写出自变量 的取值范围;
(3)当 为何值时,四边形 的面积 有最大值,并求出此最大值;
(4)在运动过程中,四边形 能否形成矩形?若能,求出此时 的值;若不能,请说明理由.
[解] (1)点 ,点 ,点 关于原点的对称点分别为 , , .
设抛物线 的解析式是
解得
所以所求抛物线的解析式是 .
(2)由(1)可计算得点 .
过点 作 ,垂足为 .
当运动到时刻 时, , .
根据中心对称的性质 ,所以四边形 是平行四边形.
所以 .
所以,四边形 的面积 .
因为运动至点 与点 重合为止,据题意可知 .
所以,所求关系式是 , 的取值范围是 .
(3) ,( ).
所以 时, 有最大值 .
提示:也可用顶点坐标公式来求.
(4)在运动过程中四边形 能形成矩形.
由(2)知四边形 是平行四边形,对角线是 ,所以当 时四边形 是矩形.
所以 .所以 .
所以 .解之得 (舍).
所以在运动过程中四边形 可以形成矩形,此时 .
[点评]本题以二次函数为背景,结合动态问题、存在性问题、最值问题,是一道较传统的压轴题,能力要求较高。
35、(四川课改卷)如图,在平面直角坐标系中,已知点 , ,以 为边在 轴下方作正方形 ,点 是线段 与正方形 的外接圆除点 以外的另一个交点,连结 与 相交于点 .
(1)求证: ;
(2)设直线 是 的边 的垂直平分线,且与 相交于点 .若 是 的外心,试求经过 三点的抛物线的解析表达式;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点 ,使该点关于直线 的对称点在 轴上?若存在,求出所有这样的点的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] (1)在 和 中,
四边形 是正方形, .
又 ,
(2)由(1),有 , . 点 .
是 的外心, 点 在 的垂直平分线上.
点 也在 的垂直平分线上.
为等腰三角形, .
而 ,
设经过 三点的抛物线的解析表达式为 .
抛物线过点 , . . ①
把点 ,点 的坐标代入①中,得
即 解得
抛物线的解析表达式为 . ②
(3)假定在抛物线上存在一点 ,使点 关于直线 的对称点 在 轴上.
是 的平分线,
轴上的点 关于直线 的对称点 必在直线 上,
即点 是抛物线与直线 的交点.
设直线 的解析表达式为 ,并设直线 与 轴交于点 ,则由 是等腰直角三角形.
. .
把点 ,点 代入 中,得
直线 的解析表达式为 .
设点 ,则有 . ③
把③代入②,得 ,
,即 .
解得 或 .
当 时, ;
当 时, .
在抛物线上存在点 ,它们关于直线 的对称点都在 轴上.
[点评]本题有一定的难度,综合性也比较强,有一定的新意,第3小问有些难度,有一定的能力要求,解这种题时需冷静地分析题意,找到切入点不会很难。
36、(浙江卷)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1经过点A(-2,0)和点B(0, ),直线l2的函数表达式为 ,l1与l2相交于点P.⊙C是一个动圆,圆心C在直线l1上运动,设圆心C的横坐标是a.过点C作CM⊥x轴,垂足是点M.
(1) 填空:直线l1的函数表达式是 ,交点P的坐标是 ,∠FPB的度数是 ;
(2) 当⊙C和直线l2相切时,请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R,并写出R= 时a的值.
(3) 当⊙C和直线l2不相离时,已知⊙C的半径R= ,记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l2的交点).S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时a的值;若不存在,请说明理由.
[解] (1)
P(1, )
60�0�2
(2) 设⊙C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示,D是切点,连接CD,则CD⊥PD.
过点P作CM的垂线PG,垂足为G,则Rt△CDP≌Rt△PGC (∠PCD=∠CPG=30�0�2,CP=PC), 所以PG=CD=R.
当点C在射线PA上,⊙C和直线l2相切时,同理可证.
取R= 时,a=1+R= ,
或a=-(R-1) .
(3) 当⊙C和直线l2不相离时,由(2)知,分两种情况讨论:
① 如图乙,当0≤a≤ 时,
当 时,(满足a≤ ),S有最大值.此时
(或 ).
② 当 ≤a<0时,显然⊙C和直线l2相切即 时,S最大.此时
综合以上①和②,当 或 时,存在S的最大值,其最大面积为
[点评]此题也较为新颖,符合新课标的理念,揭示了求最值的一般方法,本题的难度设置也较为合适,使同学们都能有发挥自己能力的空间。
37、(广东课改卷)如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,BC∥OA,OA=7,AB=4,∠ COA=60°,点P为x轴上的—个动点,点P不与点0、点A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点D.
(1)求点B的坐标;
(2)当点P运动什么位置时,△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;
(3)当点P运动什么位置时,使得∠CPD=∠OAB,且 = ,求这时点P的坐标。
[解] (1)作BQ⊥x轴于Q.
∵ 四边形ABCD是等腰梯形,
∴∠BAQ=∠COA=60°
在RtΔBQA中,BA=4,
∴BQ=AB�6�1sin∠BAO=4×sin60°=
AQ=AB�6�1cos∠BAO=4×cos60°=2,
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
∵点B在第一象限内,
∴点B的的坐标为(5, )
(2)若ΔOCP为等腰三角形,∵∠COP=60°,
此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形
若ΔOCP为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P在x轴的正半轴上,
∴点P的坐标为(4,0)
若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形,则点P在x轴的负半轴上,且OP=OC=4
∴点P的坐标为(-4,0)
∴点P的坐标为(4,0)或(-4,0)
(3)若∠CPD=∠OAB
∵∠CPA=∠OCP+∠COP
而∠OAB=∠COP=60°,
∴∠OCP=∠DPA
此时ΔOCP∽ΔADP
∴ ,
AD=AB-BD=4- =
AP=OA-OP=7-OP
得OP=1或6
∴点P坐标为(1,0)或(6,0).
[点评]本题是一道动态几何压轴题,对学生的分类思想作了重点的考查,是一道很不错区分度较好的压轴题。
38、(广东肇庆卷)已知两个关于 的二次函数 与 ;当 时, ;且二次函数 的图象的对称轴是直线 .
(1)求 的值;
(2)求函数 的表达式;
(3)在同一直角坐标系内,问函数 的图象与 的图象是否有交点?请说明理由.
[解] (1)由
得 .
又因为当 时, ,即 ,
解得 ,或 (舍去),故 的值为 .
(2)由 ,得 ,
所以函数 的图象的对称轴为 ,
于是,有 ,解得 ,
所以 .
(3)由 ,得函数 的图象为抛物线,其开口向下,顶点坐标为 ;
由 ,得函数 的图象为抛物线,其开口向上,顶点坐标为 ;
故在同一直角坐标系内,函数 的图象与 的图象没有交点.
[点评]本题是一道函数压轴题,主要考查了二次函数的性质、方程等知识,因该说难度比较恰当解第3小题时要学会画图,比较直观的看出它们是否有交点,在予以说明。
三、解答题(22~26题每题6分,27题7分,共37分)
22、如图,矩形 中,点 是 与 的交点,过点 的直线与 、 的延长线分别交于点 、 。
⑴求证: ;
⑵当 与 满足什么条件时,四边形 是菱形?并证明你的结论。
23、如图, 是 的弦, 切 于点 , , 交 于点 ,点 为弧 的中点,连结 ,在不添加辅助线的情况下,
⑴找出图中存在的全等三角形,并给出证明;
⑵图中存在你所学过的特殊四边形吗?如果存在,请你找出来并给出证明。
24、操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形 上,并使它的直角顶点 在对角线 上滑动,直角的一边始终经过点 ,另一边与射线 相交于点 。
探究:设 、 两点间的距离为 。
⑴当点 在 上时,线段 与线段 之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论(如图⑴)。
⑵当点 在边 上时,设四边形 的面积为 ,求 与 之间的函数解析式,并写出函数的定义域(如图⑵)。
⑶当点 在线段 上滑动时, 是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使 成为等腰三角形的点 的位置,并求出相应的 的值;如果不可能,试说明理由(如图⑶)。(图⑷、图⑸、图⑹的的形状、大小相同,图⑷供操作、实验用,图⑸和图⑹备用)
25、如图,已知四边形 中,点 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点,并且点 、 、 、 有在同一条直线上。
求证: 和 互相平分。
26、已知:抛物线 与 轴的一个交点为 。
⑴求抛物线与 轴的另一个交点 的坐标。
⑵点 是抛物线与 轴的交点,点 是抛物线上的一点,且以 为一底的梯形 的面积为9,求此抛物线的解析式。
⑶点 是第二象限内到 轴、 轴的距离的比为5:2的点,如果点 在⑵中的抛物线上,且它与点 在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点 ,使 的周长最小?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由。
27、在平面直角坐标系中(单位长度:1cm), 、 两点的坐标分别为 , ,点 从点 开始以2cm/s的速度沿折线 运动,同时点 从点 开始以1cm/s的速度沿折线 运动。
⑴在运动开始后的每一时刻一定存在以点 、 、 为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形吗?如果存在,那么以点 、 、 为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形相似吗?以点 、 、 为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形会同时成为等腰直角三角形吗?请分别说明理由。
⑵试判断 时,以点 为圆心, 为半径的圆与以点 为圆心、 半径的圆的位置关系;除此之外 与 还有其他位置关系吗?如果有,请求出 的取值范围。
⑶请你选定某一时刻,求出经过三点 、 、 的抛物线的解析式。