趣味数学题和答案(必带答案,不带不采纳)
1、一个人花8块钱买了一只鸡,9块钱卖掉了,然后他觉得不划算,花10块钱又买回来了,11块卖给另外一个人。问他赚了多少?
答案:2元
2、假设有一个池塘,里面有无穷多的水。现有2个空水壶,容积分别为5升和6升。问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。
答案:先用5升壶装满后倒进6升壶里,
在再将5升壶装满向6升壶里到,使6升壶装满为止,此时5升壶里还剩4升水
将6升壶里的水全部倒掉,将5升壶里剩下的4升水倒进6升壶里,此时6升壶里只有4升水
再将5升壶装满,向6升壶里到,使6升壶里装满为止,此时5升壶里就只剩下3升水了
3、一个农夫带着三只兔到集市上去卖,每只兔大概三四千克,但农夫的秤只能称五千克以上,问他该如何称量。
答案:先称3只,再拿下一只,称量后算差。
4、有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆,猴子家离香蕉堆50米,猴子打算把香蕉背回家,
每次最多能背50根,可是猴子嘴馋,每走一米要吃一根香蕉,问猴子最多能背回家几根香
蕉?
答案:25根
先背50根到25米处,这时,吃了25根,还有25根,放下。回头再背剩下的50根,走到25米处时,又吃了25根,还有25根。再拿起地上的25根,一共50根,继续往家走,一共25米,要吃25根,还剩25根到家。
5、一天有个年轻人来到王老板的店里买一件礼物,这件礼物成本是18元,售价是21元。 结果是这个年轻人掏出100元要买这件礼物。
王老板当时没有零钱,用那100元向街坊换了100元的零钱,找给年轻人79元。 但是街坊后来发现那100元是假钞,王老板无奈还了街坊100元。 现在问题是:王老板在这次交易中到底损失了多少钱 ?
答案:97元
6、一个四位数与它的各个位上的数之和是1972,求这个四位数
答案:因为是四位数,和是1972 所以这个四位数的千位上一定是1,因为它不能是0,也不能大于1.
所以这个数就是1xxx。
剩下三个数,即使是1972,9+7+2=18,18+1=19.所以百位上的数只能是9,因为是别的数是不可能得出19xx的。
然后设 个位为数字x,十位为数字y,x、y都为0~9的整数,
则有:1900+10y+x+x+y+10=1972 则有11y+2x=62
x=(62-11y)/2 这样 把0~9的数放到y的位置,就发现 只能是y=4,x=9
所以就是1949
30. 桌子上原来有12支点燃的蜡烛,先被风吹灭了3根,不久又一阵风吹灭了2根,最后桌子上还剩几根蜡烛呢
解答:5根
31. 兄弟共有45元钱,如果老大增加2元钱,老二减少2元钱,老三增加到原来的2倍,老四减少到原来的1/2,这时候四人的钱同样多,原来各有多少钱?
解:老大8 老二12 老三5 老四20
32.一根绳子两个头,三根半绳子有几个头?
解:8个头,(半根绳子也是两个头)
33.一栋住宅楼,爷爷从一楼走到三楼要6分钟,现在要到6楼,要走多少分钟?
答:15分钟
34. 24个人排成6列,要求5个人为一列,你知道应该怎样来排列吗? (一个六边形)
35. 园新买回一批小玩具。如果按每组10个分,则少了2个;如果按每组12个分,则刚好分完,但却少分一组。请你想一想,一共有这批玩具多少个?(这批玩具共48个)
36. 有一本书,兄弟两个都想买。哥哥缺5元,弟弟只缺一分。但是两人合买一本,钱仍然不够。你知道这本书的价格吗?他们又各有多少钱呢? (这本书的价格是5元。哥哥一分也没有,弟弟有4.9元)
37. 有一家里兄妹四个,他们4个人的年龄乘起来正好是14,你知道他们分别是多少岁吗?(当然在这里岁数都是整数。) (14只能分解为2和7,因此四个人的年纪分别为1,1,2,7,其中有一对为双胞胎)
38.1根绳子对折,再对折,再第三次对折,然后从中间剪断,共剪成多少段?
解:9段
39. 五条直线相交,最多能有多少个交点呢?
解:10个交点
40.员(打一数学名词)——圆心
41.如果有5只猫,同时吃5条鱼,需要5分钟时间才吃完。按同样的速度,100只猫同时吃掉100条鱼,需要()分钟时间。
解:5分钟
42.在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨2阶,那么最后剩下1阶,如果你每步跨3阶,那么你最后剩2阶,如果你每步跨5阶,那么最后剩4阶,如果你每步跨6阶,那么最后剩5阶,只有当你每步跨7阶时,最后才正好走完,一阶不剩。
请你算一算,这条阶梯到底有多少阶?
解:119阶
43.司药(打一数学名词)——配方
44.招收演员(打一数学名词)——补角
45.搬来数一数(打一数学名词)——运算
46.你盼着我,我盼着你(打一数学名词)——相等
47.北(打一数学名词)——反比
48.从后面算起(打一数学名词)——倒数
49.小小的房子(打一数学名词)——区间
50.完全合算(打一数学名词)——绝对值
趣味数学题及答案
1、小华的爸爸1分钟可以剪好5只自己的指甲。他在5分钟内可以剪好几只自己的指甲?
2、小华带50元钱去商店买一个价值38元的小汽车,但售货员只找给他2元钱,这是为什么?
3、小军说:“我昨天去钓鱼,钓了一条无尾鱼,两条无头的鱼,三条半截的鱼。你猜我一共钓了几条鱼?”同学们猜猜小军一共钓了几条鱼?
4、6匹马拉着一架大车跑了6里,每匹马跑了多少里?6匹马一共跑了多少里?
5、一只绑在树干上的小狗,贪吃地上的一根骨头,但绳子不够长,差了5厘米。你能教小狗用什么办法抓着骨头呢?
6、王某从甲地去乙地,1分钟后,李某从乙地去甲地。当王某和李某在途中相遇时,哪一位离甲地较远一些?
7、高中趣味数学题1.桌子上原来有12支点燃的蜡烛,先被风吹灭了3根,不久又一阵风吹灭了2根,最后桌子上还剩几根蜡烛呢?
8、一根绳子两个头,三根半绳子有几个头?
9、兄弟共有45元钱,如果老大增加2元钱,老二减少2元钱,老三增加到原来的2倍,老四减少到原来的'1/2,这时候四人的钱同样多,原来各有多少钱?
答案:
1、20只,包括手指甲和脚指甲
2、因为他付给售货员40元,所以只找给他2元;
3、0条,因为他钓的鱼是不存在的; 3、小明钓了一头无尾的鱼,是丰截的,钓了两条无头的也是半截的,共钓了3条半截的鱼。虽然是3条半截的鱼,也是钓了3条鱼。
趣味数学题及答案
1.桌子上原来有12支点燃的蜡烛,先被风吹灭了3根,不久又一阵风吹灭了2根,最后桌子上还剩几根蜡烛呢
解答:5根
2. 兄弟共有45元钱,如果老大增加2元钱,老二减少2元钱,老三增加到原来的2倍,老四减少到原来的1/2,这时候四人的钱同样多,原来各有多少钱?
解:老大8 老二12 老三5 老四20
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1、命题“对任意的 ”的否定是 ( C )
A 不存在 B 存在
C 存在 D 对任意的
2、 的定义域为 , 值域为 则区间 的长度 的最小值为( B )
A.3 B. C.2 D.
3、、等差数列 的通项公式是 ,其前 项和为 ,则数列 的前10项和为( A )
A.75 B.70 C.120 D.100
4、已知A,B,C是平面上不共线上三点,O为 外心,动点P满足
,则P的轨迹定过 的( D )
A 内心 B 垂心 C 重心 D AB边的中点
5、若 是偶函数,则点( )的轨迹方程( B )
6、定义在 上的偶函数 ,满足 ,且 在 上是减函数.下面五个关于 的命题中,命题正确的个数有( C )
① 是周期函数;② 的图像关于 对称;③ 在 上是减函数;
④ 在 上为增函数;⑤ .
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
二、填空题(本大题共10小题,每小题5分,共5分)
7、已知集合A={—1,3,m},B={3,4},若B A,则实数m的值是 4 .
8、在三角形ABC中,若 ,则该三角形的最大内角等于 .
9、已知关于 的函数 .如果 时,其图象恒在 轴的上方,则 的取值范围是 .
10、△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c,设向量 ,若 则角C的大小为
11、若 为 的各位数字之和,如 , ,则 ;记 , ,…, , ,则 11 .
12、若数列{an}的通项公式an= ,记 ,试通过计算 , , 的值,推测出 = .
13、对于函数 ,在使 ≤M成立的所有常数M中,我们把M的最小值称为函数 的“上确界”,则函数 的“上确界”为 2 .
14、函数 在区间 上与直线 只有一个公共点,且截直线 所得的弦长为 ,则满足条件的一组参数 和 的值可以是 .
15、函数 的图象和函数 的图象的交点个数为 3 .
16、某校对文明班的评选设计了 五个方面的多元评价指标,并通过经验公式样 来计算各班的综合得分,S的值越高则评价效果越好,若某班在自测过程中各项指标显示出 ,则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位,而使得S的值增加最多,那么该指标应为 c .(填入 中的某个字母)
三、解答题(本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17(本题满分12分)设命题 函数 是 上的减函数,命题 函数 在 的值域为 .若“ 且 ”为假命题,“ 或 ”为真命题,求 的取值范围.
解:由 得 ………………………………………………3分
,在 上的值域为 得 …………… 7分
且 为假, 或 为真 得 、 中一真一假.
若 真 假得, ……………………………9分
若 假 真得, . ………………………………………………11分
综上, 或 . ………………………………………………12分.
18(本小题满分12分)在 中,已知内角 ,边 .设内角 ,面积为 .
(1) 求函数 的解析式和定义域;
(2) 求 的最大值.
解:(1) 的内角和
………………………1分
……………4分
…………………6分
(2) ……………8分
…………11分
当 即 时,y取得最大值 ………………………12分
19(本小题满分13分)已知函数 的定义域为 ,值域为[5,4];函数 .
(Ⅰ) 求函数g(x)的最小正周期和最大值;
(Ⅱ) 当 , 且g(x) =5时, 求tan x.
解:f(x)=a(1-cos2x)- sin2x+b
=-a(cos2x+ sin2x)+a+b=-2a sin(2x+ )+a+b . ----------------------------2分
∵x∈ ,∴2x+ ,sin(2x+ ) . 显然a=0不合题意.--------3分
(1) 当a>0时,值域为 ,即 -----------------------------5分
(2) 当a<0时,值域为 ,即 6分
(Ⅰ) 当a>0时,g(x)=3sinx4cosx=5sin(x1), ∴T=2, g(x)max=5;
当a<0时,g(x)= 3sinx2cosx= sin(x2),
∴ T=, g(x)max= . 8分
(Ⅱ)由上可知,
当a>0时, 由g(x)=5sin(x1),且tan1= , g(x)max=5,此时x1=2k + (k∈Z).
则x=2k + 1(k∈Z), x∈(0, ),∴tanx=cot 1= . 10分
当a<0时, g(x)max= <5,所以不存在符合题意的x. 12分
综上,tan x=- . ------------------------------------------------------------------------------------13分
20(本题满分13分)已知向量m =(1,1),向量n 与向量m 的夹角为 ,且m•n .
(1)求向量n;
(2)若向量n与向量a = (1,0) 的夹角为 ,向量b =( ),其中A,C是△ABC的内角,且A,B,C依次成等差数列,试求|n+ b|的取值范围.
(1)解:设 ,由 ,得 ----------------------------------------2分
∵向量 与向量 的夹角为 ,
又∵ ∴ ,则 ---------------------4分
解得 或 ∴ 或 ----------6分
(2)解:由向量 与向量 的夹角为 ,可知
由2B=A+C知B= ,A+C= ,0<A< --------------------8分
若 ,则
--------------------10分
∵0<A< , <2A<
∴ , , ----------------12分
∴ ----------------13分
21(本题满分15分)某公司有价值a万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值.假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足:① 与 和 的乘积成正比;②当 , ;③ 其中 为常数,且 .
(1)设 ,求出 的表达式,并求出 的定义域;
(2)求出附加值 的最大值,并求出此时的技术改造投入的 的值
解:(1)设 .
由 , ,得:k=4.
于是, .---- ------3分
解关于x的不等式: ,得0≤x≤ .---- ------5分
∴函数的定义域为 , 为常数, .---- ------7分
(2) .
当 ;---- ------9分
当 上为增函数,故当 .---- ------11分
故 时,投入 时,附加值 最大为 万元;---- ------13分
当 时,投入 时,附加值 最大为 万元---- ------15分
22(本题满分15分)设函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y)
(Ⅰ)求f(0),判断并证明函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)数列{an}满足a1=f(0),且
①求{an}通项公式。
②当a>1时,不等式 对不小于2的正整数恒成立,求x的取值范围。
解:(Ⅰ) 时,f(x)>1
令x=-1,y=0则f(-1)=f(-1)f(0)∵f(-1)>1
∴f(0)=1 …………………………2分
若x>0,则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)故
故x∈R f(x)>0 …………………………………4分
任取x1<x2
故f(x)在R上减函数 …………………………6分
(Ⅱ)①
由f(x)单调性知,an+1=an+2 故{an}等差数列 ………………8分
是递增数列 …………13分
当n≥2时,
…………………14分
而a>1,∴x>1
故x的取值范围(1,+∞) ……………………15分
中国高中数学38个母题指的是国家教育部发布的高中数学课程标准中所提出的38个典型问题,这些问题涵盖了高中数学课程的各个方面,旨在引导学生通过解决实际问题来学习和掌握数学知识和技能。以下是38个母题的列表:
解决实际问题的数学方法
模型的建立和应用
三角函数的应用
不等式的证明和应用
数列的概念和应用
极限的概念和计算
函数的概念和应用
解方程和解不等式
计算概率和统计指标
立体几何的基本概念和计算
向量的概念和应用
解析几何的基本概念和计算
微积分基本定理的应用
矩阵的概念和应用
复数的概念和应用
平面几何的基本概念和计算
迭代法和牛顿法的应用
数学归纳法的应用
趣味数学题和答案(必带答案,不带不采纳)
1、一个人花8块钱买了一只鸡,9块钱卖掉了,然后他觉得不划算,花10块钱又买回来了,11块卖给另外一个人。问他赚了多少?
答案:2元
2、假设有一个池塘,里面有无穷多的水。现有2个空水壶,容积分别为5升和6升。问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。
答案:先用5升壶装满后倒进6升壶里,
在再将5升壶装满向6升壶里到,使6升壶装满为止,此时5升壶里还剩4升水
将6升壶里的水全部倒掉,将5升壶里剩下的4升水倒进6升壶里,此时6升壶里只有4升水
再将5升壶装满,向6升壶里到,使6升壶里装满为止,此时5升壶里就只剩下3升水了
3、一个农夫带着三只兔到集市上去卖,每只兔大概三四千克,但农夫的秤只能称五千克以上,问他该如何称量。
答案:先称3只,再拿下一只,称量后算差。
4、有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆,猴子家离香蕉堆50米,猴子打算把香蕉背回家,
每次最多能背50根,可是猴子嘴馋,每走一米要吃一根香蕉,问猴子最多能背回家几根香
蕉?
答案:25根
先背50根到25米处,这时,吃了25根,还有25根,放下。回头再背剩下的50根,走到25米处时,又吃了25根,还有25根。再拿起地上的25根,一共50根,继续往家走,一共25米,要吃25根,还剩25根到家。
5、一天有个年轻人来到王老板的店里买一件礼物,这件礼物成本是18元,售价是21元。 结果是这个年轻人掏出100元要买这件礼物。
王老板当时没有零钱,用那100元向街坊换了100元的零钱,找给年轻人79元。 但是街坊后来发现那100元是假钞,王老板无奈还了街坊100元。 现在问题是:王老板在这次交易中到底损失了多少钱 ?
答案:97元
6、一个四位数与它的各个位上的数之和是1972,求这个四位数
答案:因为是四位数,和是1972 所以这个四位数的千位上一定是1,因为它不能是0,也不能大于1.
所以这个数就是1xxx。
剩下三个数,即使是1972,9+7+2=18,18+1=19.所以百位上的数只能是9,因为是别的数是不可能得出19xx的。
然后设 个位为数字x,十位为数字y,x、y都为0~9的整数,
则有:1900+10y+x+x+y+10=1972 则有11y+2x=62
x=(62-11y)/2 这样 把0~9的数放到y的位置,就发现 只能是y=4,x=9
所以就是1949
30. 桌子上原来有12支点燃的蜡烛,先被风吹灭了3根,不久又一阵风吹灭了2根,最后桌子上还剩几根蜡烛呢
解答:5根
31. 兄弟共有45元钱,如果老大增加2元钱,老二减少2元钱,老三增加到原来的2倍,老四减少到原来的1/2,这时候四人的钱同样多,原来各有多少钱?
解:老大8 老二12 老三5 老四20
32.一根绳子两个头,三根半绳子有几个头?
解:8个头,(半根绳子也是两个头)
33.一栋住宅楼,爷爷从一楼走到三楼要6分钟,现在要到6楼,要走多少分钟?
答:15分钟
34. 24个人排成6列,要求5个人为一列,你知道应该怎样来排列吗? (一个六边形)
35. 园新买回一批小玩具。如果按每组10个分,则少了2个;如果按每组12个分,则刚好分完,但却少分一组。请你想一想,一共有这批玩具多少个?(这批玩具共48个)
36. 有一本书,兄弟两个都想买。哥哥缺5元,弟弟只缺一分。但是两人合买一本,钱仍然不够。你知道这本书的价格吗?他们又各有多少钱呢? (这本书的价格是5元。哥哥一分也没有,弟弟有4.9元)
37. 有一家里兄妹四个,他们4个人的年龄乘起来正好是14,你知道他们分别是多少岁吗?(当然在这里岁数都是整数。) (14只能分解为2和7,因此四个人的年纪分别为1,1,2,7,其中有一对为双胞胎)
38.1根绳子对折,再对折,再第三次对折,然后从中间剪断,共剪成多少段?
解:9段
39. 五条直线相交,最多能有多少个交点呢?
解:10个交点
40.员(打一数学名词)——圆心
41.如果有5只猫,同时吃5条鱼,需要5分钟时间才吃完。按同样的速度,100只猫同时吃掉100条鱼,需要()分钟时间。
解:5分钟
42.在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨2阶,那么最后剩下1阶,如果你每步跨3阶,那么你最后剩2阶,如果你每步跨5阶,那么最后剩4阶,如果你每步跨6阶,那么最后剩5阶,只有当你每步跨7阶时,最后才正好走完,一阶不剩。
请你算一算,这条阶梯到底有多少阶?
解:119阶
43.司药(打一数学名词)——配方
44.招收演员(打一数学名词)——补角
45.搬来数一数(打一数学名词)——运算
46.你盼着我,我盼着你(打一数学名词)——相等
47.北(打一数学名词)——反比
48.从后面算起(打一数学名词)——倒数
49.小小的房子(打一数学名词)——区间
50.完全合算(打一数学名词)——绝对值
趣味数学题及答案
1、小华的爸爸1分钟可以剪好5只自己的指甲。他在5分钟内可以剪好几只自己的指甲?
2、小华带50元钱去商店买一个价值38元的小汽车,但售货员只找给他2元钱,这是为什么?
3、小军说:“我昨天去钓鱼,钓了一条无尾鱼,两条无头的鱼,三条半截的鱼。你猜我一共钓了几条鱼?”同学们猜猜小军一共钓了几条鱼?
4、6匹马拉着一架大车跑了6里,每匹马跑了多少里?6匹马一共跑了多少里?
5、一只绑在树干上的小狗,贪吃地上的一根骨头,但绳子不够长,差了5厘米。你能教小狗用什么办法抓着骨头呢?
6、王某从甲地去乙地,1分钟后,李某从乙地去甲地。当王某和李某在途中相遇时,哪一位离甲地较远一些?
7、高中趣味数学题1.桌子上原来有12支点燃的蜡烛,先被风吹灭了3根,不久又一阵风吹灭了2根,最后桌子上还剩几根蜡烛呢?
8、一根绳子两个头,三根半绳子有几个头?
9、兄弟共有45元钱,如果老大增加2元钱,老二减少2元钱,老三增加到原来的2倍,老四减少到原来的'1/2,这时候四人的钱同样多,原来各有多少钱?
答案:
1、20只,包括手指甲和脚指甲
2、因为他付给售货员40元,所以只找给他2元;
3、0条,因为他钓的鱼是不存在的; 3、小明钓了一头无尾的鱼,是丰截的,钓了两条无头的也是半截的,共钓了3条半截的鱼。虽然是3条半截的鱼,也是钓了3条鱼。
趣味数学题及答案
1.桌子上原来有12支点燃的蜡烛,先被风吹灭了3根,不久又一阵风吹灭了2根,最后桌子上还剩几根蜡烛呢
解答:5根
2. 兄弟共有45元钱,如果老大增加2元钱,老二减少2元钱,老三增加到原来的2倍,老四减少到原来的1/2,这时候四人的钱同样多,原来各有多少钱?
解:老大8 老二12 老三5 老四20
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1、命题“对任意的 ”的否定是 ( C )
A 不存在 B 存在
C 存在 D 对任意的
2、 的定义域为 , 值域为 则区间 的长度 的最小值为( B )
A.3 B. C.2 D.
3、、等差数列 的通项公式是 ,其前 项和为 ,则数列 的前10项和为( A )
A.75 B.70 C.120 D.100
4、已知A,B,C是平面上不共线上三点,O为 外心,动点P满足
,则P的轨迹定过 的( D )
A 内心 B 垂心 C 重心 D AB边的中点
5、若 是偶函数,则点( )的轨迹方程( B )
6、定义在 上的偶函数 ,满足 ,且 在 上是减函数.下面五个关于 的命题中,命题正确的个数有( C )
① 是周期函数;② 的图像关于 对称;③ 在 上是减函数;
④ 在 上为增函数;⑤ .
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
二、填空题(本大题共10小题,每小题5分,共5分)
7、已知集合A={—1,3,m},B={3,4},若B A,则实数m的值是 4 .
8、在三角形ABC中,若 ,则该三角形的最大内角等于 .
9、已知关于 的函数 .如果 时,其图象恒在 轴的上方,则 的取值范围是 .
10、△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c,设向量 ,若 则角C的大小为
11、若 为 的各位数字之和,如 , ,则 ;记 , ,…, , ,则 11 .
12、若数列{an}的通项公式an= ,记 ,试通过计算 , , 的值,推测出 = .
13、对于函数 ,在使 ≤M成立的所有常数M中,我们把M的最小值称为函数 的“上确界”,则函数 的“上确界”为 2 .
14、函数 在区间 上与直线 只有一个公共点,且截直线 所得的弦长为 ,则满足条件的一组参数 和 的值可以是 .
15、函数 的图象和函数 的图象的交点个数为 3 .
16、某校对文明班的评选设计了 五个方面的多元评价指标,并通过经验公式样 来计算各班的综合得分,S的值越高则评价效果越好,若某班在自测过程中各项指标显示出 ,则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位,而使得S的值增加最多,那么该指标应为 c .(填入 中的某个字母)
三、解答题(本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17(本题满分12分)设命题 函数 是 上的减函数,命题 函数 在 的值域为 .若“ 且 ”为假命题,“ 或 ”为真命题,求 的取值范围.
解:由 得 ………………………………………………3分
,在 上的值域为 得 …………… 7分
且 为假, 或 为真 得 、 中一真一假.
若 真 假得, ……………………………9分
若 假 真得, . ………………………………………………11分
综上, 或 . ………………………………………………12分.
18(本小题满分12分)在 中,已知内角 ,边 .设内角 ,面积为 .
(1) 求函数 的解析式和定义域;
(2) 求 的最大值.
解:(1) 的内角和
………………………1分
……………4分
…………………6分
(2) ……………8分
…………11分
当 即 时,y取得最大值 ………………………12分
19(本小题满分13分)已知函数 的定义域为 ,值域为[5,4];函数 .
(Ⅰ) 求函数g(x)的最小正周期和最大值;
(Ⅱ) 当 , 且g(x) =5时, 求tan x.
解:f(x)=a(1-cos2x)- sin2x+b
=-a(cos2x+ sin2x)+a+b=-2a sin(2x+ )+a+b . ----------------------------2分
∵x∈ ,∴2x+ ,sin(2x+ ) . 显然a=0不合题意.--------3分
(1) 当a>0时,值域为 ,即 -----------------------------5分
(2) 当a<0时,值域为 ,即 6分
(Ⅰ) 当a>0时,g(x)=3sinx4cosx=5sin(x1), ∴T=2, g(x)max=5;
当a<0时,g(x)= 3sinx2cosx= sin(x2),
∴ T=, g(x)max= . 8分
(Ⅱ)由上可知,
当a>0时, 由g(x)=5sin(x1),且tan1= , g(x)max=5,此时x1=2k + (k∈Z).
则x=2k + 1(k∈Z), x∈(0, ),∴tanx=cot 1= . 10分
当a<0时, g(x)max= <5,所以不存在符合题意的x. 12分
综上,tan x=- . ------------------------------------------------------------------------------------13分
20(本题满分13分)已知向量m =(1,1),向量n 与向量m 的夹角为 ,且m•n .
(1)求向量n;
(2)若向量n与向量a = (1,0) 的夹角为 ,向量b =( ),其中A,C是△ABC的内角,且A,B,C依次成等差数列,试求|n+ b|的取值范围.
(1)解:设 ,由 ,得 ----------------------------------------2分
∵向量 与向量 的夹角为 ,
又∵ ∴ ,则 ---------------------4分
解得 或 ∴ 或 ----------6分
(2)解:由向量 与向量 的夹角为 ,可知
由2B=A+C知B= ,A+C= ,0<A< --------------------8分
若 ,则
--------------------10分
∵0<A< , <2A<
∴ , , ----------------12分
∴ ----------------13分
21(本题满分15分)某公司有价值a万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值.假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足:① 与 和 的乘积成正比;②当 , ;③ 其中 为常数,且 .
(1)设 ,求出 的表达式,并求出 的定义域;
(2)求出附加值 的最大值,并求出此时的技术改造投入的 的值
解:(1)设 .
由 , ,得:k=4.
于是, .---- ------3分
解关于x的不等式: ,得0≤x≤ .---- ------5分
∴函数的定义域为 , 为常数, .---- ------7分
(2) .
当 ;---- ------9分
当 上为增函数,故当 .---- ------11分
故 时,投入 时,附加值 最大为 万元;---- ------13分
当 时,投入 时,附加值 最大为 万元---- ------15分
22(本题满分15分)设函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y)
(Ⅰ)求f(0),判断并证明函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)数列{an}满足a1=f(0),且
①求{an}通项公式。
②当a>1时,不等式 对不小于2的正整数恒成立,求x的取值范围。
解:(Ⅰ) 时,f(x)>1
令x=-1,y=0则f(-1)=f(-1)f(0)∵f(-1)>1
∴f(0)=1 …………………………2分
若x>0,则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)故
故x∈R f(x)>0 …………………………………4分
任取x1<x2
故f(x)在R上减函数 …………………………6分
(Ⅱ)①
由f(x)单调性知,an+1=an+2 故{an}等差数列 ………………8分
是递增数列 …………13分
当n≥2时,
…………………14分
而a>1,∴x>1
故x的取值范围(1,+∞) ……………………15分
中国高中数学38个母题指的是国家教育部发布的高中数学课程标准中所提出的38个典型问题,这些问题涵盖了高中数学课程的各个方面,旨在引导学生通过解决实际问题来学习和掌握数学知识和技能。以下是38个母题的列表:
解决实际问题的数学方法
模型的建立和应用
三角函数的应用
不等式的证明和应用
数列的概念和应用
极限的概念和计算
函数的概念和应用
解方程和解不等式
计算概率和统计指标
立体几何的基本概念和计算
向量的概念和应用
解析几何的基本概念和计算
微积分基本定理的应用
矩阵的概念和应用
复数的概念和应用
平面几何的基本概念和计算
迭代法和牛顿法的应用
数学归纳法的应用