2010希望杯数学竞赛试题
第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛
第2试
2010年4月11日 上午9:00至11:00 得分
一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.
1.若a-b的相反数是2b-a,则b=( )
(A)-1. (B)0. (C)1. (D)2.
2.某工厂3月份的产值比2月份增加10%,4月份的产值比3月份减少10%,则( )
(A)4月份的产值与2月份相等. (B)4月份的产值比2月份增加 .
(C)4月份的产值比2月份减少 . (D)4月份的产值比2月份减少 .
3.如图1,△ABC中,∠A、∠B、∠C的外角分别记为α,β,γ,.若α:β:γ,=3:4:5,
则∠A:∠B:∠C=( )
(A)3:2:1. (B)1:2:3. (C)3:4:5. (D)5:4:3.
4.若m= ,则m是( )
(A)奇数,且是完全平方数. (B)偶数,且是完全平方数.
(C)奇数,但不是完全平方数. (D)偶数,但不是完全平方数.
5.有两个两位数的质数,它们的差等于6,且它们平方的个位数字相同,
这样的两位质数的组数是( )
(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.
6.As in figure 2,the area of square ABCD is l69cm2,and the area of
thombus BCPQ is 156cm2. Then the area of the shadow part is ( )
(A) 23cm2. (B) 33cm2. (C) 43cm2. (D) 53cm2.
(英汉词典:square正方形;thombus菱形)
7.要将40kg浓度为16%的盐水变为浓度为20%的盐水,则需蒸发掉水( )
(A) 8kg. (B) 7kg. (C) 6kg. (D) 5kg.
8.如图3,等腰直角△ABC的腰长为2cm.将△ABC绕C点逆时针旋转90。
则线段AB扫过的面积是( )
9.若一个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍,则这个两位数称为“巧数”.则不是“巧数”的两位数的个数是( )
(A)82. (B)84. (C)86. (D)88.
10.如果在一个正方体的每个面内写一个正整数,然后,在每个顶点处再写一个数,该数等于过这个顶点的三个面内的数的乘积,那么当该正方体各个顶点处的数之和是290时,各个面内的数之和等于( )
(A)34. (B)35. (C)36. (D)37.
二、填空题(每小题4分,共40分.)
11.甲、乙两车从A向B行驶,甲比乙晚出发6小时,甲、乙的速度比是4:3.甲出发6小时后,速度提
高1倍,甲、乙两车同时到达B.则甲从A到B共走了 小时.
12.若有理数x,y,岁满足方程 ,则
13.图4是一个六角星,其中
14.加工某种工件,须顺次进行三道工序,工作量的比依次是2:1:4.甲完成1个工件与第二个工件的前两道工序,所用时间为t.已知甲和乙的加工效率比是6:7,则乙完成一个工件,需要的时间是t的____倍.
15. -个直四棱柱的三视图及有关数据如图5所示,它的俯视图是菱形,
则这个直四棱柱的侧面积为
16.有这样一种衡量体重是否正常的算法:一个男生的标准体重(单位:
千克)等于其身高(单位:厘米)减去110.当实称体重在标准体重的
90%和110%之间(舍边界)时,就认为该男生的体重为正常体重,已知
男生甲的身高是161厘米,实称体重是55千克.根据上述算法判定,
甲的体重 正常体重(填“是”或“不是”).
17. If a2 -a+l and az +a -3 are opposite numbers to each other,
and themverse number of a is less than the opposite number of a,
then =
(英汉词典:inverse number倒数;opposite相反的)
18.从长度为1的线段开始,第一次操作将其三等分,并去掉中间的一
段;第二次操作将余下的线段各三等分,并去掉所分线段中间的一段.
此后每次操作都按这个规则进行.图6是最初几次操作的示意图,当
完成第六次操作时,余下的所有线段的长度之和为
19.已知m,n都是正整数,且 是整数.若 的最大值是a,最小值是6,则a+b=
20.从最小的质数算起,若连续n(n是大于1的自然数)个质数的和是完全平方数,则当n最小时,
三、解答题 每题都要写出推算过程.
21.(本题满分10分)
设a= ,证明:a是37的倍数.
22.(本题满分15分)
(1)已知平面内有4条直线a,b,c和d.直线a,b和c相交于一点.直线b,c和d也相交于一点,试确定这4条直线共有多少个交点?并说明你的理由.
(2)作第5条直线e与(1)中的直线d平行,说明:以这5条直线的交点为端点的线段有多少条?
23.(本题满分15分)
轨道AB长16.8米,从起点站A到终点站B,每2.4米设一站点.甲、乙两个机器人同时从A站点出发,到达B站点后,再返回,在A和B两站点之间反复运动.甲、乙运动的速度都是0.8米/秒,甲每到达一个站点就休息1秒钟,而乙从不休息,若甲、乙从A站点出发后2分钟结束运动,问:它们出发后,曾几次同时到达同一站点(包括起点站和终点站)? 去百度搜索一下即可,想要哪一年的都行。
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.函数 在 上的最小值是 ( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解] 当 时, ,因此
,当且仅当 时上式取等号.而此方程有解 ,因此 在 上的最小值为2.
2.设 , ,若 ,则实数 的取值范围为 ( D )
A. B. C. D.
[解] 因 有两个实根
, ,
故 等价于 且 ,即
且 ,
解之得 .
3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 的期望 为 ( B )
A. B. C. D.
[解法一] 依题意知, 的所有可能值为2,4,6.
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有
故 .
[解法二] 依题意知, 的所有可能值为2,4,6.
令 表示甲在第 局比赛中获胜,则 表示乙在第 局比赛中获胜.
由独立性与互不相容性得
故 .
4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为564 cm2,则这三个正方体的体积之和为 ( A )
A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3
C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3
[解] 设这三个正方体的棱长分别为 ,则有 , ,不妨设 ,从而 , .故 . 只能取9,8,7,6.
若 ,则 ,易知 , ,得一组解 .
若 ,则 , .但 , ,从而 或5.若 ,则 无解,若 ,则 无解.此时无解.
若 ,则 ,有唯一解 , .
若 ,则 ,此时 , .故 ,但 ,故 ,此时 无解.
综上,共有两组解 或
体积为 cm3或 cm3.
5.方程组 的有理数解 的个数为 ( B )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
[解] 若 ,则 解得 或
若 ,则由 得 . ①
由 得 . ②
将②代入 得 . ③
由①得 ,代入③化简得 .
易知 无有理数根,故 ,由①得 ,由②得 ,与 矛盾,故该方程组共有两组有理数解 或
6.设 的内角 所对的边 成等比数列,则 的取值范围是
( C )
A. B.
C. D.
[解] 设 的公比为 ,则 ,而
因此,只需求 的取值范围.
因 成等比数列,最大边只能是 或 ,因此 要构成三角形的三边,必需且只需 且 .即有不等式组
解得
从而 ,因此所求的取值范围是 .
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.设 ,其中 为实数, , , ,若 ,则 5 .
[解] 由题意知
由 得 , ,因此 , , .
8.设 的最小值为 ,则 .
[解]
(1) 时, 当 时取最小值 ;
(2) 时, 当 时取最小值1;
(3) 时, 当 时取最小值 .
又 或 时, 的最小值不能为 ,
故 ,解得 , (舍去).
9.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种.
[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用 表示名额.如
表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.
若把每个“ ”与每个“ ”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于 个位置(两端不在内)被2个“|”占领的一种“占位法”.
“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“ ”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|”,故有 种.
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.
综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.
[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为 ,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程
的正整数解的个数,即方程 的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合:
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.
综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.
10.设数列 的前 项和 满足: , ,则通项 = .
[解] ,
即 2
= ,
由此得 2 .
令 , ( ),
有 ,故 ,所以 .
11.设 是定义在 上的函数,若 ,且对任意 ,满足
, ,则 = .
[解法一] 由题设条件知
因此有 ,故
[解法二] 令 ,则
即 ,
故 ,
得 是周期为2的周期函数,
所以 .
12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .
[解] 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 ,作平面 //平面 ,与小球相切于点 ,则小球球心 为正四面体 的中心, ,垂足 为 的中心.
故 ,从而 .
记此时小球与面 的切点为 ,连接 ,则
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况,易知小球在面 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为 ,如答12图2.记正四面体
的棱长为 ,过 作 于 .
因 ,有 ,故小三角形的边长 .
小球与面 不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)
又 , ,所以
由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 .
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13.已知函数 的图像与直线 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为 ,求证:
[证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示,且在 内相切,其切点为 , .
…5分
由于 , ,所以 ,即 . …10分
因此
…15分
. …20分
14.解不等式
[解法一] 由 ,且 在 上为增函数,故原不等式等价于
即 . …5分
分组分解
, …10分
所以 ,
. …15分
所以 ,即 或 .
故原不等式解集为 . …20分
[解法二] 由 ,且 在 上为增函数,故原不等式等价于
. …5分
, …10分
令 ,则不等式为
显然 在 上为增函数,由此上面不等式等价于
, …15分
即 ,解得 ( 舍去),
故原不等式解集为 . …20分
15.如题15图, 是抛物线 上的动点,点 在 轴上,圆 内切于 ,求 面积的最小值.
[解] 设 ,不妨设 .
直线 的方程: ,
化简得 .
又圆心 到 的距离为1,
, …5分
故 ,
易知 ,上式化简得 ,
同理有 . …10分
所以 , ,则
因 是抛物线上的点,有 ,则
, . …15分
所以
当 时,上式取等号,此时 .
因此 的最小值为8. 可以去书店买相关的书或试题看,自己多做练习,多思考,多总结。相关书有《高中希望杯数学竞赛》《高中欧林匹克数学竞赛》等
1、想要将卷子答案去掉打印,利用错题软件就能非常快速还原一张空白的卷子。
2、用涂改液把答题纸填满,并把答题的地方填满。把论文拿到复印机构,交给复印机构的工作人员。复印出来的纸张将是空白的。方法二:把答案粘在纸上。把论文拿到复印机构,交给复印机构的工作人员。
3、方法一:把写满答案的卷子用修改液涂满答案所在的区域。将卷子拿到复印社,交给复印社员工复印。复印出来的卷子就会成为空白的卷子。方法二:将写满答案的卷子在答案出粘上白纸。
4、把答案遮挡掉,然后去复印,这样便是一张没有答案的空白卷。首先插上电源,按下开关,让机器进入预热状态,此时面板会有指示灯显示,并出现等待新号。
5、拍试卷App拍试卷App是一款功能强大的应用程序,它可以将做过的试卷扫描变成空白。例如,当学生错误地填写了答案或需要更改答案时,他们可以使用该应用程序轻松地抹掉笔迹,让试卷变为空白,然后重新填写答案。
6、在APP里进入拍摄界面,直接对已经写过的试卷进行拍摄,从相册导入已经拍摄好的试卷。
我们学好数学要多做练习、上课认真听讲、不会的题要问老师、做作业要当做考试来看待、不要在心理上抵触数学、平时多抽出一些时间来练习数学,只有自己多研究才能学会数学。下面小编为大家带来高二数学期末试题答案解析,希望对您有所帮助!
高二数学期末试题答案解析
一、选择题(每小题5分,共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)
1.下面事件:①连续两次掷一枚硬币,两次都出现正面朝上;②异性电荷,相互吸引;③在标准大气压下,水在100℃结冰,是随机事件的有C
A.②;B.③;C.①;D.②、③
2.“”是“”的A
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3.下列各数中最小的数是D
A.85(9)B.210(6)C.1000(4)D.111111(2)
4.数据a1,a2,a3,…,an的方差为A,则数据2a1,2a2,2a3,…,2an的方差为D
A.A/2B.AC.2A D.4A
5.在长为10cm的线段AB上任取一点P,并以线段AP为边作正方形,这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为B
A.B. C.D.
福建高考数学用全国一卷。
高考数学是高考科目之一,主要考察考生在数学知识、解题思路和运算能力方面的水平。高考数学试卷分为I卷和II卷,分别由不同省份或地区使用,试卷难度也各有不同。这些试卷由相关部门统一制定,试卷内容包括数学基本概念、常用公式和解题方法等。
全国II卷是针对全国性考试所设计的,试题的难度偏于中等;相对于全国I卷来说,全国II卷更加注重基础知识的考查,包括几何、代数、函数等基本知识点,试题形式多样,需要考生有一定的思维能力和创新思维。
自2006年开始,福建高考数学试卷采用全国一卷,这个决策的出发点是希望更好地参照全国试题标准,使福建高考的数学试卷更加公平、公正、公开。高考数学是评价考生智力、文化知识水平和综合素质的重要考试,也是考生走向大学的重要一步。
合理准备高考数学考试,对于考生未来的人生道路具有重要意义。备考高考数学需要从多方面入手,包括对数学基础知识的掌握、解题思路的灵活运用、以及做题技巧的总结等。 2023福建高考用新高考Ⅰ卷考试,满分750分。
2023福建普通高考科目实行“3+1+2”模式,由统一高考科目和普通高中学业水平选择性考试科目组成。统一高考科目为语文、数学、外语(含英语、俄语、日语、法语、德语、西班牙语等6个语种)3门。
2010希望杯数学竞赛试题
第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛
第2试
2010年4月11日 上午9:00至11:00 得分
一、选择题(每小题4分,共40分.)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.
1.若a-b的相反数是2b-a,则b=( )
(A)-1. (B)0. (C)1. (D)2.
2.某工厂3月份的产值比2月份增加10%,4月份的产值比3月份减少10%,则( )
(A)4月份的产值与2月份相等. (B)4月份的产值比2月份增加 .
(C)4月份的产值比2月份减少 . (D)4月份的产值比2月份减少 .
3.如图1,△ABC中,∠A、∠B、∠C的外角分别记为α,β,γ,.若α:β:γ,=3:4:5,
则∠A:∠B:∠C=( )
(A)3:2:1. (B)1:2:3. (C)3:4:5. (D)5:4:3.
4.若m= ,则m是( )
(A)奇数,且是完全平方数. (B)偶数,且是完全平方数.
(C)奇数,但不是完全平方数. (D)偶数,但不是完全平方数.
5.有两个两位数的质数,它们的差等于6,且它们平方的个位数字相同,
这样的两位质数的组数是( )
(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.
6.As in figure 2,the area of square ABCD is l69cm2,and the area of
thombus BCPQ is 156cm2. Then the area of the shadow part is ( )
(A) 23cm2. (B) 33cm2. (C) 43cm2. (D) 53cm2.
(英汉词典:square正方形;thombus菱形)
7.要将40kg浓度为16%的盐水变为浓度为20%的盐水,则需蒸发掉水( )
(A) 8kg. (B) 7kg. (C) 6kg. (D) 5kg.
8.如图3,等腰直角△ABC的腰长为2cm.将△ABC绕C点逆时针旋转90。
则线段AB扫过的面积是( )
9.若一个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍,则这个两位数称为“巧数”.则不是“巧数”的两位数的个数是( )
(A)82. (B)84. (C)86. (D)88.
10.如果在一个正方体的每个面内写一个正整数,然后,在每个顶点处再写一个数,该数等于过这个顶点的三个面内的数的乘积,那么当该正方体各个顶点处的数之和是290时,各个面内的数之和等于( )
(A)34. (B)35. (C)36. (D)37.
二、填空题(每小题4分,共40分.)
11.甲、乙两车从A向B行驶,甲比乙晚出发6小时,甲、乙的速度比是4:3.甲出发6小时后,速度提
高1倍,甲、乙两车同时到达B.则甲从A到B共走了 小时.
12.若有理数x,y,岁满足方程 ,则
13.图4是一个六角星,其中
14.加工某种工件,须顺次进行三道工序,工作量的比依次是2:1:4.甲完成1个工件与第二个工件的前两道工序,所用时间为t.已知甲和乙的加工效率比是6:7,则乙完成一个工件,需要的时间是t的____倍.
15. -个直四棱柱的三视图及有关数据如图5所示,它的俯视图是菱形,
则这个直四棱柱的侧面积为
16.有这样一种衡量体重是否正常的算法:一个男生的标准体重(单位:
千克)等于其身高(单位:厘米)减去110.当实称体重在标准体重的
90%和110%之间(舍边界)时,就认为该男生的体重为正常体重,已知
男生甲的身高是161厘米,实称体重是55千克.根据上述算法判定,
甲的体重 正常体重(填“是”或“不是”).
17. If a2 -a+l and az +a -3 are opposite numbers to each other,
and themverse number of a is less than the opposite number of a,
then =
(英汉词典:inverse number倒数;opposite相反的)
18.从长度为1的线段开始,第一次操作将其三等分,并去掉中间的一
段;第二次操作将余下的线段各三等分,并去掉所分线段中间的一段.
此后每次操作都按这个规则进行.图6是最初几次操作的示意图,当
完成第六次操作时,余下的所有线段的长度之和为
19.已知m,n都是正整数,且 是整数.若 的最大值是a,最小值是6,则a+b=
20.从最小的质数算起,若连续n(n是大于1的自然数)个质数的和是完全平方数,则当n最小时,
三、解答题 每题都要写出推算过程.
21.(本题满分10分)
设a= ,证明:a是37的倍数.
22.(本题满分15分)
(1)已知平面内有4条直线a,b,c和d.直线a,b和c相交于一点.直线b,c和d也相交于一点,试确定这4条直线共有多少个交点?并说明你的理由.
(2)作第5条直线e与(1)中的直线d平行,说明:以这5条直线的交点为端点的线段有多少条?
23.(本题满分15分)
轨道AB长16.8米,从起点站A到终点站B,每2.4米设一站点.甲、乙两个机器人同时从A站点出发,到达B站点后,再返回,在A和B两站点之间反复运动.甲、乙运动的速度都是0.8米/秒,甲每到达一个站点就休息1秒钟,而乙从不休息,若甲、乙从A站点出发后2分钟结束运动,问:它们出发后,曾几次同时到达同一站点(包括起点站和终点站)? 去百度搜索一下即可,想要哪一年的都行。
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.函数 在 上的最小值是 ( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解] 当 时, ,因此
,当且仅当 时上式取等号.而此方程有解 ,因此 在 上的最小值为2.
2.设 , ,若 ,则实数 的取值范围为 ( D )
A. B. C. D.
[解] 因 有两个实根
, ,
故 等价于 且 ,即
且 ,
解之得 .
3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 的期望 为 ( B )
A. B. C. D.
[解法一] 依题意知, 的所有可能值为2,4,6.
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有
故 .
[解法二] 依题意知, 的所有可能值为2,4,6.
令 表示甲在第 局比赛中获胜,则 表示乙在第 局比赛中获胜.
由独立性与互不相容性得
故 .
4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为564 cm2,则这三个正方体的体积之和为 ( A )
A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3
C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3
[解] 设这三个正方体的棱长分别为 ,则有 , ,不妨设 ,从而 , .故 . 只能取9,8,7,6.
若 ,则 ,易知 , ,得一组解 .
若 ,则 , .但 , ,从而 或5.若 ,则 无解,若 ,则 无解.此时无解.
若 ,则 ,有唯一解 , .
若 ,则 ,此时 , .故 ,但 ,故 ,此时 无解.
综上,共有两组解 或
体积为 cm3或 cm3.
5.方程组 的有理数解 的个数为 ( B )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
[解] 若 ,则 解得 或
若 ,则由 得 . ①
由 得 . ②
将②代入 得 . ③
由①得 ,代入③化简得 .
易知 无有理数根,故 ,由①得 ,由②得 ,与 矛盾,故该方程组共有两组有理数解 或
6.设 的内角 所对的边 成等比数列,则 的取值范围是
( C )
A. B.
C. D.
[解] 设 的公比为 ,则 ,而
因此,只需求 的取值范围.
因 成等比数列,最大边只能是 或 ,因此 要构成三角形的三边,必需且只需 且 .即有不等式组
解得
从而 ,因此所求的取值范围是 .
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.设 ,其中 为实数, , , ,若 ,则 5 .
[解] 由题意知
由 得 , ,因此 , , .
8.设 的最小值为 ,则 .
[解]
(1) 时, 当 时取最小值 ;
(2) 时, 当 时取最小值1;
(3) 时, 当 时取最小值 .
又 或 时, 的最小值不能为 ,
故 ,解得 , (舍去).
9.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种.
[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用 表示名额.如
表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.
若把每个“ ”与每个“ ”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于 个位置(两端不在内)被2个“|”占领的一种“占位法”.
“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“ ”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|”,故有 种.
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.
综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.
[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为 ,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程
的正整数解的个数,即方程 的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合:
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.
综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.
10.设数列 的前 项和 满足: , ,则通项 = .
[解] ,
即 2
= ,
由此得 2 .
令 , ( ),
有 ,故 ,所以 .
11.设 是定义在 上的函数,若 ,且对任意 ,满足
, ,则 = .
[解法一] 由题设条件知
因此有 ,故
[解法二] 令 ,则
即 ,
故 ,
得 是周期为2的周期函数,
所以 .
12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .
[解] 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 ,作平面 //平面 ,与小球相切于点 ,则小球球心 为正四面体 的中心, ,垂足 为 的中心.
故 ,从而 .
记此时小球与面 的切点为 ,连接 ,则
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况,易知小球在面 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为 ,如答12图2.记正四面体
的棱长为 ,过 作 于 .
因 ,有 ,故小三角形的边长 .
小球与面 不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)
又 , ,所以
由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 .
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13.已知函数 的图像与直线 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为 ,求证:
[证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示,且在 内相切,其切点为 , .
…5分
由于 , ,所以 ,即 . …10分
因此
…15分
. …20分
14.解不等式
[解法一] 由 ,且 在 上为增函数,故原不等式等价于
即 . …5分
分组分解
, …10分
所以 ,
. …15分
所以 ,即 或 .
故原不等式解集为 . …20分
[解法二] 由 ,且 在 上为增函数,故原不等式等价于
. …5分
, …10分
令 ,则不等式为
显然 在 上为增函数,由此上面不等式等价于
, …15分
即 ,解得 ( 舍去),
故原不等式解集为 . …20分
15.如题15图, 是抛物线 上的动点,点 在 轴上,圆 内切于 ,求 面积的最小值.
[解] 设 ,不妨设 .
直线 的方程: ,
化简得 .
又圆心 到 的距离为1,
, …5分
故 ,
易知 ,上式化简得 ,
同理有 . …10分
所以 , ,则
因 是抛物线上的点,有 ,则
, . …15分
所以
当 时,上式取等号,此时 .
因此 的最小值为8. 可以去书店买相关的书或试题看,自己多做练习,多思考,多总结。相关书有《高中希望杯数学竞赛》《高中欧林匹克数学竞赛》等
1、想要将卷子答案去掉打印,利用错题软件就能非常快速还原一张空白的卷子。
2、用涂改液把答题纸填满,并把答题的地方填满。把论文拿到复印机构,交给复印机构的工作人员。复印出来的纸张将是空白的。方法二:把答案粘在纸上。把论文拿到复印机构,交给复印机构的工作人员。
3、方法一:把写满答案的卷子用修改液涂满答案所在的区域。将卷子拿到复印社,交给复印社员工复印。复印出来的卷子就会成为空白的卷子。方法二:将写满答案的卷子在答案出粘上白纸。
4、把答案遮挡掉,然后去复印,这样便是一张没有答案的空白卷。首先插上电源,按下开关,让机器进入预热状态,此时面板会有指示灯显示,并出现等待新号。
5、拍试卷App拍试卷App是一款功能强大的应用程序,它可以将做过的试卷扫描变成空白。例如,当学生错误地填写了答案或需要更改答案时,他们可以使用该应用程序轻松地抹掉笔迹,让试卷变为空白,然后重新填写答案。
6、在APP里进入拍摄界面,直接对已经写过的试卷进行拍摄,从相册导入已经拍摄好的试卷。
我们学好数学要多做练习、上课认真听讲、不会的题要问老师、做作业要当做考试来看待、不要在心理上抵触数学、平时多抽出一些时间来练习数学,只有自己多研究才能学会数学。下面小编为大家带来高二数学期末试题答案解析,希望对您有所帮助!
高二数学期末试题答案解析
一、选择题(每小题5分,共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)
1.下面事件:①连续两次掷一枚硬币,两次都出现正面朝上;②异性电荷,相互吸引;③在标准大气压下,水在100℃结冰,是随机事件的有C
A.②;B.③;C.①;D.②、③
2.“”是“”的A
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3.下列各数中最小的数是D
A.85(9)B.210(6)C.1000(4)D.111111(2)
4.数据a1,a2,a3,…,an的方差为A,则数据2a1,2a2,2a3,…,2an的方差为D
A.A/2B.AC.2A D.4A
5.在长为10cm的线段AB上任取一点P,并以线段AP为边作正方形,这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为B
A.B. C.D.
福建高考数学用全国一卷。
高考数学是高考科目之一,主要考察考生在数学知识、解题思路和运算能力方面的水平。高考数学试卷分为I卷和II卷,分别由不同省份或地区使用,试卷难度也各有不同。这些试卷由相关部门统一制定,试卷内容包括数学基本概念、常用公式和解题方法等。
全国II卷是针对全国性考试所设计的,试题的难度偏于中等;相对于全国I卷来说,全国II卷更加注重基础知识的考查,包括几何、代数、函数等基本知识点,试题形式多样,需要考生有一定的思维能力和创新思维。
自2006年开始,福建高考数学试卷采用全国一卷,这个决策的出发点是希望更好地参照全国试题标准,使福建高考的数学试卷更加公平、公正、公开。高考数学是评价考生智力、文化知识水平和综合素质的重要考试,也是考生走向大学的重要一步。
合理准备高考数学考试,对于考生未来的人生道路具有重要意义。备考高考数学需要从多方面入手,包括对数学基础知识的掌握、解题思路的灵活运用、以及做题技巧的总结等。 2023福建高考用新高考Ⅰ卷考试,满分750分。
2023福建普通高考科目实行“3+1+2”模式,由统一高考科目和普通高中学业水平选择性考试科目组成。统一高考科目为语文、数学、外语(含英语、俄语、日语、法语、德语、西班牙语等6个语种)3门。