例1.已知:△ABC中,∠B=2∠C,AD是高
求证:DC=AB+BD
分析一:用分解法,把DC分成两部分,分别证与AB,BD相等。
可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE,再证EC=AE。
∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠EAC=∠C
辅助线是在DC上取DE=DB,连结AE。
分析二:用合成法,把AB,BD合成一线段,证它与DC相等。
仍然以高AD为轴,作出DC的对称线段DF。
为便于证明,辅助线用延长DB到F,使BF=AB,连结AF,则可得
∠ABD=2∠F=2∠C。
例2.已知:△ABC中,两条高AD和BE相交于H,两条边BC和AC的中垂线相交于O,垂足是M,N
求证:AH=2MO, BH=2NO
证明一:(加倍法――作出OM,ON的2倍)
连结并延长CO到G使OG=CO连结AG,BG
则BG∥OM,BG=2MO,AG∥ON,AG=2NO
∴四边形AGBH是平行四边形,
∴AH=BG=2MO,BH=AG=2NO
证明二:(折半法――作出AH,BH的一半)
分别取AH,BH的中点F,G连结FG,MN
则FG=MN=
AB,FG∥MN∥AB
又∵OM∥AD,
∴∠OMN=∠HGF(两边分别平行的两锐角相等)
同理∠ONM=∠HFG∴△OMN≌△HFG……
例3.
已知:在正方形ABCD中,点E在AB上且CE=AD+AE,F是AB的中点
求证:∠DCE=2∠BCF
分析:本题显然应着重考虑如何发挥CE=AD+AE条件的作用,如果只想用加倍法或折半法,则脱离题设的条件,难以见效。
我们可将AE(它的等量DG)加在正方形边CD的延长线上(如左图)也可以把正方形的边CD(它的等量AG)加在AE的延长线上(如右图)后一种想法更容易些。
辅助线如图,证明(略)自己完成
例4.已知:△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于I,
求证:∠BIC=90
∠A
证明一:(由左到右)
∠BIC=180
-(∠1+∠2)=180
(∠ABC+∠ACB)
=180
(∠ABC+∠ACB+∠A)+
∠A
=90
∠A
证明二:(左边-右边=0)
∠BIC-(90
∠A)
=180
(∠ABC+∠ACB)-90
∠A
=90
(∠ABC+∠ACB+∠A)=……
证明三:(从已知的等式出发,进行恒等变形)
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180
∴∠A=180
-(∠ABC+∠ACB)
∠A=90
(∠ABC+∠ACB)
90
∠A=180
(∠ABC+∠ACB),即∠BIC=90
∠A 你好,我来帮你回答一下吧。图就自己画吧。
(1)PQCM为平行四边形时必须有PM与BC平行,所以由三角形相似比例关系(不知道你学三角形相似了没),AP/AB=AM/AC
可以得到:(10-t)/10=2t/10
于是t=10/3秒。
(2)在一般情形下PQCM是个梯形(PQ平行AC),根据梯形面积公式(上底加下底)乘以高除以2。三角形BPQ是等腰三角形(PQ平行AC),于是,PQ=BP=t,下底CM=10-2t,高要经过三角形相似计算,三角形BPQ相似于三角形BCA,可知道高为8-0.8t(这里就略去一点过程,自己想吧)。这样得到PQCM面积:(t+10-2t)×(8-0.8t)/2=0.4(10-t)^2
(3)三角形ABC面积=0.5*BD*AC=0.5*8*10=40,代入(2)问的公式,得到t=10-8/3×根号10
(4)在垂直平分线上也就是PM=MC。
MC=10-2t,而PM可以在三角形APM中利用余弦定理来求cosA=AD/AB=0.6,所以
PM^2=(10-t)^2+(2t)^2-2*(2t)*(10-t)=MC^2=(10-2t)^2,剩下的就是解方程了
解得t=0或t=20,都不符合要求,所以无解。
1)解:连接OB,
∵AB=OC,OB=OC(都是半径),
∴OB=AB, ∴∠BOA=∠BAO=∠A,
∵OE=OB, ∴∠OEB=∠OBE=∠BOA+∠BAO=2∠A,
∴∠EOD=∠OEB+∠A=2∠A+∠A=3∠A=72°
∴3∠A=72°,
∴∠A=24°.
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[注] 这里反复使用了一个简单结论:三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和
2)证:连接OA,OB,OC,
∵ON⊥AC,OA=OC(都是半径),
∴NA=NC, ∴CN=1/2*CA,
∵OM⊥BC,OB=OC(都是半径),
∴MB=MC, ∴CM=1/2*CB,
∴CN:CA=CM:CM=1:2
∵∠NCM=∠ACB=∠C
∴△NCM∽△ACB(SAS)
∴NM‖AB且NM:AB=1:2
∴NM=1/2*AB
证毕.
3)证:任取直线l与直线外一点P,由几何公理得存在一条直线i使得i⊥l;由于i不平行于l,所以由几何公理得i与l有且仅有一个交点,设此交点为A,则PA⊥l,
假设过P存在异于i的直线j使得j⊥l,易得在直线l上存在点B为j与l的交点,使得PB⊥l;由于i≠j且i与j已经有交点P,所以B≠A(因为若非如此就有i=j,因为由几何公理得两点P,A确定一条直线所以i,j重合).
∵线段AB在l上,且P不在l上,
∴P与AB不共线,
∴可以连接PA,PB使得PAB构成一个三角形,
∵PAB为三角形,
∴∠P+∠A+∠B=180°且∠P,∠A,∠B>0°
∵PA,PB⊥l, ∴PA,PB⊥AB,
∴∠PAB=∠PBA=90°即∠A=∠B=90°,
∴∠P=180°-(∠A+∠B)=0°而这与∠P>0°矛盾,
∴假设不成立,这就证明了过任一直线外一点有且只有一条直线与一只直线垂直.
证毕.
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[注意] 题目条件前提部分为了严谨应加入“同一平面内”,即“同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与一只直线垂直”,因为过3维空间的直线外一点有无数条直线与给定直线垂直,在非欧几何中该命题也不成立.
4)解:∵菱形对角线互相垂直平分,
∴AC⊥BD且OA=OC,OD=OB,
∴AO=1/2*AC=1/2*8=4(cm)且∠AOB=90°,
∴BO=√(AB^2-AO^2)√(5^2-4^2)=3(cm) (由△AOB为Rt三角形得AB^2=AO^2+BO^2),
∵ABCD为菱形,所以ABCD中心O到四边距离都相等,过O作OE⊥AB,
∵面积S(△AOB)=1/2*OE*AB=1/2*AO*BO,
∴OE=AO×BO÷AB=4×3÷5=12/5=2.4>2,
∴2cm位半径的圆与菱形四边都不交.
由前述分析得,以O点为圆心的圆,半径为2.4时,圆O与菱形的四边都相切.
5)解:
(1)设OB=x,则OD=OB=x,故OC=OD+CD=x+1,
∵△OBC为直角三角形,所以OB^2+BC^2=OC^2,
∴√3^2+x^2=(x+1)^2,解得x=1,
∴OB=x=1,故圆O半径长度为1.
(2)DF与圆O相切.证明如下:
∵F为BE的中点, ∴BF=1/2*BE,
∵OB=OA, ∴BO=1/2*BA,
∴OF平行且等于1/2*AC(由SAS得△BOF∽△BAC),
∴∠DOF=∠ODA,∠BOF=∠A,
∵∠ODA=∠A(∵OD=OA),
∴∠DOF=∠BOF,
又∵OD=OB,OF=OF,
∴△DOF≌△BOF(SAS),
∴∠ODF=∠OBF=90°,
∴DF⊥OD,
∴DF与圆O相切
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[注意]千万不能用第(1)小问的结论“OB=1,CO=2,∠C=30°,∠COB=60°”,一方面条件“若BC=根号√3,CD=1”只适用于第(1)小问,一方面第二问结论完全可以不依赖第一问的条件独立推出,是更一般性的结论。
6)证:连接BO,
∵PA,PA为圆O切线,∴∠OAP=∠OBP=90°,
又∵OA=OB,OP=OP,
∴△OAP≌△OBP(SAS),
∴∠AOP=∠BOP,∴∠AOB=∠AOP+∠BOP=2∠BOP,
∴π=∠AOC=∠AOB+∠COB=2∠BOP+∠COB,
又∵π=∠C+∠OBC+∠COB=2∠OBC+∠COB(∵OC=OB易得∠C=∠OBC),
∴2∠BOP+∠COB=2∠OBC+∠COB,
∴∠BOP=∠OBC,
∴OP‖BC.证毕.
7)
(1)解:连接OD,OE,OF,设圆O半径长为r,由O为△ABC内切圆易得OD=OE=OF=r; 已知△ABC周长L=8(cm),面积为S=12(cm^2),
∵L=AB+BC+CA,
S=S(△ABC)=S(△AOB)+S(△BOC)+S(△COA)=1/2*AB*OE+1/2*BC*OF+1/2*CA*OD=1/2*(AB+BC+CA)*r,
∴S=1/2*L*r,
∴r=2S/L=2*12/8=3(cm),
∴圆O半径长为3cm.
(2)S,l,r关系为S=1/2*Lr,证明直接包含在(1)推导过程中.
8)解:
(1)过D做DE⊥AC,
∵AD‖BC, ∴∠ADC+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-∠ADC=180°-120°=60°,
∵AC平分∠BCD, ∴∠DCA=∠BCA=1/2*∠BCD=1/2*60°=30°,
∴∠DAC=180°-(∠ADC+∠DCA)=180°-(120°+30°)=30°,
∴∠DAC=∠DCA,故由DE⊥AC可得DA=DC且∠EDA=∠EDC,
∵∠DCE=∠DCE=30°,∠DEC=90°,∴∠EDC=60°,
∴Rt△DEC中,设DE=x,则有CD=2DE=2x,故AD=CD=2x且AB=DC=2x(∵由AD‖BC易得ABCD为等腰梯形),
∵∠B=∠BCD=60°(∵ABCD为等腰梯形),∠BCA=30°,
∴∠BAC=180°-(∠B+∠BCA)=180°-(60°+30°)=90°,
∴BC=2AB=2*2x=4x,且BC为圆O的直径(OB,OC为半径),
∴ABCD周长为L=AB+BC+CD+DA=2x+4x+2x+2x=10,解得x=1,
∴OB=1/2*AB=1/2*4x=2x=2,
∴圆的半径为2.
(2)连接OA,OD,过O做OE⊥AD,
∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=60°,∴∠BOA=180°-(∠OBA+∠OAB)=60°,同理可得∠COD=60°,
∴∠AOD=180°-(∠BOA+∠COD)=60°,
∴扇形OAD的面积S(扇OAD)=60°/360°πr^2=1/6*πOA^2=1/6*π2^2=(2/3)π,
∵OA=OD且OE⊥AD,∴OE垂直平分AD,故EA=ED=1/2*AD=1,
∵AB=BO=OD=DA=2, ∴ABOD为菱形, ∴∠ODE=∠B=60°,
∵Rt△OED中,∠OED=90°且∠ODE=60°,
∴OE=√3*ED=√3,
∴△OED面积为S(△OAD)=1/2*AD*OE=√3,
∴阴影部分面积为S(扇OAD)-S(△OAD)=(2/3)π-√3.
9)
(1)证:∵AB=BC,∴劣弧AB=劣弧BC,∠BDA=∠BDC(等弧所对圆周角相等,即“等弧对等角”),
∴DB平分∠ADC.证毕.
(2)解:∵∠BCA与∠BDA皆为劣弧AB所对的圆周角,∴∠BCA=∠BDA,
又∵∠BDA=∠BDC(第(1)问结论),∴∠BCE=∠BCA=∠BDA=∠BDC,
又∵∠CBE=∠DBC,∴△CBE∽△DBC(AAA),
∴BE/BC=BC/BD即3/BC=BC/3+6=BC/9,∴BC^2=27,
∴BC=3√3,
∴AB=BC=3√3.
10)解:过O做直线OE⊥AB,此直线交DC于F,由AB‖CD易得OF⊥DC;过B做BG⊥DC交DC延长线于G,
则S△ODC=1/2*DC*FO,S△BDC=1/2*DC*GB,
∴S△ODC:S△BDC=1/2*DC*FO:1/2*DC*GB=FO:GB=1:3,
易得FE‖GB且FE=GB,∴FO:OE=FO:(FE-FO)=FO:(GB-FO)=1:(3-1)=1:2,
过C做CH⊥DB,与上述同理可得
S△ODC:S△BDC=1/2*DO*CH:1/2*DB*CH=DO:DB=1:3,故DO:OB=1:2,
∴易得S△ODC:S△BOC=DO:OB=1:2,
∵AB‖CD,∴∠DCO=∠BAO,∠CDO=∠ABO,又∵∠BOA=∠DOC,
∴△BOA∽△DOC(AAA),
∴DC:AB=DO:OB=1:2,又因为FO:OE=1:2,
∴S△ODC:S△BOA=1/2*DC*FO:1/2*OB*OE=DC*FO:OB*OE=1*1:2*2=1:4,
∴S△ODC:S△ABC=S△DOC:(S△BOA+S△BOC)=1:(4+2)=1:6.
11)解:∵DE‖BC,∴易得△ADE∽△ABC(AAA),故AD:AB=DE:BC,不妨设此比例为k,则BC=kDE
过A做AG⊥BC,AG交DE于F,易得AF⊥DE且AG:AF=AD:AB=k,故AG=kAF,
∴S△ADE:S(梯形DBCE)=S△ADE:(S△ABC-S△ADE)=1/2*DE*AF:(1/2*BC*AG-1/2*DE*AF)=1/2*DE*AF:(1/2*kDE*kAF-1/2*DE*AF)=DE*AF:(k^2-1)DE*AF=1:k^2-1=1:1,
∴k^2-1=1,故k=√2,
∴AD:AB=1:√2,
∴AD:DB=1:√2-1即DB=(√2-1)AB.
12)解:过F做直线l⊥DC交DC于G,交BE于H(FG⊥DC);由于AB‖DC(∵ABCD为平行四边形)故FH⊥BE,
∵BE与AB共线且AB‖DC,∴BE‖DC,由此易得△FDC∽△FEB(AAA),同理可得Rt△FGC∽Rt△FHB,
∴BE:CD=FB:FC=FH:FG,
∵BE=1/4*AB,AB=CD,
∴S△FDC:S△FEB=1/2*CD*FG:1/2*BE*FH=CD*FG:BE*FH=4BE*4FH:BE*FH=4^2:1=16:1;
同理可得△EFB∽△EDA且S△EDA:S△EFB=(1+4)^2=25:1,
∴S梯形FDAB:S△EFB=(S△EDA-S△EFB):S△EFB=(25S△EFB-S△EFB):S△EFB=24:1,
∴S平行四边形ABCD:S△EFB=(S△FDC+S梯形FDAB):S△EFB=(16S△EFB+24S△EFB):S△EFB=40:1
∴S△EFB=1/40*S平行四边形ABCD=1/40*2004=2004/40=50.1(cm^2)
∴△BEF的面积为50.1cm^2.
13)解:由于n边形内角和为(n-2)180°,所以正n边形每个内角为(n-2)180°/n,
∴此时n=6,∠BCD=∠EDC=(6-2)180°/6=3/2*180°=120°,
∵CB=CD,DE=DC(正六边形),∴∠CBD=∠CDB,∠DEC=∠DCE,
∴∠CBD=∠CDB=1/2(180°-120°)=30°,同理可得∠DEC=∠DCE=30°,
∴∠GCD=∠DCE=30°,∠GDC=∠CDB=30°,
∴∠CGD=180°-(∠GCD+∠GDC)=120°,
∴∠BGC=180°-∠CGD=60°
-----------------------------------------------------------
[附] 给个n边形内角和为(n-2)180°的证明.
Pf:∵n边形其中一顶点与其他顶点的连线将n边形分割为n-2个三角形,
∴n边形内角和等于n-2个三角形的内角和之和,
∴n边形内角和=(n-2)180°.
证毕.
14)CE‖FD.证明如下:
连接AB,则∠ECA=∠ABE(同样为圆O1的劣弧EA所对圆周角),∠ABF=∠ADF(同样为圆O2的劣弧FA所对圆周角),
∵E,F共线,∴∠ABE=∠ABF,∴∠ECA=∠ADF,
设CD与EF交于点G,则∠ECG=∠ECA=∠ADF=∠GDF,
∴CE‖FD. 证毕. 1 连接OB 则OB=OC
∵OC=AB,OC=OB
∴OB=AB ∴∠BOA=∠A
∴∠EBO=∠BOA+∠A=2∠A
∵OE=OB
∴∠OEB=∠EBO=2∠A
在△OEA中,∠EOD=∠OEB+∠A=2∠A+∠A=3∠A=72°
∴∠A=24°
2 ∵OM⊥BC,ON⊥AC
∴MC=1/2BC,NC=1/2AC
即MC/BC=NC/AC=1/2
∵∠C为公共角
∴△MNC∽△BAC
∴MN/AB=1/2
即MN=1/2AB
3 证明:过点P作PA、PB,假设PA、PB都和直线L垂直。
那么在△PAB中,角PAB+角PBA=90°+90°=180°,角APB=0°,如果两边的夹角成0°,两边就重和了,所以PA和PB就重合成一条线了,即:过点P只能有一条直线和L垂直。
4 ∵在◇ABCD中,AC,BD相交于点O
∴AC⊥BD,AC,BD互相平分
∵AC=8,
∴OC=4
通过面积求得在Rt△ODC中,DC边上的高为12/5
∴当半径为12/5时,圆O与菱形的四边都相切
∵12/5>2
∴当半径为2时,圆与菱形四边的位置关系 相离
5 (1)在Rt△BOC中,BC=√3,DC=1
设OD=OB=x
则(√3)²+1²=(1+x)²
x=1
即半径为1
(2)连接BD,则∠BDA=∠EDB=90°
∵在Rt△BOC中,CD=DO=1
∴BD=CD=DO=1
∵在Rt△BOC中,OB=1,CO=2
∴∠C=30°,∠COB=60°
∵BD=DO
∴△BDO为等边三角形
∴∠ODB=∠OBD
∵∠EDB=90°,F为BE中点
在Rt△DEB中,DF=BF=EF
∴∠FDB=∠FBD
∵∠ODB=∠OBD
∴∠FDB+∠ODB=∠FBD+∠OBD
即∠FDO=∠FBO
∵∠FBO=90°
∴∠FDO=90°
又∵OD为半径
∴DF与圆O相切
6 连接BO
△PAO≌△PBO(SSS)
∴∠AOP=∠BOP=1/2∠AOB
∵∠ACB=1/2∠AOB
∴∠BOP=∠ACB
∵OC=OB
∴∠ACB=∠OBC
∴∠BOP=∠OBC
∴OP‖BC
7 (1)连接AO,BO,CO,EO,DO,FO
∵ 圆O为三角形ABC的内切圆,且与AC,AB,BC分别相切于点D,E,F
∴OE,OD,OF分别为△ABO,△ACO,△BCO的高,OE=OD=OF
则S△ABO=1/2*AB*EO
S△ACO=1/2*AC*OD
S△BCO=1/2*BC*OF
∴S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO=1/2*OE(AB+AC+BC)=12
∵AB+BC+AC=8
∴OE=3
(2)S=1/2*r*l
证明过程见(1) 只是把具体数字换成字母即可
关键一步的体现在于S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO=1/2*OE(AB+AC+BC)=12 模仿它写
一、倍分关系1、 已知甲 数是乙数的3倍多12,甲乙两数的和是60,求乙数。2、 已知甲数是乙数的 少5,甲数比乙数大65,求乙数。3、某厂今年的产值是去年产值的3倍少25万,今年和去年产值总和是75万,求今年该厂的产值。二、百分比问题:1、 某储户将12000元人民币存入银行一年,取出时共得到人民币12240元,求该储户所存储种的利率。2、 某商品降价12%后的售价为176元,求该商品的原价。3、 受季节影响,一个月内,某商品涨价10%后有下跌了10%,现在售价297元,求该商品原价。三、物资分配:1、 一筐梨,分散后小箱装,用去8个箱子,还剩8kg未能装下;用9个箱子,则最后一个箱子还可以装4kg,求这筐梨的质量。2、 某校春游,若包租相同的大巴13辆,那么就有14人没有座位;如果多包租1辆,那么就多了26个空位,问,春游的总人数是多少?四、比例问题:1、 某一时期,日元与人民币的比价为25.2:1,那么日元50万,可以兑换人民币多少元?2、 图纸上某零件的长度为32cm,它的实际长度是4cm,那么量得该图纸上另一个零件长度为12cm,求这个零件的实际长度。3、 某人将2600元工资作了打算,购书费用、休闲娱乐费用、家庭开支、存款比为1:3:5:4,请问此人打算休闲娱乐花去多少元?五、调配问题:1、 一车间与二车间总人数为150人,将一车间的15名工人调动到二车间,两车间人数相等,求二车间人数。2、 某厂甲车间有工人32人,乙车间有62人,现在从厂外有招聘新工人98名分配到两个车间,问应该如何分配才能使二车间的人数是一车间人数的3倍。六、数字问题:1、三个连续偶数的和是360,求这三个偶数。2、一个两位数个位数字与十位数字的和为10,如果将个位数字与十位数字交换位置,得到的新的两位数字比原来的两位数大18,求原来的两位数。3、 一个五位数,如果将第一位上的数移动到最后一位得到一个新的五位数(例如:此变换可以由4321得到3214),新的五位数比原来的数小11106,求原来的五位数。七、几何问题:1、 将棱长为20cm的正方体铁块锻造成一个长为100cm,宽为5cm的长方体铁块,求长方体铁块的高度。2、 将棱长为20cm的正方体铁块没入盛水量筒中,已知量筒底面积为12cm2,问量筒中水面升高了多少cm?应用题训练(二) 一、倍分关系1、 已知甲数是乙数的3倍多12,甲乙两数的和是60,求乙数。2、 已知甲数是乙数的 少5,甲数比乙数大65,求乙数。3、某厂今年的产值是去年产值的3倍少25万,今年和去年产值总和是75万,求今年该厂的产值。二、百分比问题:1、 某储户将12000元人民币存入银行一年,取出时共得到人民币12240元,求该储户所存储种的利率。2、 某商品降价12%后的售价为176元,求该商品的原价。3、 受季节影响,一个月内,某商品涨价10%后有下跌了10%,现在售价297元,求该商品原价。三、物资分配:1、 一筐梨,分散后小箱装,用去8个箱子,还剩8kg未能装下;用9个箱子,则最后一个箱子还可以装4kg,求这筐梨的质量。2、 某校春游,若包租相同的大巴13辆,那么就有14人没有座位;如果多包租1辆,那么就多了26个空位,问,春游的总人数是多少?四、比例问题:1、 某一时期,日元与人民币的比价为25.2:1,那么日元50万,可以兑换人民币多少元?2、 图纸上某零件的长度为32cm,它的实际长度是4cm,那么量得该图纸上另一个零件长度为12cm,求这个零件的实际长度。3、 某人将2600元工资作了打算,购书费用、休闲娱乐费用、家庭开支、存款比为1:3:5:4,请问此人打算休闲娱乐花去多少元?五、调配问题:1、 一车间与二车间总人数为150人,将一车间的15名工人调动到二车间,两车间人数相等,求二车间人数。2、 某厂甲车间有工人32人,乙车间有62人,现在从厂外有招聘新工人98名分配到两个车间,问应该如何分配才能使二车间的人数是一车间人数的3倍。六、数字问题:1、三个连续偶数的和是360,求这三个偶数。2、一个两位数个位数字与十位数字的和为10,如果将个位数字与十位数字交换位置,得到的新的两位数字比原来的两位数大18,求原来的两位数。3、 一个五位数,如果将第一位上的数移动到最后一位得到一个新的五位数(例如:此变换可以由4321得到3214),新的五位数比原来的数小11106,求原来的五位数。七、几何问题:1、 将棱长为20cm的正方体铁块锻造成一个长为100cm,宽为5cm的长方体铁块,求长方体铁块的高度。2、 将棱长为20cm的正方体铁块没入盛水量筒中,已知量筒底面积为12cm2,问量筒中水面升高了多少cm? 养殖场有4万只鸡,假设有一只鸡得了病,如果不采取任何措施,那么第二天将新增加病鸡10只,到第三天又将新增加病鸡100只,以后每天新增病鸡依次类推,请问到第四天一共有多少只鸡得了病?到第几天,所有的鸡都会得病?
1、甲、乙、丙三种货物共有167吨,甲种货物比乙种货物的2倍少5吨,丙种货物比甲种货物的 多3吨,求甲、乙、丙三种货物各多少吨?
2、有蔬菜地975公顷,种植青菜、西红柿和芹菜,其中青菜和西红柿的面积比是3︰2,种西红柿和芹菜的面积比是5︰7,三种蔬菜各种的面积是多少公顷?
3、甲、乙、丙三村集资140万元办学,经协商甲、乙、丙三村的投资之比是5:2:3.问他们应各投资多少万元?
4、建筑工人在施工中,使用一中混凝土,是由水、水泥、黄沙、碎石搅拌而成的,这四种原料的重量的比是0.7:1:2:4.7,搅拌这种混凝土2100千克,分别需要水、水泥、黄沙、碎石多少千克?
5、小名出去旅游四天,已知四天日期之和为65,求这四天分别是哪几日?
6、小华在日历上任意找出一个数,发现它连同上、下、左、右的共5个数的和为85,请求出小华找的数.
7日历上同一竖列上3日,日期之和为75,第一个日期是几号?
用 方 程 解 决 问 题(2)
---------调配问题
1、x05甲车队有15辆汽车,乙车队有28辆汽车,现调来10辆汽车分给两个车队,使甲车队车数比乙车队车数的一半多2辆,应分配到甲乙两车队各多少辆车?
2、x05某班女生人数比男生的 还少2人,如果女生增加3人,男生减少3人,那么女生人数等于男生人数的 ,那问男、女生各多少人?
3、x05某车间有工人85人,平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10人,又知二个大齿轮和三个小齿轮配套一套,问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套?
4、x05某同学做数学题,如果每小时做5题,就可以在预定时间完成,当他做完10题后,解题效率提高了60%,因而不但提前3小时完成,而还多做了6道,问原计划做几题?几小时完成?
5、x05小丽在水果店花18元,买了苹果和橘子共6千克,已知苹果每千克3.2元,橘子每千克2.6元,小丽买了苹果和橘子各多少千克?
6、x05甲仓库有煤200吨,乙仓库有煤80吨,如果甲仓库每天运出15吨,乙仓库每天运进25吨,问多少天后两仓库存煤相等?
7、x05两个水池共贮有水50吨,甲池用去水5吨,乙池注进水8吨后,这时甲池的水比乙池的水少3吨,甲、乙水池原来各有水多少吨?
8、x05某队有55人,每人每天平均挖土2.5方或运土3方,为合理安排劳力,使挖出的土及时运走,应如何分配挖土和运土人数?
用 方 程 解 决 问 题(3)
---------盈亏问题工作量与折扣问题
1.x05用化肥若干千克给一块麦田施肥,每亩用6千克,还差17千克;每亩用5千克,还多3千克,这块麦田有多少亩?,10,
【 #初中奥数# 导语】奥数能够有效地培养学生用数学观点看待和处理实际问题的能力,提高学生用数学语言和模型解决实际问题的意识和能力,提高学生揭示实际问题中隐含的数学概念及其关系的能力等等。使学生能够在创造性思维过程中,看到数学的实际作用,感受到数学的魅力,增强学生对数学美的感受力。以下是 为您整理的相关资料,希望对您有所帮助。
【篇一】
1、羊跑5步的时间马跑3步,马跑4步的距离羊跑7步,现在羊已跑出30米,马开始追它。问:羊再跑多远,马可以追上它?
2、甲乙辆车同时从ab两地相对开出,几小时后再距中点40千米处相遇?已知,甲车行完全程要8小时,乙车行完全程要10小时,求ab两地相距多少千米?
3、在一个600米的环形跑道上,兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步,两人每隔12分钟相遇一次,若两个人速度不变,还是在原来出发点同时出发,哥哥改为按逆时针方向跑,则两人每隔4分钟相遇一次,两人跑一圈各要多少分钟?
4、慢车车长125米,车速每秒行17米,快车车长140米,车速每秒行22米,慢车在前面行驶,快车从后面追上来,那么,快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间?
1、解:
根据“马跑4步的距离羊跑7步”,可以设马每步长为7x米,则羊每步长为4x米。
根据“羊跑5步的时间马跑3步”,可知同一时间马跑3*7x米=21x米,则羊跑5*4x=20米。
可以得出马与羊的速度比是21x:20x=21:20
根据“现在羊已跑出30米”,可以知道羊与马相差的路程是30米,他们相差的份数是21-20=1,现在求马的21份是多少路程,就是30÷(21-20)×21=630米
2、答案720千米。
由“甲车行完全程要8小时,乙车行完全程要10小时”可知,相遇时甲行了10份,乙行了8份(总路程为18份),两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇,说明两车的路程差是(40+40)千米。所以算式是(40+40)÷(10-8)×(10+8)=720千米。
3、答案为:两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解:600÷12=50,表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150,表示哥哥、弟弟的速度和
(50+150)÷2=100,表示较快的速度,方法是求和差问题中的较大数
(150-50)/2=50,表示较慢的速度,方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟,表示跑的快者用的时间
600/50=12分钟,表示跑得慢者用的时间
4、答案为:53秒
算式是(140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解:“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点,因此追及的路程应该为两个车长的和。
【篇二】
1、在300米长的环形跑道上,甲乙两个人同时同向并排起跑,甲平均速度是每秒5米,乙平均速度是每秒4.4米,两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米?
2、一个人在铁道边,听见远处传来的火车汽笛声后,在经过57秒火车经过她前面,已知火车鸣笛时离他1360米,(轨道是直的),声音每秒传340米,求火车的速度。(得出保留整数)
3、猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔,马上紧追上去,猎犬的步子大,它跑5步的路程,兔子要跑9步,但是兔子的动作快,猎犬跑2步的时间,兔子却能跑3步,问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
4、AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样,乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?
1、答案为:100米
300÷(5-4.4)=500秒,表示追及时间
5×500=2500米,表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300=8圈……100米,表示甲追及总路程为8圈还多100米,就是在原来起跑线的前方100米处相遇。
2、答案为:22米/秒
算式:1360÷(1360÷340+57)≈22米/秒
关键理解:人在听到声音后57秒才车到,说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360÷340=4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57=61秒。
3、正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解:由“猎犬跑5步的路程,兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米,则兔子每步5/9米。由“猎犬跑2步的时间,兔子却能跑3步”可知同一时间,猎犬跑2a米,兔子可跑5/9a*3=5/3a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a:5/3a=6:5,也就是说当猎犬跑60米时候,兔子跑50米,本来相差的10米刚好追完
4、答案:18分钟
解:设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=1/72y=1/90
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
【篇三】
1、甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶,各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米?
2、一船以同样速度往返于两地之间,它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米,求两地间的距离?
3、快车和慢车同时从甲乙两地相对开出,快车每小时行33千米,相遇是已行了全程的七分之四,已知慢车行完全程需要8小时,求甲乙两地的路程。
4、小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千米?
1、答案是300千米。
解:通过画线段图可知,两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程,从开始到第二次相遇,一共又行了3个AB的路程,可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3=360千米,从线段图可以看出,甲一共走了全程的(1+1/5)。
因此360÷(1+1/5)=300千米
从A地到B地,甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时,现在甲乙分别AB两地同时出发相向而行,相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地,A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点之间有()千米
2、解:(1/6-1/8)÷2=1/48表示水速的分率
2÷1/48=96千米表示总路程
3、解:相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4:3
时间比为3:4
所以快车行全程的时间为8/4*3=6小时
6*33=198千米
4、解:把路程看成1,得到时间系数
去时时间系数:1/3÷12+2/3÷30
返回时间系数:3/5÷12+2/5÷30
两者之差:(3/5÷12+2/5÷30)-(1/3÷12+2/3÷30)=1/75相当于1/2小时
去时时间:1/2×(1/3÷12)÷1/75和1/2×(2/3÷30)1/75
路程:12×〔1/2×(1/3÷12)÷1/75〕+30×〔1/2×(2/3÷30)1/75〕=37.5(千米)
例1.已知:△ABC中,∠B=2∠C,AD是高
求证:DC=AB+BD
分析一:用分解法,把DC分成两部分,分别证与AB,BD相等。
可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE,再证EC=AE。
∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠EAC=∠C
辅助线是在DC上取DE=DB,连结AE。
分析二:用合成法,把AB,BD合成一线段,证它与DC相等。
仍然以高AD为轴,作出DC的对称线段DF。
为便于证明,辅助线用延长DB到F,使BF=AB,连结AF,则可得
∠ABD=2∠F=2∠C。
例2.已知:△ABC中,两条高AD和BE相交于H,两条边BC和AC的中垂线相交于O,垂足是M,N
求证:AH=2MO, BH=2NO
证明一:(加倍法――作出OM,ON的2倍)
连结并延长CO到G使OG=CO连结AG,BG
则BG∥OM,BG=2MO,AG∥ON,AG=2NO
∴四边形AGBH是平行四边形,
∴AH=BG=2MO,BH=AG=2NO
证明二:(折半法――作出AH,BH的一半)
分别取AH,BH的中点F,G连结FG,MN
则FG=MN=
AB,FG∥MN∥AB
又∵OM∥AD,
∴∠OMN=∠HGF(两边分别平行的两锐角相等)
同理∠ONM=∠HFG∴△OMN≌△HFG……
例3.
已知:在正方形ABCD中,点E在AB上且CE=AD+AE,F是AB的中点
求证:∠DCE=2∠BCF
分析:本题显然应着重考虑如何发挥CE=AD+AE条件的作用,如果只想用加倍法或折半法,则脱离题设的条件,难以见效。
我们可将AE(它的等量DG)加在正方形边CD的延长线上(如左图)也可以把正方形的边CD(它的等量AG)加在AE的延长线上(如右图)后一种想法更容易些。
辅助线如图,证明(略)自己完成
例4.已知:△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于I,
求证:∠BIC=90
∠A
证明一:(由左到右)
∠BIC=180
-(∠1+∠2)=180
(∠ABC+∠ACB)
=180
(∠ABC+∠ACB+∠A)+
∠A
=90
∠A
证明二:(左边-右边=0)
∠BIC-(90
∠A)
=180
(∠ABC+∠ACB)-90
∠A
=90
(∠ABC+∠ACB+∠A)=……
证明三:(从已知的等式出发,进行恒等变形)
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180
∴∠A=180
-(∠ABC+∠ACB)
∠A=90
(∠ABC+∠ACB)
90
∠A=180
(∠ABC+∠ACB),即∠BIC=90
∠A 你好,我来帮你回答一下吧。图就自己画吧。
(1)PQCM为平行四边形时必须有PM与BC平行,所以由三角形相似比例关系(不知道你学三角形相似了没),AP/AB=AM/AC
可以得到:(10-t)/10=2t/10
于是t=10/3秒。
(2)在一般情形下PQCM是个梯形(PQ平行AC),根据梯形面积公式(上底加下底)乘以高除以2。三角形BPQ是等腰三角形(PQ平行AC),于是,PQ=BP=t,下底CM=10-2t,高要经过三角形相似计算,三角形BPQ相似于三角形BCA,可知道高为8-0.8t(这里就略去一点过程,自己想吧)。这样得到PQCM面积:(t+10-2t)×(8-0.8t)/2=0.4(10-t)^2
(3)三角形ABC面积=0.5*BD*AC=0.5*8*10=40,代入(2)问的公式,得到t=10-8/3×根号10
(4)在垂直平分线上也就是PM=MC。
MC=10-2t,而PM可以在三角形APM中利用余弦定理来求cosA=AD/AB=0.6,所以
PM^2=(10-t)^2+(2t)^2-2*(2t)*(10-t)=MC^2=(10-2t)^2,剩下的就是解方程了
解得t=0或t=20,都不符合要求,所以无解。
1)解:连接OB,
∵AB=OC,OB=OC(都是半径),
∴OB=AB, ∴∠BOA=∠BAO=∠A,
∵OE=OB, ∴∠OEB=∠OBE=∠BOA+∠BAO=2∠A,
∴∠EOD=∠OEB+∠A=2∠A+∠A=3∠A=72°
∴3∠A=72°,
∴∠A=24°.
---------------------------------------------------------------
[注] 这里反复使用了一个简单结论:三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和
2)证:连接OA,OB,OC,
∵ON⊥AC,OA=OC(都是半径),
∴NA=NC, ∴CN=1/2*CA,
∵OM⊥BC,OB=OC(都是半径),
∴MB=MC, ∴CM=1/2*CB,
∴CN:CA=CM:CM=1:2
∵∠NCM=∠ACB=∠C
∴△NCM∽△ACB(SAS)
∴NM‖AB且NM:AB=1:2
∴NM=1/2*AB
证毕.
3)证:任取直线l与直线外一点P,由几何公理得存在一条直线i使得i⊥l;由于i不平行于l,所以由几何公理得i与l有且仅有一个交点,设此交点为A,则PA⊥l,
假设过P存在异于i的直线j使得j⊥l,易得在直线l上存在点B为j与l的交点,使得PB⊥l;由于i≠j且i与j已经有交点P,所以B≠A(因为若非如此就有i=j,因为由几何公理得两点P,A确定一条直线所以i,j重合).
∵线段AB在l上,且P不在l上,
∴P与AB不共线,
∴可以连接PA,PB使得PAB构成一个三角形,
∵PAB为三角形,
∴∠P+∠A+∠B=180°且∠P,∠A,∠B>0°
∵PA,PB⊥l, ∴PA,PB⊥AB,
∴∠PAB=∠PBA=90°即∠A=∠B=90°,
∴∠P=180°-(∠A+∠B)=0°而这与∠P>0°矛盾,
∴假设不成立,这就证明了过任一直线外一点有且只有一条直线与一只直线垂直.
证毕.
---------------------------------------------------------------
[注意] 题目条件前提部分为了严谨应加入“同一平面内”,即“同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与一只直线垂直”,因为过3维空间的直线外一点有无数条直线与给定直线垂直,在非欧几何中该命题也不成立.
4)解:∵菱形对角线互相垂直平分,
∴AC⊥BD且OA=OC,OD=OB,
∴AO=1/2*AC=1/2*8=4(cm)且∠AOB=90°,
∴BO=√(AB^2-AO^2)√(5^2-4^2)=3(cm) (由△AOB为Rt三角形得AB^2=AO^2+BO^2),
∵ABCD为菱形,所以ABCD中心O到四边距离都相等,过O作OE⊥AB,
∵面积S(△AOB)=1/2*OE*AB=1/2*AO*BO,
∴OE=AO×BO÷AB=4×3÷5=12/5=2.4>2,
∴2cm位半径的圆与菱形四边都不交.
由前述分析得,以O点为圆心的圆,半径为2.4时,圆O与菱形的四边都相切.
5)解:
(1)设OB=x,则OD=OB=x,故OC=OD+CD=x+1,
∵△OBC为直角三角形,所以OB^2+BC^2=OC^2,
∴√3^2+x^2=(x+1)^2,解得x=1,
∴OB=x=1,故圆O半径长度为1.
(2)DF与圆O相切.证明如下:
∵F为BE的中点, ∴BF=1/2*BE,
∵OB=OA, ∴BO=1/2*BA,
∴OF平行且等于1/2*AC(由SAS得△BOF∽△BAC),
∴∠DOF=∠ODA,∠BOF=∠A,
∵∠ODA=∠A(∵OD=OA),
∴∠DOF=∠BOF,
又∵OD=OB,OF=OF,
∴△DOF≌△BOF(SAS),
∴∠ODF=∠OBF=90°,
∴DF⊥OD,
∴DF与圆O相切
---------------------------------------------------------------
[注意]千万不能用第(1)小问的结论“OB=1,CO=2,∠C=30°,∠COB=60°”,一方面条件“若BC=根号√3,CD=1”只适用于第(1)小问,一方面第二问结论完全可以不依赖第一问的条件独立推出,是更一般性的结论。
6)证:连接BO,
∵PA,PA为圆O切线,∴∠OAP=∠OBP=90°,
又∵OA=OB,OP=OP,
∴△OAP≌△OBP(SAS),
∴∠AOP=∠BOP,∴∠AOB=∠AOP+∠BOP=2∠BOP,
∴π=∠AOC=∠AOB+∠COB=2∠BOP+∠COB,
又∵π=∠C+∠OBC+∠COB=2∠OBC+∠COB(∵OC=OB易得∠C=∠OBC),
∴2∠BOP+∠COB=2∠OBC+∠COB,
∴∠BOP=∠OBC,
∴OP‖BC.证毕.
7)
(1)解:连接OD,OE,OF,设圆O半径长为r,由O为△ABC内切圆易得OD=OE=OF=r; 已知△ABC周长L=8(cm),面积为S=12(cm^2),
∵L=AB+BC+CA,
S=S(△ABC)=S(△AOB)+S(△BOC)+S(△COA)=1/2*AB*OE+1/2*BC*OF+1/2*CA*OD=1/2*(AB+BC+CA)*r,
∴S=1/2*L*r,
∴r=2S/L=2*12/8=3(cm),
∴圆O半径长为3cm.
(2)S,l,r关系为S=1/2*Lr,证明直接包含在(1)推导过程中.
8)解:
(1)过D做DE⊥AC,
∵AD‖BC, ∴∠ADC+∠BCD=180°,∴∠BCD=180°-∠ADC=180°-120°=60°,
∵AC平分∠BCD, ∴∠DCA=∠BCA=1/2*∠BCD=1/2*60°=30°,
∴∠DAC=180°-(∠ADC+∠DCA)=180°-(120°+30°)=30°,
∴∠DAC=∠DCA,故由DE⊥AC可得DA=DC且∠EDA=∠EDC,
∵∠DCE=∠DCE=30°,∠DEC=90°,∴∠EDC=60°,
∴Rt△DEC中,设DE=x,则有CD=2DE=2x,故AD=CD=2x且AB=DC=2x(∵由AD‖BC易得ABCD为等腰梯形),
∵∠B=∠BCD=60°(∵ABCD为等腰梯形),∠BCA=30°,
∴∠BAC=180°-(∠B+∠BCA)=180°-(60°+30°)=90°,
∴BC=2AB=2*2x=4x,且BC为圆O的直径(OB,OC为半径),
∴ABCD周长为L=AB+BC+CD+DA=2x+4x+2x+2x=10,解得x=1,
∴OB=1/2*AB=1/2*4x=2x=2,
∴圆的半径为2.
(2)连接OA,OD,过O做OE⊥AD,
∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=60°,∴∠BOA=180°-(∠OBA+∠OAB)=60°,同理可得∠COD=60°,
∴∠AOD=180°-(∠BOA+∠COD)=60°,
∴扇形OAD的面积S(扇OAD)=60°/360°πr^2=1/6*πOA^2=1/6*π2^2=(2/3)π,
∵OA=OD且OE⊥AD,∴OE垂直平分AD,故EA=ED=1/2*AD=1,
∵AB=BO=OD=DA=2, ∴ABOD为菱形, ∴∠ODE=∠B=60°,
∵Rt△OED中,∠OED=90°且∠ODE=60°,
∴OE=√3*ED=√3,
∴△OED面积为S(△OAD)=1/2*AD*OE=√3,
∴阴影部分面积为S(扇OAD)-S(△OAD)=(2/3)π-√3.
9)
(1)证:∵AB=BC,∴劣弧AB=劣弧BC,∠BDA=∠BDC(等弧所对圆周角相等,即“等弧对等角”),
∴DB平分∠ADC.证毕.
(2)解:∵∠BCA与∠BDA皆为劣弧AB所对的圆周角,∴∠BCA=∠BDA,
又∵∠BDA=∠BDC(第(1)问结论),∴∠BCE=∠BCA=∠BDA=∠BDC,
又∵∠CBE=∠DBC,∴△CBE∽△DBC(AAA),
∴BE/BC=BC/BD即3/BC=BC/3+6=BC/9,∴BC^2=27,
∴BC=3√3,
∴AB=BC=3√3.
10)解:过O做直线OE⊥AB,此直线交DC于F,由AB‖CD易得OF⊥DC;过B做BG⊥DC交DC延长线于G,
则S△ODC=1/2*DC*FO,S△BDC=1/2*DC*GB,
∴S△ODC:S△BDC=1/2*DC*FO:1/2*DC*GB=FO:GB=1:3,
易得FE‖GB且FE=GB,∴FO:OE=FO:(FE-FO)=FO:(GB-FO)=1:(3-1)=1:2,
过C做CH⊥DB,与上述同理可得
S△ODC:S△BDC=1/2*DO*CH:1/2*DB*CH=DO:DB=1:3,故DO:OB=1:2,
∴易得S△ODC:S△BOC=DO:OB=1:2,
∵AB‖CD,∴∠DCO=∠BAO,∠CDO=∠ABO,又∵∠BOA=∠DOC,
∴△BOA∽△DOC(AAA),
∴DC:AB=DO:OB=1:2,又因为FO:OE=1:2,
∴S△ODC:S△BOA=1/2*DC*FO:1/2*OB*OE=DC*FO:OB*OE=1*1:2*2=1:4,
∴S△ODC:S△ABC=S△DOC:(S△BOA+S△BOC)=1:(4+2)=1:6.
11)解:∵DE‖BC,∴易得△ADE∽△ABC(AAA),故AD:AB=DE:BC,不妨设此比例为k,则BC=kDE
过A做AG⊥BC,AG交DE于F,易得AF⊥DE且AG:AF=AD:AB=k,故AG=kAF,
∴S△ADE:S(梯形DBCE)=S△ADE:(S△ABC-S△ADE)=1/2*DE*AF:(1/2*BC*AG-1/2*DE*AF)=1/2*DE*AF:(1/2*kDE*kAF-1/2*DE*AF)=DE*AF:(k^2-1)DE*AF=1:k^2-1=1:1,
∴k^2-1=1,故k=√2,
∴AD:AB=1:√2,
∴AD:DB=1:√2-1即DB=(√2-1)AB.
12)解:过F做直线l⊥DC交DC于G,交BE于H(FG⊥DC);由于AB‖DC(∵ABCD为平行四边形)故FH⊥BE,
∵BE与AB共线且AB‖DC,∴BE‖DC,由此易得△FDC∽△FEB(AAA),同理可得Rt△FGC∽Rt△FHB,
∴BE:CD=FB:FC=FH:FG,
∵BE=1/4*AB,AB=CD,
∴S△FDC:S△FEB=1/2*CD*FG:1/2*BE*FH=CD*FG:BE*FH=4BE*4FH:BE*FH=4^2:1=16:1;
同理可得△EFB∽△EDA且S△EDA:S△EFB=(1+4)^2=25:1,
∴S梯形FDAB:S△EFB=(S△EDA-S△EFB):S△EFB=(25S△EFB-S△EFB):S△EFB=24:1,
∴S平行四边形ABCD:S△EFB=(S△FDC+S梯形FDAB):S△EFB=(16S△EFB+24S△EFB):S△EFB=40:1
∴S△EFB=1/40*S平行四边形ABCD=1/40*2004=2004/40=50.1(cm^2)
∴△BEF的面积为50.1cm^2.
13)解:由于n边形内角和为(n-2)180°,所以正n边形每个内角为(n-2)180°/n,
∴此时n=6,∠BCD=∠EDC=(6-2)180°/6=3/2*180°=120°,
∵CB=CD,DE=DC(正六边形),∴∠CBD=∠CDB,∠DEC=∠DCE,
∴∠CBD=∠CDB=1/2(180°-120°)=30°,同理可得∠DEC=∠DCE=30°,
∴∠GCD=∠DCE=30°,∠GDC=∠CDB=30°,
∴∠CGD=180°-(∠GCD+∠GDC)=120°,
∴∠BGC=180°-∠CGD=60°
-----------------------------------------------------------
[附] 给个n边形内角和为(n-2)180°的证明.
Pf:∵n边形其中一顶点与其他顶点的连线将n边形分割为n-2个三角形,
∴n边形内角和等于n-2个三角形的内角和之和,
∴n边形内角和=(n-2)180°.
证毕.
14)CE‖FD.证明如下:
连接AB,则∠ECA=∠ABE(同样为圆O1的劣弧EA所对圆周角),∠ABF=∠ADF(同样为圆O2的劣弧FA所对圆周角),
∵E,F共线,∴∠ABE=∠ABF,∴∠ECA=∠ADF,
设CD与EF交于点G,则∠ECG=∠ECA=∠ADF=∠GDF,
∴CE‖FD. 证毕. 1 连接OB 则OB=OC
∵OC=AB,OC=OB
∴OB=AB ∴∠BOA=∠A
∴∠EBO=∠BOA+∠A=2∠A
∵OE=OB
∴∠OEB=∠EBO=2∠A
在△OEA中,∠EOD=∠OEB+∠A=2∠A+∠A=3∠A=72°
∴∠A=24°
2 ∵OM⊥BC,ON⊥AC
∴MC=1/2BC,NC=1/2AC
即MC/BC=NC/AC=1/2
∵∠C为公共角
∴△MNC∽△BAC
∴MN/AB=1/2
即MN=1/2AB
3 证明:过点P作PA、PB,假设PA、PB都和直线L垂直。
那么在△PAB中,角PAB+角PBA=90°+90°=180°,角APB=0°,如果两边的夹角成0°,两边就重和了,所以PA和PB就重合成一条线了,即:过点P只能有一条直线和L垂直。
4 ∵在◇ABCD中,AC,BD相交于点O
∴AC⊥BD,AC,BD互相平分
∵AC=8,
∴OC=4
通过面积求得在Rt△ODC中,DC边上的高为12/5
∴当半径为12/5时,圆O与菱形的四边都相切
∵12/5>2
∴当半径为2时,圆与菱形四边的位置关系 相离
5 (1)在Rt△BOC中,BC=√3,DC=1
设OD=OB=x
则(√3)²+1²=(1+x)²
x=1
即半径为1
(2)连接BD,则∠BDA=∠EDB=90°
∵在Rt△BOC中,CD=DO=1
∴BD=CD=DO=1
∵在Rt△BOC中,OB=1,CO=2
∴∠C=30°,∠COB=60°
∵BD=DO
∴△BDO为等边三角形
∴∠ODB=∠OBD
∵∠EDB=90°,F为BE中点
在Rt△DEB中,DF=BF=EF
∴∠FDB=∠FBD
∵∠ODB=∠OBD
∴∠FDB+∠ODB=∠FBD+∠OBD
即∠FDO=∠FBO
∵∠FBO=90°
∴∠FDO=90°
又∵OD为半径
∴DF与圆O相切
6 连接BO
△PAO≌△PBO(SSS)
∴∠AOP=∠BOP=1/2∠AOB
∵∠ACB=1/2∠AOB
∴∠BOP=∠ACB
∵OC=OB
∴∠ACB=∠OBC
∴∠BOP=∠OBC
∴OP‖BC
7 (1)连接AO,BO,CO,EO,DO,FO
∵ 圆O为三角形ABC的内切圆,且与AC,AB,BC分别相切于点D,E,F
∴OE,OD,OF分别为△ABO,△ACO,△BCO的高,OE=OD=OF
则S△ABO=1/2*AB*EO
S△ACO=1/2*AC*OD
S△BCO=1/2*BC*OF
∴S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO=1/2*OE(AB+AC+BC)=12
∵AB+BC+AC=8
∴OE=3
(2)S=1/2*r*l
证明过程见(1) 只是把具体数字换成字母即可
关键一步的体现在于S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO=1/2*OE(AB+AC+BC)=12 模仿它写
一、倍分关系1、 已知甲 数是乙数的3倍多12,甲乙两数的和是60,求乙数。2、 已知甲数是乙数的 少5,甲数比乙数大65,求乙数。3、某厂今年的产值是去年产值的3倍少25万,今年和去年产值总和是75万,求今年该厂的产值。二、百分比问题:1、 某储户将12000元人民币存入银行一年,取出时共得到人民币12240元,求该储户所存储种的利率。2、 某商品降价12%后的售价为176元,求该商品的原价。3、 受季节影响,一个月内,某商品涨价10%后有下跌了10%,现在售价297元,求该商品原价。三、物资分配:1、 一筐梨,分散后小箱装,用去8个箱子,还剩8kg未能装下;用9个箱子,则最后一个箱子还可以装4kg,求这筐梨的质量。2、 某校春游,若包租相同的大巴13辆,那么就有14人没有座位;如果多包租1辆,那么就多了26个空位,问,春游的总人数是多少?四、比例问题:1、 某一时期,日元与人民币的比价为25.2:1,那么日元50万,可以兑换人民币多少元?2、 图纸上某零件的长度为32cm,它的实际长度是4cm,那么量得该图纸上另一个零件长度为12cm,求这个零件的实际长度。3、 某人将2600元工资作了打算,购书费用、休闲娱乐费用、家庭开支、存款比为1:3:5:4,请问此人打算休闲娱乐花去多少元?五、调配问题:1、 一车间与二车间总人数为150人,将一车间的15名工人调动到二车间,两车间人数相等,求二车间人数。2、 某厂甲车间有工人32人,乙车间有62人,现在从厂外有招聘新工人98名分配到两个车间,问应该如何分配才能使二车间的人数是一车间人数的3倍。六、数字问题:1、三个连续偶数的和是360,求这三个偶数。2、一个两位数个位数字与十位数字的和为10,如果将个位数字与十位数字交换位置,得到的新的两位数字比原来的两位数大18,求原来的两位数。3、 一个五位数,如果将第一位上的数移动到最后一位得到一个新的五位数(例如:此变换可以由4321得到3214),新的五位数比原来的数小11106,求原来的五位数。七、几何问题:1、 将棱长为20cm的正方体铁块锻造成一个长为100cm,宽为5cm的长方体铁块,求长方体铁块的高度。2、 将棱长为20cm的正方体铁块没入盛水量筒中,已知量筒底面积为12cm2,问量筒中水面升高了多少cm?应用题训练(二) 一、倍分关系1、 已知甲数是乙数的3倍多12,甲乙两数的和是60,求乙数。2、 已知甲数是乙数的 少5,甲数比乙数大65,求乙数。3、某厂今年的产值是去年产值的3倍少25万,今年和去年产值总和是75万,求今年该厂的产值。二、百分比问题:1、 某储户将12000元人民币存入银行一年,取出时共得到人民币12240元,求该储户所存储种的利率。2、 某商品降价12%后的售价为176元,求该商品的原价。3、 受季节影响,一个月内,某商品涨价10%后有下跌了10%,现在售价297元,求该商品原价。三、物资分配:1、 一筐梨,分散后小箱装,用去8个箱子,还剩8kg未能装下;用9个箱子,则最后一个箱子还可以装4kg,求这筐梨的质量。2、 某校春游,若包租相同的大巴13辆,那么就有14人没有座位;如果多包租1辆,那么就多了26个空位,问,春游的总人数是多少?四、比例问题:1、 某一时期,日元与人民币的比价为25.2:1,那么日元50万,可以兑换人民币多少元?2、 图纸上某零件的长度为32cm,它的实际长度是4cm,那么量得该图纸上另一个零件长度为12cm,求这个零件的实际长度。3、 某人将2600元工资作了打算,购书费用、休闲娱乐费用、家庭开支、存款比为1:3:5:4,请问此人打算休闲娱乐花去多少元?五、调配问题:1、 一车间与二车间总人数为150人,将一车间的15名工人调动到二车间,两车间人数相等,求二车间人数。2、 某厂甲车间有工人32人,乙车间有62人,现在从厂外有招聘新工人98名分配到两个车间,问应该如何分配才能使二车间的人数是一车间人数的3倍。六、数字问题:1、三个连续偶数的和是360,求这三个偶数。2、一个两位数个位数字与十位数字的和为10,如果将个位数字与十位数字交换位置,得到的新的两位数字比原来的两位数大18,求原来的两位数。3、 一个五位数,如果将第一位上的数移动到最后一位得到一个新的五位数(例如:此变换可以由4321得到3214),新的五位数比原来的数小11106,求原来的五位数。七、几何问题:1、 将棱长为20cm的正方体铁块锻造成一个长为100cm,宽为5cm的长方体铁块,求长方体铁块的高度。2、 将棱长为20cm的正方体铁块没入盛水量筒中,已知量筒底面积为12cm2,问量筒中水面升高了多少cm? 养殖场有4万只鸡,假设有一只鸡得了病,如果不采取任何措施,那么第二天将新增加病鸡10只,到第三天又将新增加病鸡100只,以后每天新增病鸡依次类推,请问到第四天一共有多少只鸡得了病?到第几天,所有的鸡都会得病?
1、甲、乙、丙三种货物共有167吨,甲种货物比乙种货物的2倍少5吨,丙种货物比甲种货物的 多3吨,求甲、乙、丙三种货物各多少吨?
2、有蔬菜地975公顷,种植青菜、西红柿和芹菜,其中青菜和西红柿的面积比是3︰2,种西红柿和芹菜的面积比是5︰7,三种蔬菜各种的面积是多少公顷?
3、甲、乙、丙三村集资140万元办学,经协商甲、乙、丙三村的投资之比是5:2:3.问他们应各投资多少万元?
4、建筑工人在施工中,使用一中混凝土,是由水、水泥、黄沙、碎石搅拌而成的,这四种原料的重量的比是0.7:1:2:4.7,搅拌这种混凝土2100千克,分别需要水、水泥、黄沙、碎石多少千克?
5、小名出去旅游四天,已知四天日期之和为65,求这四天分别是哪几日?
6、小华在日历上任意找出一个数,发现它连同上、下、左、右的共5个数的和为85,请求出小华找的数.
7日历上同一竖列上3日,日期之和为75,第一个日期是几号?
用 方 程 解 决 问 题(2)
---------调配问题
1、x05甲车队有15辆汽车,乙车队有28辆汽车,现调来10辆汽车分给两个车队,使甲车队车数比乙车队车数的一半多2辆,应分配到甲乙两车队各多少辆车?
2、x05某班女生人数比男生的 还少2人,如果女生增加3人,男生减少3人,那么女生人数等于男生人数的 ,那问男、女生各多少人?
3、x05某车间有工人85人,平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10人,又知二个大齿轮和三个小齿轮配套一套,问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套?
4、x05某同学做数学题,如果每小时做5题,就可以在预定时间完成,当他做完10题后,解题效率提高了60%,因而不但提前3小时完成,而还多做了6道,问原计划做几题?几小时完成?
5、x05小丽在水果店花18元,买了苹果和橘子共6千克,已知苹果每千克3.2元,橘子每千克2.6元,小丽买了苹果和橘子各多少千克?
6、x05甲仓库有煤200吨,乙仓库有煤80吨,如果甲仓库每天运出15吨,乙仓库每天运进25吨,问多少天后两仓库存煤相等?
7、x05两个水池共贮有水50吨,甲池用去水5吨,乙池注进水8吨后,这时甲池的水比乙池的水少3吨,甲、乙水池原来各有水多少吨?
8、x05某队有55人,每人每天平均挖土2.5方或运土3方,为合理安排劳力,使挖出的土及时运走,应如何分配挖土和运土人数?
用 方 程 解 决 问 题(3)
---------盈亏问题工作量与折扣问题
1.x05用化肥若干千克给一块麦田施肥,每亩用6千克,还差17千克;每亩用5千克,还多3千克,这块麦田有多少亩?,10,
【 #初中奥数# 导语】奥数能够有效地培养学生用数学观点看待和处理实际问题的能力,提高学生用数学语言和模型解决实际问题的意识和能力,提高学生揭示实际问题中隐含的数学概念及其关系的能力等等。使学生能够在创造性思维过程中,看到数学的实际作用,感受到数学的魅力,增强学生对数学美的感受力。以下是 为您整理的相关资料,希望对您有所帮助。
【篇一】
1、羊跑5步的时间马跑3步,马跑4步的距离羊跑7步,现在羊已跑出30米,马开始追它。问:羊再跑多远,马可以追上它?
2、甲乙辆车同时从ab两地相对开出,几小时后再距中点40千米处相遇?已知,甲车行完全程要8小时,乙车行完全程要10小时,求ab两地相距多少千米?
3、在一个600米的环形跑道上,兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步,两人每隔12分钟相遇一次,若两个人速度不变,还是在原来出发点同时出发,哥哥改为按逆时针方向跑,则两人每隔4分钟相遇一次,两人跑一圈各要多少分钟?
4、慢车车长125米,车速每秒行17米,快车车长140米,车速每秒行22米,慢车在前面行驶,快车从后面追上来,那么,快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间?
1、解:
根据“马跑4步的距离羊跑7步”,可以设马每步长为7x米,则羊每步长为4x米。
根据“羊跑5步的时间马跑3步”,可知同一时间马跑3*7x米=21x米,则羊跑5*4x=20米。
可以得出马与羊的速度比是21x:20x=21:20
根据“现在羊已跑出30米”,可以知道羊与马相差的路程是30米,他们相差的份数是21-20=1,现在求马的21份是多少路程,就是30÷(21-20)×21=630米
2、答案720千米。
由“甲车行完全程要8小时,乙车行完全程要10小时”可知,相遇时甲行了10份,乙行了8份(总路程为18份),两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇,说明两车的路程差是(40+40)千米。所以算式是(40+40)÷(10-8)×(10+8)=720千米。
3、答案为:两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解:600÷12=50,表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150,表示哥哥、弟弟的速度和
(50+150)÷2=100,表示较快的速度,方法是求和差问题中的较大数
(150-50)/2=50,表示较慢的速度,方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟,表示跑的快者用的时间
600/50=12分钟,表示跑得慢者用的时间
4、答案为:53秒
算式是(140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解:“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点,因此追及的路程应该为两个车长的和。
【篇二】
1、在300米长的环形跑道上,甲乙两个人同时同向并排起跑,甲平均速度是每秒5米,乙平均速度是每秒4.4米,两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米?
2、一个人在铁道边,听见远处传来的火车汽笛声后,在经过57秒火车经过她前面,已知火车鸣笛时离他1360米,(轨道是直的),声音每秒传340米,求火车的速度。(得出保留整数)
3、猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔,马上紧追上去,猎犬的步子大,它跑5步的路程,兔子要跑9步,但是兔子的动作快,猎犬跑2步的时间,兔子却能跑3步,问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
4、AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样,乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?
1、答案为:100米
300÷(5-4.4)=500秒,表示追及时间
5×500=2500米,表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300=8圈……100米,表示甲追及总路程为8圈还多100米,就是在原来起跑线的前方100米处相遇。
2、答案为:22米/秒
算式:1360÷(1360÷340+57)≈22米/秒
关键理解:人在听到声音后57秒才车到,说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360÷340=4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57=61秒。
3、正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解:由“猎犬跑5步的路程,兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米,则兔子每步5/9米。由“猎犬跑2步的时间,兔子却能跑3步”可知同一时间,猎犬跑2a米,兔子可跑5/9a*3=5/3a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a:5/3a=6:5,也就是说当猎犬跑60米时候,兔子跑50米,本来相差的10米刚好追完
4、答案:18分钟
解:设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=1/72y=1/90
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
【篇三】
1、甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶,各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。已知甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米?
2、一船以同样速度往返于两地之间,它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米,求两地间的距离?
3、快车和慢车同时从甲乙两地相对开出,快车每小时行33千米,相遇是已行了全程的七分之四,已知慢车行完全程需要8小时,求甲乙两地的路程。
4、小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千米?
1、答案是300千米。
解:通过画线段图可知,两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程,从开始到第二次相遇,一共又行了3个AB的路程,可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3=360千米,从线段图可以看出,甲一共走了全程的(1+1/5)。
因此360÷(1+1/5)=300千米
从A地到B地,甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时,现在甲乙分别AB两地同时出发相向而行,相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地,A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点之间有()千米
2、解:(1/6-1/8)÷2=1/48表示水速的分率
2÷1/48=96千米表示总路程
3、解:相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4:3
时间比为3:4
所以快车行全程的时间为8/4*3=6小时
6*33=198千米
4、解:把路程看成1,得到时间系数
去时时间系数:1/3÷12+2/3÷30
返回时间系数:3/5÷12+2/5÷30
两者之差:(3/5÷12+2/5÷30)-(1/3÷12+2/3÷30)=1/75相当于1/2小时
去时时间:1/2×(1/3÷12)÷1/75和1/2×(2/3÷30)1/75
路程:12×〔1/2×(1/3÷12)÷1/75〕+30×〔1/2×(2/3÷30)1/75〕=37.5(千米)